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Ulysse 9-1Cours GB 20101 9 Complexité des activités mathématiques 9-1 Introduction Généralités Les composantes de la complexité

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Présentation au sujet: "Ulysse 9-1Cours GB 20101 9 Complexité des activités mathématiques 9-1 Introduction Généralités Les composantes de la complexité"— Transcription de la présentation:

1 Ulysse 9-1Cours GB Complexité des activités mathématiques 9-1 Introduction Généralités Les composantes de la complexité

2 Ulysse 9-1Cours GB Sommaire Introduction et généralités –diaporama 9-1 vues 1 à 23 Études sur le calcul de la multiplication –diaporama 9-2vues 24 à 67 Études sur la division –Diaporama 9-3vues 68 à 94 Études sur les systèmes linéaires –Diaporama 9-4vues 95 à 112 Quelques repères Une étude de Lucienne Félix 6-9 comparaisons de méthodes, indice de complexité Études théoriques 27 études empiriques 37

3 Ulysse 9-1Cours GB Objet des études de complexité Létude de la complexité des situations a pour objet de prévoir et de comparer les variations de performances des élèves en fonction des variations de certaines caractéristiques ou variables de ces situations Les études de la complexité des situations conjuguent autant que possible deux méthodes : -la modélisation a priori et la mise à lépreuve expérimentale des modèles théoriques, -ou lobservation et lexplication a posteriori par des modèles empiriques Ce type détude est directement orienté vers le choix des objets et des conditions denseignement les plus appropriées aux élèves, collectivement ou individuellement

4 Ulysse 9-1Cours GB Les composantes… La complexité dune situation dépend 1. De la complexité du milieu 2. De la complexité créée par le projet -les choix à faire pour obtenir le résultat suivant les connaissances, la probabilité dy parvenir -et ce quil faut faire pour établir une solution (reproductible) 3. De la complexité de la tâche, cest-à-dire de la reproduction dune solution connue suivant la fiabilité cherchée (elle réduit la complexité globale du projet)

5 Ulysse 9-1Cours GB Leur complexité La complexité du milieu ne dépend pas a priori des compétences de lactant. Par contre la complexité de la résolution de la situation, lobtention du résultat visé, dépend à la fois du milieu et des connaissances de lactant. La complexité de létablissement dune solution stable - une tâche – dépend de plus des connaissances et des répertoires de référence de lactant La complexité de la reconnaissance a priori et de la mise en œuvre dune solution stable – une tâche – ne dépend principalement que de la culture

6 Ulysse 9-1Cours GB La complexité dun milieu Lucienne Félix inventorie le milieu de la situation suivante: Trois points A, B et C sont sur un cercle (C) Les milieux des arcs successifs BC, CA, AB sont nommés A', B', C'. Objectif : déterminer la mesure de l'angle de AA' et B'C'. Extrait de louvrage L. Félix, Un aperçu des méthodes en géométrie élémentaire 2 textes de réflexions didactiques, IREM de Bordeaux 1991 à lire sur ce site Les éléments du milieu sont : Les objets Un cercle ( C )centre ORayon r 3 points de ( C ) A, B, C,Segments OA, OB, OC, AB, BC, CA 3 milieux de côtésA1, B1, C1 6 Segments OA1, OB1, OC1, A1B1, B1C1, C1A1 3 milieux darcsA, B, C A = OA1 ( C ) B = OB1 ( C ) C = OC1 ( C )

7 Ulysse 9-1Cours GB Les relations Les connaissances disponibles - Addition des arcs, addition des angles. - Correspondance entre arcs, angles au centre, angles inscrits - Angles de 2 cordes se coupant à l'intérieur ou à l'extérieur du cercle. - Tout angle a 2 bissectrices perpendiculaires Tout arc a 2 milieux diamétralement opposés. OA = OB = OC = r BA1 = A1 C CB1 = B1A AC1 = C1B arc BA = arc AC = arc CB = BA = arc AC = arc CB =

