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Le diagramme de quartiles 708090100110120130140150160170.

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1 Le diagramme de quartiles

2 Le diagramme de quartiles est un tableau statistique représentant la concentration ou la dispersion de données statistiques Il se construit à partir des médianes dune liste de données. Il sépare une distribution de données (un ensemble de données) en 4 sous- ensembles appelés des quarts. 1 er quart2 e quart3 e quart4 e quart Chaque quart contient le même nombre de données; chaque quart contient donc 25 % des données. Nous allons voir : - sa construction; - son interprétation; - son utilité.

3 Construire un diagramme de quartiles Prenons une liste de données : 1 ère étape :Écrire la liste en ordre croissant. Nombre total de données :n = , 77, 133, 153, 88, 91, 95, 99, 100, 105, 102, 100, 116, 111, 112, 107, 123, 73, 131, 80, 138, 139, 86, 93, , 77, 80, 86, 88, 91, 93, 95, 99, 100, 100, 102, 105, 107, 111, 112, 116, 123, 128, 131, 133, 138, 139, 153, 169.

4 2 e étape : Déterminer les quartiles. Les quartiles sont les valeurs (nombres) qui séparent la liste de données en 4 groupes égaux. On les déterminent par les médianes Rappel Exemple : médiane La médiane de cette liste est 18. Exemple : Médiane : = 20,5 Remarque : Ici, la médiane fait partie de la liste. Remarque : Ici, la médiane ne fait pas partie de la liste. Dans une liste impaire de données écrites en ordre croissant, la médiane est la donnée du milieu. Dans une liste paire de données écrites en ordre croissant, la médiane est la moyenne arithmétique des deux données du milieu. 13, 15, 18, 23, 25, 27 13, 15, 18, 23, 25 ( Md ).

5 Déterminer les quartiles Les quartiles sont les valeurs (nombres) qui séparent la liste de données en 4 groupes égaux. On les détermine par les médianes. On détermine, en premier la médiane principale :ici, 105 médiane principale On détermine, par la suite, la médiane des données entre le minimum et la médiane principale minimum maximum On détermine, par la suite, la médiane des données entre la médiane principale et le maximum = = 129,5 Ces médianes sont les quartiles, notés Q. Q1Q1 Q2Q2 Q3Q3 de 73 à 102, il y a 12 données, donc de 107 à 169, il y a 12 données, donc

6 Le total des données est un nombre pair : n = 8 61, 62, 62, 64, 65, 66, 66, 68 Remarque sur les quartiles (médianes) Dans une liste de données, pour trouver rapidement les médianes (quartiles), voici deux procédés. Procédé 1 Exemple : Divise le total par 2 :8 ÷ 2 = 4ce résultat entier indique 2 paquets égaux. 61, 62, 62, 64,65, 66, 66, 68 Tu auras donc à calculer la moyenne arithmétique de la 4 e et 5 e données. 4e4e 5e5e = 64,5 Md : 64,5

7 n = 961, 62, 62, 64, 65, 66, 66, 68, 71 Le total des données est un nombre impair : Exemple : Divise le total par 2 :9 ÷ 2 = 4,5ce résultat décimal indique 2 paquets égaux avec une donnée supplémentaire. 61, 62, 62, 64,66, 66, 68, La médiane est donc cette donnée du milieu. Md : 65 En résumé :On divise le total des données de la liste par 2 : Résultat entier : on fait la moyenne arithmétique en utilisant la dernière donnée du premier paquet avec la première donnée du deuxième paquet. Résultat décimale : la médiane est la donnée entre les deux paquets.

8 Dans une liste de données dont le total des données est : Un multiple de 4 : n = 8 Il faut calculer Q 1, Q 2, Q 3 : Q2Q2 Q1Q1 Q3Q3 Un multiple de : n = 9 Q 2 est dans la liste, il faut calculer Q 1, Q 3 : Q2Q2 Q1Q1 Q3Q3 Un multiple de : n = 10 Il faut calculer Q 2 : Q 1 et Q 3 sont dans la liste : Q2Q2 Q1Q1 Q3Q3 Un multiple de : n = 11 Q 1, Q 2, Q 3 sont dans la liste : Q1Q1 Q2Q2 Q3Q3 61, 62, 62, 64, 65, 66, 66, 68 61, 62, 62, 64, 65, 66, 66, 68, 71 61, 62, 62, 64, 65, 66, 66, 68, 71, 73 61, 62, 62, 64, 65, 66, 66, 68, 71, 73, 75 Procédé 2 :

