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Remarque :Tu devrais visionner toutes les présentations sur la factorisation avant de visionner celle-ci. Les fractions rationnelles Définition.

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1 Remarque :Tu devrais visionner toutes les présentations sur la factorisation avant de visionner celle-ci. Les fractions rationnelles Définition

2 Exemple : x x + 8 x x + 28 Voici deux rectangles semblables et les expressions algébriques représentant leurs aires. On voudrait représenter le rapport des aires de ces deux rectangles. Rapport des aires = x x + 8 x x + 28 le numérateur est un polynôme; le dénominateur est un polynôme; appelons-le P( x ); appelons-le Q( x ). ? dans laquelle Q( x ) 0. On appelle fraction rationnelle une expression de la forme Q( x ) P( x ) dans laquelle Q( x ) 0. On appelle fraction rationnelle une expression de la forme Q( x ) P( x )

3 Q( x ) 0;cette partie de la définition est importante. En mathématique la division par 0 nest pas définie. Exemple : Posons x = 5 0 Effectuons le produit croisé : 0 x = 5 Cette expression signifie : « Quelles valeurs doit-on donner à x pour que multiplié par 0, on obtienne 5 »? En mathématique la division par 0 nest pas définie. Le dénominateur dune fraction rationnelle ne doit jamais être égal à 0. ? dans laquelle Q( x ) 0. On appelle fraction rationnelle une expression de la forme Q( x ) P( x )

4 Le dénominateur dune fraction rationnelle ne doit jamais être égal à 0. Voici une situation qui démontre la raison de cette restriction. Un ami organise une fête. Il veut partager les frais (500 $) entre les personnes présentes. La fonction représentant cette situation est : x f(x) =, 500 dans laquelle x représente le nombre de participants et f(x), le coût à payer par participant. x ne peut pas valoir 0, ce qui signifierait que personne ne viendrait. et ? 0 f(0) = 500

5 Le dénominateur dune fraction rationnelle ne doit jamais être égal à 0. La même personne, étant lorganisateur de cette fête, considère quil na pas à payer. Il veut partager les frais (500 $) entre les personnes présentes. La fonction représentant cette situation est : 500 x - 1 f(x) =, dans laquelle x représente le nombre de participants et f(x), le coût à payer par participant. x ne peut pas valoir 1,car ? f(1) = = 500 0

6 Le dénominateur dune fraction rationnelle ne doit jamais être égal à 0. Il faut donc sassurer que le dénominateur soit différent de 0. Exemple : x + 2 x + 7 pour que cette fraction puisse exister, il faut que x donc si, x x - 7 Dans cette expression, x peut prendre nimporte quelle valeur, mais pas -7 car cette valeur annule le dénominateur. Cette valeur à ne pas retenir peut être appelée : - une restriction; - une condition dexistence; - une valeur de la variable pour laquelle la fraction nest pas définie. alors x = 0

7 Déterminer une restriction Pour déterminer les restrictions à donner à une fraction rationnelle, il faut : - factoriser le dénominateur, sil y a lieu; - déterminer la valeur de la variable qui annule le polynôme dans chaque facteur; - éliminer cette (ces) valeur(s). Exemple : x x + 8 x x + 28 x x ( x + 4 ) ( x + 7 ) 0 ( x + 4 ) 0, donc x - 4 ( x + 7 ) 0, donc x - 7 Cette fraction peut exister pour toutes valeurs de x sauf - 7 et - 4. x - 7 et - 4 Remarque : On ne donne des restrictions quau dénominateur, jamais au numérateur.

8 Déterminer les restrictions à donner aux fractions rationnelles suivantes. x + 3 x 2 - x - 6 x 2 - x – 6 0 ( x + 2 ) ( x - 3 ) 0 ( x + 2 ) 0, donc x - 2 ( x - 3 ) 0, donc x 3 si x - 2 et 3 x x + 25 x x ( x + 5 ) ( x - 5 ) 0 ( x + 5 ) 0, donc x - 5 ( x - 5 ) 0, donc x 5 si x - 5 et 5 x + 3 x 2 - x - 6 x x + 25 x

9 Déterminer les restrictions à donner aux fractions rationnelles suivantes. x x x donc 2 x 5 x 5 2 x x x x - 6 ( 2 x + 1 ) ( x - 6 ) 0 ( 2 x + 1 ) 0, donc 2 x - 1 ( x - 6 ) 0, donc x 6 2 x x – 6 0 x x 5 2 si x x - 5 x et 6 si x x x x - 6

10 Les opérations avec les fractions rationnelles suivent les mêmes règles quavec les fractions numériques. Les restrictions sont toujours la première étape dun problème comportant des fractions rationnelles. La factorisation est donc un procédé très utilisé avec les fractions rationnelles. Nous verrons ce quil en est dans les prochaines présentations.


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