8 Ulysse 9-1Cours GB Le savoir utilisé dans cette solution nest quune petite partie de ceux qui sont engagés dans le milieu. Le choix des objets et des relations utilisés et du théorème de référence est le résultat du traitement dun certain nombre dénoncés dont certains sont des théorèmes de référence (des savoirs) mais dont lutilité est incertaine et qui interviennent comme de simples connaissances… La complexité de la solution est faible par rapport à celle de la situation. Mais létablissement de la solution (même si les théorèmes sont sus) est dune complexité beaucoup plus grande

9 Ulysse 9-1Cours GB Cet inventaire laisse évidemment dans lombre des conventions implicites comme ; « il sagit de démontrer, pas de mesurer UN angle particulier » Cette situation est un problème classique elle ne comporte pas déléments qui pourraient faire penser que cet angle aurait une valeur particulière ni pourquoi il est intéressant de le savoir. Lélève sait bien quelle est la réponse à la question posée. Là nest pas la question. Il « ne sagit que » de produire ou reproduire une démonstration de mathématique. Ce qui est déjà bien Par contre, ce que sest proposé L. Félix: « Trouver dix solutions distinctes de ce problème », constitue une situation qui nest pas réduite à un problème. Lexploration dun domaine, y reconnaître que des solutions sont similaires, ou différentes, relève dune connaissance dun milieu, non dun savoir.

10 Ulysse 9-1Cours GB La complexité des tâches : Plan détude 1.Étude théorique et expérimentales des difficultés du calcul élémentaire, et la comparaison de divers algorithmes. Considérer la complexité formelle des différents algorithmes de calcul « à la plume » de la multiplication et de la division, nous donnera loccasion dillustrer quelques méthodes de recherches et de montrer lusage fécond dun indice de complexité pourtant bien insuffisant. Nous nétudierons pas tous les aspects (ex. leffet de la disparition quasi-totale du calcul de la vue du calcul « à la plume » dans nos sociétés, Le dénombrement et la numération sont étudiés dans une autre partie du cours) etc. 2. Étude a priori des effets des variables de complexité sur lapprentissage et lenseignement : la taille des répertoires, la longueur des séquences indépendantes, le nombre de valeurs provisoires maintenues simultanément en mémoire… Nous comparerons la méthode per gelosia et la méthode Fibonacci, a priori à laide de lindice de complexité de McCabe, confronté à des observations et à des expériences.

11 Ulysse 9-1Cours GB A propos de la soustraction et de la division: observation empirique de leffet de diverses variables qui ont un effet sur la compréhension et la mise en œuvre des tâches : -taille des nombres -nature mathématique des nombres, -type de grandeurs etc 4. Dans le prolongement des études précédentes le cours présente une approche de la complexité des raisonnements arithmétiques et de lalgèbre linéaire où les algorithmes se multiplient et sassouplissent. Une expérience mentale simple montre limportance du rôle des types de grandeurs pour orienter la résolution dun même système vers une méthode arithmétique ou vers une autre. Lalgèbre échappe à ces difficultés mais les reporte sur les mises en équations. Une étude de la complexité des résolutions « opportunistes » dune situation, comparées avec celle de létablissement dune solution stable montrera lexistence dun seuil dapprentissage

12 Ulysse 9-1Cours GB La Complexité de la résolution des situations et la complexité des apprentissages Ce sont les parties les plus importantes et les plus délicates de la recherche en didactique. Dautant plus quil semble que les approches qui isolent prématurément une catégorie de faits ou de connaissances de leur environnement didactique induisent des biais et peuvent très mal orienter les efforts de lenseignement. Nous naborderons cette question quaprès avoir étudié les situations et les curriculums et nous les reprendrons alors dans le cadre de la théorie des situations proprement didactiques qui prend pour objet non seulement lobjet de lenseignement mais le système didactique dans sa totalité.

