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Formules daires des solides. Le calcul de laire totale dun solide correspond à laire de tous les polygones ou cercles qui le composent. Le calcul se fait.

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1 Formules daires des solides

2 Le calcul de laire totale dun solide correspond à laire de tous les polygones ou cercles qui le composent. Le calcul se fait en trois étapes : On calcule laire des bases ou de la base; 1 On calcule laire des faces latérales; 2 On additionne le tout. 3

3 L l l h L h Aire totale des prismes Pour bien comprendre, faisons une représentation en 2 dimensions de ce prisme. Longueur largeur hauteur On peut donc calculer laire de chaque rectangle et en faire la somme pour obtenir laire totale du prisme. Cependant, il existe une formule plus rapide pour obtenir le même résultat. Les basesLes faces latérales L l l h L h

4 Aire totale des prismes Longueur largeur hauteur 1) Calculer laire des bases :- chaque base est un rectangle, donc A = L X l; - il y a 2 bases, donc laire des deux bases = 2 X L X l. 2) Calculer laire latérale : on multiplie ensuite par la hauteur. donc L + l + L + l ou 2 ( L + l ) ; Aire latérale = 2 ( L + l ) X h Aire totale dun prisme = Aire des 2 bases + laire latérale Aire totale dun prisme = Aire des 2 bases + périmètre dune base X hauteur L l L l lensemble des rectangles forme un grand rectangle. La longueur de ce rectangle correspond au périmètre dune base, h ou

5 2 2 X b X h Aire totale dun prisme = Aire bases + P base X h Aire totale = 2 X n c a 2 n : nombre de côtés Aire totale = (ici 6) a : mesure de lapothème c : mesure dun côté 2 X L x l2 ( L + l ) h + n c h + ( c 1 + c 2 + c 3 ) h + c3c3 c2c2 c1c1 Attention : Il ne faut pas confondre la hauteur du triangle et la hauteur du prisme. h h Remarque :La hauteur dun prisme est le segment reliant les deux bases. L l h h h

6 Exemple Calcule laire totale de ce prisme. 4 cm 5 cm3 cm Aire totale dun prisme = Aire bases + P base X h Aire totale = 2 X L X l + 2 ( L + l ) X h Aire totale = 2 X 4 X ( ) X 3 Aire totale = Aire totale = 94 cm 2

7 Remarque : Certaines situations peuvent ne demander que laire latérale. Prends le temps de lire et de comprendre la situation. Exemple : 4 cm 5 cm3 cm Calcule laire latérale de ce prisme : Aire totale dun prisme = Aire bases + P base X h Tu nas pas besoin de toute la formule. 2 X L x l + 2 ( L + l ) X h Aire totale = Aire latérale = 54 Aire latérale = 54 cm 2 2 ( ) X 3Aire latérale =

8 Aire totale du cube c Le cube est une figure régulière composée de 6 carrés. La formule pour calculer son aire totale est simple. Aire totale = 6 c 2,car il est composé de 6 carrés. Aire latérale = 4 c 2, car laire latérale est composée de 4 carrés. Remarque : Tu peux aussi utiliser la formule des prismes puisque le cube est un prisme.

9 Exemple Calcule laire totale de ce prisme. Aire totale dun prisme = Aire bases + P base X h Aire totale = 2 X n c a 2 n c h + 5 m 4 m 12 m Aire totale = 2 X 6 X 5 X X 5 X 12 + Aire totale = Aire totale = 480 m 2

10 Exemple Calcule laire totale de ce prisme. 8 cm 6 cm 10 cm 9 cm Aire totale dun prisme = Aire bases + P base X h Aire totale = 2 2 X b X h ( c 1 + c 2 + c 3 ) h + 2 X 10 X 4,8 Aire totale = 2 ( ) X 9 + Aire totale = 264 cm 2 4,8 cm Aire totale =

11 10 dm Exemple Calcule laire totale de ce cube. Aire totale dun cube = 6c 2 Aire totale du cube = 6 X 10 2 Aire totale du cube = 600 dm 2 Calcule laire latérale de ce cube. Aire latérale dun cube = 4c 2 Aire latérale du cube = 4 X 10 2 Aire latérale du cube = 400 dm 2 Aire totale du cube = 6 X 100 Attention Priorité dopérations On doit calculer lexposant avant deffectuer la multiplication par le coefficient.

12 Aire totale des pyramides Avant de calculer laire, il faut connaître 3 segments très importants. Hauteur La hauteur dune pyramide droite arrive perpendiculairement au centre de la base. Comme la hauteur arrive au centre de la base, la mesure du demi-côté vaut la moitié de la mesure du côté. Exemple 6 3 Demi-côté Lapothème de la pyramide Lapothème est une ligne joignant le sommet dune pyramide au milieu dun des côtés de la base.

13 La relation de Pythagore nous sera donc très utile. a b c c 2 = a 2 + b 2

14 Aire totale des pyramides 1) Calculer laire de la base :dans cet exemple, la base est un carré donc c 2. 2) Calculer laire latérale : - Le périmètre de la base est un carré, - La mesure du périmètre de la base est multipliée par lapothème et divisée par 2 (puisque ce sont des triangles). donc 4 c. Aire totale dune pyramide = Aire de la base + Périmètre de la base X apothème 2 Aire latérale = 4 X c X a 2 Pour bien comprendre, faisons une représentation en 2 dimensions de cette pyramide. Lapothème de la pyramide correspond à la hauteur du triangle. la longueur totale des bases de ces triangles correspond au périmètre de la base.