9 Minimum : 73 Q 1 = 92 Q 2 = 105 Q 3 = 129,5 maximum : e étape : Avec ces données, on peut construire le diagramme de quartiles. Trace un axe gradué, dintervalles égales, (selon le contexte) : Le minimum de la liste est 73; on commence donc la graduation à 70; Le maximum de la liste est 169; on termine donc la graduation à 170; On peut graduer laxe par 10 (pour faciliter la lecture); « Laxe vertical sert de garniture pour embellir le tableau. » Remarque : Lespace entre la graduation 70 et lorigine ne respecte pas les autres graduations; alors noublie pas de le signaler minimum maximum Q1Q1 Q2Q2 Q3Q3

10 Minimum = 73 Q 1 = 92 Q 2 = 105 Q 3 = 129,5 maximum = On met un léger trait pour représenter le minimum, Q 1, Q 2, Q 3 et le maximum. On dessine un rectangle de Q 1 à Q 3. Ce rectangle représente létendue interquartile On rejoint, par un segment, chaque extrémité du rectangle avec dun côté le minimum et de lautre, le maximum. Certains mathématiciens appellent ces lignes, des moustaches ! Dans une situation réelle, il faudrait donner un titre au tableau et un titre à laxe gradué pour savoir ce quils représentent. minQ1Q1 Q2Q2 Q3Q3 max ( E-I ).

11 Lire un diagramme de quartiles Représentons par un diagramme de quartiles, le sommaire des élèves dun groupe en mathématique. Voici la liste des résultats n = 27Min. : 38Max. : 93Q 1 : 65Q 2 : 73Q 3 : Résultats (%) Résultats sommaires dun groupe en mathématique 38, 43, 46, 52, 53, 59, 65, 67, 67, 71, 72, 72, 72, 73, 73, 74, 75, 76, 76, 76, 76, 78, 79, 82, 83, 90, 93. (en ordre croissant) :

12 Les 3 quartiles divisent la distribution de données en 4 quarts contenant le même nombre de données. Dans le premier quart (du minimum à Q 1 ) : Dans le deuxième quart (de Q 1 à Q 2 ) : Dans le troisième quart (de Q 2 à Q 3 ) : Dans le quatrième quart (de Q 3 au maximum) : 38, 43, 46, 52, 53, 59, 65, 67, 67, 71, 72, 72, 72, 73, 73, 74, 75, 76, 76, 76, 76, 78, 79, 82, 83, 90, , 43, 46, 52, 53, 59 67, 67, 71, 72, 72, 72 73, 74, 75, 76, 76, 76 78, 79, 82, 83, 90, % Résultats (%) Résultats sommaires dun groupe en mathématique

13 Dans le premier quart (du minimum à Q 1 ) :38, 43, 46, 52, 53, 59 Dans le deuxième quart (de Q 1 à Q 2 ) : 67, 67, 71, 72, 72, 72 Dans le troisième quart (de Q 2 à Q 3 ) :73, 74, 75, 76, 76, 76 Dans le quatrième quart (de Q 3 au maximum) :78, 79, 82, 83, 90, 93 Remarques :Les quartiles ( Q 1, Q 2, Q 3 ) ne font pas partie des données des quarts. Le minimum fait partie des données du premier quart. Le maximum fait partie des données du quatrième quart Résultats (%) Résultats sommaires dun groupe en mathématique

14 min. : 38max. : 93Q 1 : 65Q 2 : 73Q 3 : 76 Ce diagramme nous renseigne sur : - létendue dune distribution : maximum – minimum = - le minimum dune distribution = - le maximum dune distribution = - létendue interquartile (la longueur du rectangle) : Q 3 – Q 1 = Ce diagramme ne permet pas de déterminer : - le nombre de données de la distribution; - la moyenne de la distribution. - les médianes dune distribution : Q 1, Q 2, Q 3 = – 38 = – 65 = 11 65, 73, Résultats (%) Résultats sommaires dun groupe en mathématique

15 Résultats (%) Résultats sommaires dun groupe en mathématique Attention Les quartiles Q 1, Q 2, Q 3 sont des nombres délimitant les quarts. Les quarts sont des ensembles contenant les données. Quart 1Quart 2Quart 3Quart 4 38, 43, 46, 52, 53, 59, 65, 67, 67, 71, 72, 72, 72, 73, 73, 74, 75, 76, 76, 76, 76, 78, 79, 82, 83, 90, 93. Q 1 : 65 Q 2 : 73 Q 3 : 76 Quart 1 : Quart 2 : Quart 3 : Quart 4 : 38, 43, 46, 52, 53, 59 67, 67, 71, 72, 72, 72 73, 74, 75, 76, 76, 76 78, 79, 82, 83, 90, 93

16 Lutilité du diagramme de quartiles Résultats ( % ) Résultats sommaires dun groupe en mathématique min max Q1Q1 Q2Q2 Q3Q3 Le diagramme de quartiles est utile pour : - comprendre la dispersion ou la concentration des données (interprétation); - comparer des distributions de données différentes.