13 Ulysse 9-1Cours GB Savoir définir une « complexité didactique intrinsèque » pour des domaines des mathématiques, et montrer sa validité contingente ne sera le résultat que dune connaissance approfondie de la didactique et de la métamathématique elles-mêmes. Cest pourtant en référence à ce projet quil faut interpréter nos efforts (ils peuvent sembler dérisoires à une telle distance du but) pour diriger des choix de situations et de curriculum à laide de comparaisons de complexité entre les objets qui apparaissent pertinents pour cela (ce qui en fait des objets didactiques). Nous allons commencer par le côté le plus «abordable» celui des algorithmes et donc des tâches 1. Pour des raisons historiques, techniques et idéologiques nous avons dabord examiné de ce point de vue lenseignement élémentaire. 1 Cest aussi une nervure de la théorie anthropologique

14 Ulysse 9-1Cours GB Annonce du diaporama 10 suivant… Dans le chapitre suivant nous montrerons que les variations de la difficulté deffectuer ou de concevoir un algorithme ménagent une zone de meilleure efficacité. Les zones de meilleure efficacité de deux algorithmes qui résolvent le même problème mathématique peuvent présenter différentes configurations. Dans certains cas il apparaît entre elles des seuils qui obligent à augmenter brutalement la complexité des solutions. Un saut trop important provoque des effets comparables aux obstacles épistémologiques observés notamment en Sciences Physiques.

15 Ulysse 9-1Cours GB Études sur les méthodes de calcul à lécole Remarques ergonomiques et Ingénierie Didactique

16 Ulysse 9-1Cours GB Préambule Le corps de ce diaporama réalisé pour une conférence à des enseignants évoque plus quil nexpose mes exercices de débutant sur le calcul et son apprentissage 1. Je suis à peu près certain que toutes les objections présentées ici à nos pratiques habituelles avaient déjà été faites et depuis longtemps; certains pays en ont tenu compte. Mais elles nont jamais eu aucun écho en France. La difficulté à corriger des erreurs patentes, nest pas une simple anomalie, cest un phénomène récurrent qui mérite dêtre étudié. 1 BROUSSEAU Guy (1973) "Peut-on améliorer le calcul des produits de nombres naturels ? " in Actes du 3e congrès des sciences de léducation « Apports des disciplines fondamentales aux sciences de léducation » tome 1 pp (1973)

17 Ulysse 9-1Cours GB Pour cerner les objectifs et les moyens dapprentissage envisagés dans la théorie des situations mathématiques il faut les confronter aux principes et méthodes utilisées – ou évoquées comme telles - presque universellement pour enseigner les algorithmes. Elles servent de référence à toutes les méthodes « rationnelles » denseignement. Lépistémologie quelles véhiculent simpose dans les rapports de lensemble de la population avec les institutions scolaires. Dans ces rapports, les connaissances sont assimilées à des textes et les textes à des sous algorithmes. Lenseignement consiste à créer et assembler ces pièces comme celles dun meccano. Il est nouveau de voir aujourdhui des producteurs de connaissances mathématiques qui tendent à partager ce point de vue, malgré leur expérience. Les études dergonomie esquissées dans ce chapitre permettent de replacer ces opinions et ces pratiques dans la perspective de la théorie des situations mathématiques

18 Ulysse 9-1Cours GB Les principes de base de la didactique classique 1. Principe de construction Tout ce qui est utilisé pour édifier un texte ou un algorithme nouveau à un moment donné doit avoir été auparavant - enseigné - et appris 2. Principe déconomie Ne doit être enseigné que ce qui doit être su finalement ou qui doit être su pour apprendre un autre savoir, (cest-à-dire les savoirs de référence). conséquence : tout ce qui est enseigné doit être appris 3. Les éléments primitifs doivent être pris évidents ou familiers 4. Méthode de base Tout ce qui est nécessaire (à lécole de base) peut être appris par lexemple, limitation, la correction et lexercice. 5. La compréhension accélère lapprentissage mais ne lui est pas nécessaire. Elle peut être facilitée par lexplicitation, lexposition, et lexplication.

