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Mat-5110 : Introduction aux vecteurs

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Présentation au sujet: "Mat-5110 : Introduction aux vecteurs"— Transcription de la présentation:

1 Mat-5110 : Introduction aux vecteurs
Martin Francoeur Conseiller pédagogique

2 Présentation du programme
Mat 5101 : Optimisation I Mat 5102 : Statistique III (corrélation) Mat 5105 : Coniques Mat 5106 : Fonctions réelles et équat. Mat 5107 : Fonctions exp et log Mat 5108 : Fonctions trigo Mat 5109 : Géométrie IV Mat 5110 : Introduction aux vecteurs Mat 5111 : Complément et synthèse II

3 Pourquoi les vecteurs en mathématique au secondaire?
Notion mathématique utilisée en physique Façon de réinvestir les démonstrations

4 Définitions Scalaire: quantité définie par un nombre réel.
Vecteur: quantité ayant une grandeur, une direction et un sens.

5 Comment nomme-t-on les vecteurs?
Lettre minuscule surmontée d’une flèche a Point de départ (origine) de la flèche et point de départ (extrémité) de la flèche AB

6 Comment nomme-t-on les vecteurs?
Vecteur algébrique: par ses composantes Composantes horizontale et verticale v=(3,4) Les composantes correspondent aux coordonnées de l’extrémité du vecteur lorsque l’origine du vecteur coïncide avec l’origine du plan cartésien.

7 Direction et sens Toutes les flèches parallèles ont la même direction.
Une même direction peut se prendre dans les deux sens.

8 Vecteurs colinéaires Vecteurs colinéaires : vecteurs qui ont la même direction. Deux vecteurs qui n’ont pas la même direction sont dits : non-colinéaires ou linéairement indépendants.

9 Orientation d’un vecteur géométrique
Avec la rose des vents…

10 Orientation d’un vecteur géométrique
Angle d’orientation : angle que la flèche forme avec l’horizontal dans le sens anti-horaire. Détermine à la fois la direction et le sens.

11 Orientation d’une vecteur algébrique
Vecteur algébrique: les composantes donne l’orientation du vecteur. Pour connaître l’angle d’orientation d’un vecteur algébrique, on utilise la trigonométrie.

12 Norme d’un vecteur Longueur du vecteur Notation : ||v||
Vecteur géométrique On mesure avec une règle Vecteur algébrique Distance entre l’origine et l’extrémité du vecteur

13 Vecteurs opposés Deux vecteurs de même norme, de même direction et de sens contraire v est toujours opposé à –v. AB est opposé à BA. m=(2,4) est opposé à n=(-2,-4).

14 Vecteur nul et vecteur unitaire
Vecteur dont la longueur est 0. On le note 0. Le vecteur nul a toutes les orientations. Vecteur dont la longueur est 1 dans une orientation donnée. Vecteurs orthogonaux Vecteurs dont les directions sont perpendiculaires.

15 Angle entre deux vecteurs
Lorsque les origines de deux vecteurs coïncident. La plupart du temps noté  Utilisation de la loi des sinus et des cosinus

16 Addition de vecteurs Méthode du parallélogramme Méthode du triangle
Addition des composantes Le vecteur somme s’appelle la résultante Pour la soustraction de vecteurs, on additionne le vecteur opposé

17 Résultante Norme de la résultante Orientation de la résultante
Loi des cosinus Orientation de la résultante Mesure de l’angle formé par la résultante et un des deux vecteurs

18 Exercices 1 et 2 : Document exercices complémentaires.

19 Relation de Chasles AB + BC + CD = AD AB + BC + CA = AA = 0
AB – CB = AB + BC = AC

20 Exercice 3 : Document exercices complémentaires.

21 Multiplication d’un vecteur par un scalaire
Le produit d’un vecteur par un scalaire est un vecteur. Le vecteur final a la même direction que le vecteur initial. Même sens si le scalaire est positif. Sens contraire si le scalaire est négatif.

22 Combinaison linéaire w = 3u + 4v
Si u et v sont colinéaires, w aura aussi la même direction. Si u et v sont non-colinéaires, w aura une direction différente.

23 Base vectorielle Deux vecteurs non-nuls linéairement indépendants forment une base vectorielle. À partir de ces deux vecteurs, on peut les combiner et obtenir tout autre vecteur du plan. La recherche des coefficients d’une combinaison linéaire ne portera que sur les vecteurs décrits par leurs composantes.

24 Exercice 5 Document exercices complémentaires.

25 Base vectorielle orthonormée
Vecteurs orthogonaux et de norme 1. i = (1,0) et j = (0,1)

26 Base vectorielle et combinaison linéaire
Tout vecteur est décomposable en une somme de deux autres vecteurs qui, eux-mêmes, peuvent être décomposés en un produit d’un vecteur par un scalaire.

27 Multiplication scalaire de 2 vecteurs
Produit de la longueur orientée de la projection orthogonale du premier vecteur sur le deuxième par la norme du deuxième vecteur. Le produit scalaire de deux vecteurs est un scalaire. Notation : u  v

28 Multiplication scalaire
Produit scalaire de vecteurs orthogonaux : 0 Produit scalaire de vecteurs géométriques u  v = ||u|| ||v|| cos  Produit scalaire de vecteurs algébriques u=(a,b) et v=(c,d) u  v = ac+bd

29 Propriétés de l’addition de vecteurs
La somme de deux vecteurs est un vecteur. Commutativité : u + v = v + u Associativité : (u + v) + w = u + (v + w) Existence de l’élément neutre : u + 0 = u Existence de l’opposé : u + -u = 0

30 Propriétés de la multiplication d’un vecteur par un scalaire
Le produit d’un vecteur par un scalaire est toujours un vecteur. Associativité : k1(k2u) = (k1k2)u Existence d’un scalaire neutre : 1u = u Distributivité sur l’addition de vecteurs k(u + v) = ku + kv Distributivité sur l’addition de scalaires k1u + k2u = (k1 + k2)u

31 Propriétés de la multiplication scalaire de deux vecteurs
La produit scalaire de 2 vecteurs est un scalaire Commutativité : u  v = v  u Associativité des scalaires : k1u  k2v = (k1k2)(u  v) Distributivité sur une somme vectorielle : u  (v + w) = (u  v ) + (u  w)

32 Un peu de pratique maintenant!
Document exercices complémentaires. Vous pouvez faire les exercices 6, 8, 9, 11.

33 Démonstrations à l’aide des vecteurs
Énoncer la loi de Chasles et l’appliquer à la vérification d’énoncés à l’aide des vecteurs. Construire ou compléter une démonstration. Déterminer si un énoncé, formulé à l’aide des vecteurs, est vrai ou faux. La réponse doit être justifiée …

34 Exercices 14 et 15 Document exercices complémentaires.

35 Résoudre des problèmes
Utiliser les vecteurs pour résoudre des problèmes. Justifier les étapes de sa démarche.

36 Exercices 18 et 22 Document exercices complémentaires.


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