15 Aire totale dune pyramide = Aire de la base + Périmètre de la base X apothème 2 Droite à base hexagonale. Aire totale dune pyramide = Aire base + P base X apothème 2 Aire totale de la pyramide = c 2 + 4c X apothème 2 Aire totale de la pyramide = + nc X apothème 2 2 nca Attention : Il ne faut pas confondrelapothème du polygoneet lapothème de la pyramide. n : nombre de côtés c : mesure dun côté a apothème Droite à base carrée.

16 Exemple : 6 cm 5 cm 6 cm Aire totale de la pyramide = Aire base + P base X apothème 2 Aire totale de la pyramide = c 2 + 4c X apothème 2 Aire totale de la pyramide = X 6 X = 96 cm 2 Calcule laire totale de cette pyramide.

17 Exemple : 12 m ? 8 m Calcule laire totale de cette pyramide. La mesure de lapothème est inconnue, c 2 = a 2 + b 2 c 2 = ) Déterminer le demi-côté : 6 m 3) Déterminer lapothème : c 2 = 100 c = 10 m 6 m c b a donc il faut : 2) Utiliser la hauteur : 8 m

18 Exemple : 12 m 10 m 12 m Aire totale de la pyramide = Aire base + P base X apothème 2 2 Aire totale de la pyramide = c 2 + 4ca Aire totale de la pyramide = X 12 X = 384 m 2 8 m Calcule laire totale de cette pyramide.

19 Exemple : Aire totale de la pyramide = Aire base + P base X a 2 Calcule laire totale de cette pyramide. c = 7 m a hexagone = 4 m a pyramide = 12 m 2 nca p Aire totale de la pyramide = nca h X 7 X 12 Aire totale de la pyramide = 6 X 7 X Aire totale de la pyramide = 84 m m 2 = 336 m 2 apothème de lhexagone apothème de la pyramide

20 Aire totale dun cylindre Pour bien comprendre le problème, faisons une représentation en 2 dimensions de ce cylindre. 1) Calculer laire des bases : En déroulant la face latérale dun cylindre, nous obtenons un rectangle. - chaque base étant un cercle, donc A = π r 2. - il y a 2 bases, donc 2 π r 2. 2) Calculer laire latérale : - la largeur du rectangle correspond à la hauteur du cylindre; h - la longueur du rectangle correspond à la circonférence du cercle. Aire latérale = 2 π r X h Aire totale dun cylindre = Aire des bases + aire latérale Aire totale dun cylindre = 2 π r π rh

21 Exemple : Aire totale dun cylindre = 2 π r π rh 471,24 cm 2 5 cm 10 cm Calcule laire totale de ce cylindre. Aire totale dun cylindre = Aire des bases + aire latérale Aire totale dun cylindre = 2 X π X X π X 5 X 10 + Aire totale dun cylindre 157,08 314,16 +

22 Pour le calcul de laire, nous devons connaître 3 segments très importants. Hauteur La hauteur dun cône droit arrive perpendiculairement au centre du cercle. Rayon Lapothème est une ligne joignant le sommet dun cône à un point de la circonférence de la base. Laire totale dun cône Remarque : On fait correspondre lapothème avec le côté du cône. Apothème

23 Encore une fois, la relation de Pythagore nous sera très utile. a b c c 2 = a 2 + b 2

24 Aire totale dun cône Nous pourrions comparer un cône à une pyramide dont la base serait composée dune infinité de segments avec une infinité de faces latérales. La formule pour trouver laire totale dun cône ressemble donc à celle de la pyramide.

25 Aire totale dun cône Aire totale dun cône = Aire de la base 2 Circonférence de la base X apothème + Aire totale dun cône = π X r X π X r X a 2 Aire totale dun cône = π r π r a 2 Aire totale dun cône = Aire de la base +Aire latérale

26 Exemple 3 cm 5 cm Calcule laire totale de ce cône. Aire totale dun cône = π r π r a 2 Aire totale de ce cône = π X X π X 3 X 5 2 Aire totale de ce cône 28, ,12 75,39 cm 2

27 Exemple La mesure de lapothème est inconnue, c 2 = c 2 = ) Utiliser le rayon : 9 m 2) Déterminer lapothème : c 2 = 225 c = 15 m 9 m 12 m Calcule laire totale de ce cône. ? c 2 = a 2 + b 2 c b a donc il faut : et la hauteur : 12 m

28 9 m 12 m 15 m Calcule laire totale de ce cône. Aire totale dun cône = π r π r a 2 Aire totale de ce cône = π X X π X 9 X 15 2 Aire totale de ce cône 254, ,12 678,59 m 2

29 Aire dune sphère Une sphère na pas de développement. Cependant, si nous défaisions sa surface, nous obtiendrions 4 cercles. Comme laire dun cercle se calcule avec la formule A = π r 2 et que la sphère est composée de 4 cercles, alors Aire dune sphère = 4 π r 2

30 Exemple Calcule laire de la sphère suivante. r = 5 dm A sphère = 4 π r 2 A sphère = 4 X π X 5 2 A sphère 314,16 dm 2

31 En résumé Aire totale dun prisme = Aire bases + P base X h Aire totale dune pyramide = Aire base + P base X apothème 2 Ces deux formules dépendent de la forme des bases. 2 π r π rh Aire totale dun cylindre = Aire des bases + aire latérale π r π r a 2 Aire totale dun cône = Aire base + C base X apothème 2 Aire dune sphère = 4 π r 2 Aire totale du cube : 6 c 2 Aire latérale du cube : 4 c 2


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