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Factorisation dun trinôme carré parfait. Factorisation dun trinôme carré parfait. Un trinôme carré parfait est le produit dun binôme par lui-même. Exemples.

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1 Factorisation dun trinôme carré parfait

2 Factorisation dun trinôme carré parfait. Un trinôme carré parfait est le produit dun binôme par lui-même. Exemples : ( x + 5 ) 2 ( x + 5 ) x ( x + 5 ) + 5 ( x + 5 ) x x + 5 x + 25 x x + 25 On peut remarquer que : - le premier terme du trinôme est un carré; - le troisième terme du trinôme est un carré; - le terme du milieu est le double de la racine carrée du premier terme multiplié par la racine carrée du troisième terme; ( x - 5 ) 2 ( x - 5 ) x ( x - 5 ) - 5 ( x - 5 ) x x - 5 x + 25 x x le signe du 2 e terme est le même que celui du binôme. +-

3 x x le premier terme du trinôme est un carré; - le troisième terme du trinôme est un carré; Appelons le premier terme : T 1 T1T1 Appelons le deuxième terme : T 2 T2T2 Appelons le troisième terme : T 3 T3T3 T 1 est un carré : T 3 est un carré : x2x X T 1 X T 3 2 X x 2 X 25 2 X x X 5 = 10 x Un trinôme carré parfait doit respecter ces 3 conditions. T 2 = - le terme du milieu est le double de la racine carrée du premier terme multiplié par la racine carrée du troisième terme.

4 Détermine si ces trinômes sont des trinômes carrés parfaits. x x + 16 Oui T 1 est un carré :T 3 est un carré : x2x X T 1 X T 3 2 X x 2 X 16 2 X x X 4 = 8 x T 2 = x x + 36 Oui T 1 est un carré :T 3 est un carré : x2x X T 1 X T 3 2 X x 2 X 36 2 X x X 6 = 12 x T 2 = x x + 12 Non T 1 est un carré :T 3 nest pas un carré : x2x2 +12

5 x x - 36 Non T 1 est un carré : T 3 nest pas un carré car il est négatif: x2x x 2 - x + 20 NonT 1 nest pas un carré car il est négatif: - x 2 x x + 36 Non T 1 est un carré :T 3 est un carré : x2x X T 1 X T 3 2 X x 2 X 36 2 X x X 6 = 12 x T2 T2 12 x 13 x Un trinôme carré parfait doit respecter les 3 conditions.

6 2 x x + 98 Non, T 1 est un carré :T 3 est un carré : x2x X T 1 X T 3 2 X x 2 X 49 2 X x X 7 = 14 x T 2 = En faisant un simple mise en évidence, on obtient : 2 ( x x + 49 ) Remarque :La simple mise en évidence est la première étape dune factorisation lorsquun même facteur se retrouve dans tous les termes dun polynôme. mais il contient un trinôme carré parfait.

7 Factoriser un trinôme carré parfait Pour factoriser un trinôme carré parfait, il faut dabord vérifier si le trinôme en est un en lanalysant avec les 3 conditions : T 1 est-il un carréT 3 est-il un carré? 2 X T 1 X T 3 T 2 est-il égal à :? Si oui : - on extrait la racine carrée de T 1 et T 3 ; - on récupère le signe de T 2 pour le placer dans le binôme; Exemple : Factoriser le trinôme suivant : x x + 9 T 1 est un carré :T 3 est un carré : x2x X T 1 X T 3 2 X x 2 X 9 2 X x X 3 = 6 x T 2 = Analyse du trinôme : x x + 9 est donc un trinôme carré parfait. - on indique que le binôme est un carré.

