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Géométrie analytique Distance dun point à une droite.

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1 Géométrie analytique Distance dun point à une droite

2 La méthode calculant la distance dun point à une droite nous permet de déterminer la longueur du segment qui relie ce point à la droite. Cette distance doit être la plus courte possible. Cest donc le segment perpendiculaire à la droite, qui est le plus court chemin. La démarche calculant la distance dun point à une droite tient donc compte de ce principe y x

3 Soit la droite d 1 ayant comme équation y 1 = - 2x + 6; on cherche la distance entre le point (6, 4) et cette droite. 1)Déterminons la pente de la droite d 2 : m d 1 = - 2 d 1 d 2 donc, m d 2 = 1 2 2)Déterminons léquation de la droite d 2 : y = mx + b 1 2 y = x + bavec (6, 4)4 = X 6 + b = 3 + b 1 = b Équation d 2 : y = 0,5 x + 1 Distance dun point à une droite oblique d1d1 d2d2 (6, 4) y x

4 d1d1 d2d2 3)Déterminons les coordonnées du point dintersection des droites d 1 et d 2. En utilisant la méthode de comparaison : y = - 2x + 6y = 0,5 x x + 6 = 0,5x = 2,5x 2 = x y = 0,5 x + 1 y = 0,5 X = 2 Coordonnées du point dintersection (2, 2). y x

5 4)Calculons la distance entre le point dintersection des deux droites et le point (6, 4) : P1P1 P2P2 ( x1x1 x2x2 - ) 2 ( y1y1 y2y2 - ) 2 + d (P 1, P 2 ) = P 1 (2, 2) P 2 (6, 4) ( ) 2 ( ) 2 + d (P 1, P 2 ) = ,472 Distance du point P 2 à la droite d 1 4, d1d1 d2d2 (6, 4) y x

6 Distance dun point à une droite parallèle à laxe des ordonnées Une droite parallèle à laxe des ordonnées possède toujours la même abscisse. | x 2 – x 1 | | 6 – 2 | = d ( P, d 1 ) : On calcule simplement la différence des abscisses entre le point et la droite en valeur absolue. x y P (6, 3) d1d1 4 Cas particuliers

7 Distance dun point à une droite parallèle à laxe des abscisses Une droite parallèle à laxe des abscisses possède toujours la même ordonnée. | y 2 – y 1 | | 6 – 1 | = d ( P, d 1 ) : On calcule simplement la différence des ordonnées entre le point et la droite en valeur absolue. 5 x y P1P1 (2, 6) d1d1


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