19 Ulysse 9-1Cours GB Objections Mais aucune de ces déclarations - ni leur négation - nest un principe universel 1. Le principe 1 ne sapplique pas aux connaissances: La théorie des situations mathématiques montre des conditions dans lesquelles les élèves produisent des connaissances qui ne leur ont pas été enseignées au préalable. Nous donnons des exemples de constructions de solutions complexes par des genèses, des évolutions de connaissances et non par des synthèses de savoirs La transformation des connaissances en savoirs permet de suivre des voies variées souvent plus efficaces 2. Le principe 2 affirme que puisque lénoncé de la conclusion est plus court que sa démonstration, lapprentissage de lénoncé est plus économique que celui de sa démonstration. Ce nest pas « vrai », on apprend souvent mieux ce quon comprend.

20 Ulysse 9-1Cours GB Les éléments primitifs ne sont pas souvent les plus faciles à appréhender. 4. La procédure du quatrième principe ne sapplique pas a tout. Elle est si coûteuse en temps quil est peu probable quon puisse effectivement apprendre ainsi tout ce qui, en principe, pourrait relever de ce processus sans école. 5. La déclaration est exacte pour les apprentissages formels. Mais les rôles de la compréhension et de lapprentissage sont inversés. Cest lapprentissage qui prolonge et soulage la compréhension… dans des conditions où elle nest plus indispensable. 6. Lacquisition de connaissances (même inaccessibles à lanalyse) est indispensable… 7. …ainsi que lexplicitation, lexposition et lexplication, nécessaires à la constitution des savoirs (la reconnaissance des connaissances conformes)

21 Ulysse 9-1Cours GB Motifs de cette étude Motifs Scientifiques. Il sagit ici de reprendre lensemble du problème de lenseignement des calculs élémentaires les plaçant dans le cadre dune construction densemble des notions mathématiques. Une première approche ergonomique et économique permettra de comparer les performances des différentes méthodes du point de vue des efforts que demandent leur usage et leur apprentissage et de la fiabilité qui en résulte. Motifs Didactiques. Cette étude présentera dans ce cours une base essentielle de lingénierie didactique: létude des propriétés ergonomiques des situations et de leurs solutions. Lingénierie didactique pratique se heurte à des exigences sévères et reste limitée à des modifications mineures aux avantages incertains

22 Ulysse 9-1Cours GB Motifs Macrodidactiques. Les conclusions de cette étude ne seront pas décisives pour lenseignement réel car les changements dans ce domaines sont soumis à des phénomènes de macrodidactique excessivement violents. Exemple la permanence des irrégularités de numération orale en France (72, 95) et Économiques. Les motifs scientifiques ont un faible poids. Les conditions économiques sont plus fortes Aujourdhui la demande de la société en calcul humain sest effondrée. Lapprentissage du calcul est toujours indispensable mais seulement pour des raisons épistémologiques et culturelles. Il fait partie de la culture, mais plus des usages. Il faut donc reconsidérer en même temps ses méthodes et son enseignement pour les adapter à léconomie de leur usage et à lergonomie des utilisateurs.

23 Ulysse 9-1Cours GB Le plan de létude Létude devrait commencer par celle de la division car seules les modifications didactiquement compatibles avec la méthode de division seront finalement acceptables Mais nous étudierons dabord la multiplication comme un sujet indépendant. Nous opposerons à la méthode classique introduite par Fibonacci, celle per gelosia, beaucoup plus sûre et rapide pour les grandes opérations. Elle favorise lapprentissage; les élèves peuvent « linventer » et la comprendre. Nous améliorerons ensuite « naïvement » les propriétés ergonomiques de la division. Certaines des propositions introduites pas ce travail il y a près de 40 ans ont été adoptées.. Pas toutes. Lenseignement peut suivre un processus dinvention et de mise au pont comparable à celui commencé avec « qui dira 20 ». Ensuite viendra létude du compromis pour la division. Le calcul des multiplications en ligne nécessaires à la division est acquis plus facilement à partir de lapprentissage de per gelosia. Les élèves passent ensuite facilement à la présentation classique des multiplications.


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