17 Interprétation du diagramme Quart 1 : Les résultats des étudiants de ce quart sont très dispersés; les résultats varient de 38 à 65 donc un écart de 27 points. Il y a au moins un étudiant très faible. On ne peut pas préciser la quantité détudiants ayant une note inférieure à 60. Quart 3 : Les résultats des étudiants de ce quart sont très concentrés; les résultats se concentrent entre 73 et 76 donc un écart de 3 points. Ceci indique quils sont tous à peu près de la même force Résultats ( % ) Résultats sommaires dun groupe en mathématique

18 On peut aussi remarquer que plus de 75 % des étudiants de ce groupe sont en situation de réussite. Soit les 3 quarts supérieurs à Q 1 et un ou quelques étudiants supérieurs à 60 %. Le 4 e quart montre une certaine dispersion parmi les plus forts. Létendue interquartile ( Q 3 – Q 1 ) est de 11 points. On peut donc dire que la moitié du groupe est sensiblement de même force. Remarque :On ne peut pas déterminer la moyenne de ce groupe ni le nombre délèves faisant partie du groupe ou de chaque quart. Il est donc essentiel de compléter les informations par dautres outils : liste des données,moyenne, autres tableaux,etc Résultats (%) Résultats sommaires dun groupe en mathématique La moitié des étudiants de ce groupe se situent entre 65 % et 76 %.

19 Comparer des distributions de données différentes. Prenons un exemple : Une agence de voyage fait parvenir des informations concernant deux destinations différentes, Miami et les Bermudes. Moyenne de température :Miami : 28 0 CBermudes : 28 0 C Les deux destinations sont aussi attrayantes lune que lautre. Lagence fait parvenir également les deux diagrammes de quartiles suivants: Températures ( 0 C) Écarts de température annuelles Miami Bermudes Le diagramme de quartiles permet une décision plus éclairée!

20 Comparer des distributions de données différentes. Exemple :Voici les diagrammes de quartiles représentant les résultats sommaires de 4 groupes de mathématique Résultats (%) Résultats sommaires des groupes en mathématique Gr. : 10 Gr. : 01 Gr. : 02 Gr. : 11 Létudiant le plus faible fait parti du groupe 01. Les deux étudiants les plus forts font partie des groupes 01 et 10.

21 Résultats (%) Résultats sommaires des groupes en mathématique Gr. : 10 Gr. : 01 Gr. : 02 Gr. : % des étudiants du groupe 01 et certains étudiants du groupe 02 sont en situation déchecs. Les deux groupes 10 et 11 sont, dans lensemble, les plus forts. Plus de 50 % des étudiants sont en voie de réussite. Le groupe 01 possède la plus grande étendue; ce qui montre une nette différence entre les plus forts et les plus faibles.

22 Résultats (%) Résultats sommaires des groupes en mathématique Gr. : 10 Gr. : 01 Gr. : 02 Gr. : 11 Les résultats des étudiants du groupe 02 sont plus regroupés; ce qui indique une plus grande homogénéité dans les résultats. Le groupe 10 est nettement plus fort que les autres groupes. Remarque : Les interprétations dun diagramme de quartiles dépendent de celui qui linterprète. À partir de cet exemple, dautres interprétations auraient été possibles.

23 Notes ( en % ) Nb d é l è v e s Notes ( en % ) Nb d é l è v e s Notes ( en % ) Nb d é l è v e s Notes ( en % ) Nb d é l è v e s A B C D Notes ( en % ) W X Y Z Tous les élèves ont au moins 60%. Personne na obtenu plus de 80 %. La moitié des résultats sont situés entre 65 % et 75 %. Un quart des élèves ont obtenu moins de 60%; un quart des élèves ont obtenu plus que 80%. 1) 2) 3) 4) 1)ZB2)XA 3)YD4)WC Voici quatre diagrammes à bandes et quatre affirmations décrivant ces résultats. reliés aux résultats de quatre groupe délèves lors dun test,quatre diagrammes de quartiles dans un même graphique représentant les mêmes résultats Associe chaque affirmation aux bons diagrammes.

24 Conclusion Le diagramme de quartiles permet de visualiser la concentration et la dispersion dune distribution de données. Il permet de tirer certaines conclusions. Cependant, les informations restent fragmentaires; pour mieux interpréter ce genre de graphique, il est essentiel de compléter létude avec dautres outils statistiques : - sujet de létude, - type détude, - moyenne de la distribution, - mode de la distribution, - autres tableaux statistiques, - etc. - le total des données,


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