8 x x On extrait la racine carrée de T 1 et T 3 : - On récupère le signe de T 2 pour le placer dans le binôme. - On indique que le binôme est un carré. x x +9 + x 3 ( ) 2 = ( x + 3) 2

9 x x On extrait la racine carrée de T 1 et T 3 : - On récupère le signe de T 2 pour le placer dans le binôme. - On indique que le binôme est un carré. x x x 8 ( ) 2 = ( x - 8) 2

10 Identifie, puis factorise les trinômes carrés parfaits. x x T 1 est un carré :T 3 est un carré : x2x2 121 T 2 = est un trinôme carré parfait. x x = ( x + 11 ) 2 x x T 1 est un carré :T 3 est un carré : x2x2 144 nest pas un trinôme carré parfait. 2 X T 1 X T 3 2 X x 2 X X x X 12 = 24 x T2 T2 24 x 26 x Remarque : x x se factorise quand même mais par un autre procédé. x x = ( x + 6) ( x + 8) = 22 x 2 X T 1 X T 3

11 Identifie, puis factorise les trinômes carrés parfaits. x x T 1 est un carré :T 3 est un carré : x2x2 169 T 2 = est un trinôme carré parfait. x x = ( x - 13 ) 2 3 x x + 3 T 1 est un carré :T 3 est un carré : x2x2 1 T 2 = contient un trinôme carré parfait : 3( x + 1 ) 2 3( x x + 1) 3 x x + 3 = 3( x x + 1) = Remarque : Le nombre 1 est un nombre particulier en mathématiques. Il est un carré : 1 2 = 1 Il est aussi un cube : 1 3 = 1 Il est aussi … = 26 x 2 X T 1 X T 3 = 2 x 2 X T 1 X T 3

12 Trouver un 3 e terme pour former un trinôme carré parfait Il existe plusieurs techniques de factorisation de trinômes, la technique de complétion du carré. Cest une technique comportant quelques étapes; La présentation « La technique de la complétion du carré.ppt » explique cette technique. Pour linstant, voyons comment trouver ce troisième terme afin de compléter un trinôme carré parfait. une delles sappelle trouver un troisième terme afin de créer un trinôme carré parfait. une de ces étapes consiste à

13 On voudrait créer un trinôme carré parfait à partir de cette expression algébrique. x x + ? Pour déterminer ce nombre, on peut utiliser une des conditions danalyse dun trinôme carré parfait soit 2 X T 1 X T 3 T 2 = 2 X T 1 Élevons lexpression au carré : Comme nous cherchons T 3, 2 X T 1 X T 3 T2T2 = T2T2 2 X T 1 T 3 = T2T2 2 X T 1 T 3 2 = 2 T2T2 2 X T 1 2 T 3 = isolons, à partir de cette équation, T 3 :

14 Pour obtenir le troisième terme, on peut le calculer à laide de cette expression : T2T2 2 X T 1 2 T 3 = x x + ? 6x6x 2 X x 2 2 T 3 = 6x6x 2 X x 2 T 3 = = 2 = ( 3 ) = 9 Le trinôme carré parfait est donc x x + 9 ; factorisé : ( x + 3) 2

15 Détermine le troisième terme de ces expressions algébriques afin de créer un trinôme carré parfait. x x + ? T2T2 2 X T 1 2 T 3 = 4x4x 2 X x 2 2 T 3 = 4x4x 2 X x 2 = T 3 = 2 = ( 2 ) = 4 Le trinôme carré parfait est donc x x + 4 ; factorisé : ( x + 2 ) 2

16 x x + ? T2T2 2 X T 1 2 T 3 = -16 x 2 X x 2 2 T 3 = -16 x 2 X x 2 T 3 = T 3 = 2 = ( -8 ) = 64 Le trinôme carré parfait est donc x x + 64 ; factorisé : ( x – 8 ) 2

17 x x + ? T2T2 2 X T 1 2 T 3 = 7 x 2 X x 2 2 T 3 = 7 x 2 X x 2 T 3 = = Le trinôme carré parfait est doncfactorisé : T 3 = 49 4 x x + 49 ; 4 x

18 2 x x + ? T2T2 2 X T 1 2 T 3 = -10 x 2 X x 2 2 T 3 = -10 x 2 X x 2 T 3 = T 3 = 2 = ( -5 ) = 25 Le trinôme est donc 2( x x + 25) ; factorisé : 2( x – 5 ) 2 Il faut, en premier, faire une simple mise en évidence pour que T 1 devienne un carré. 2( x x + ?)


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