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Inéquations du second degré à deux variables Remarque :Tu devrais visionner : - Inéquations du premier degré à deux variables.ppt; - La fonction quadratique.

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1 Inéquations du second degré à deux variables Remarque :Tu devrais visionner : - Inéquations du premier degré à deux variables.ppt; - La fonction quadratique : zéros de fonction.ppt; - La fonction quadratique : sommet, axe de symétrie, extrémum, ordonnée à lorigine.ppt; avant de regarder cette présentation.

2 Inéquations du second degré à deux variables. y x y x y x y x

3 Inéquation du second degré à deux variables Exemple : Une solution dune inéquation du second degré à deux variables correspond à un couple de valeurs qui vérifient cette inéquation. Lensemble des couples qui vérifient une inéquation du second degré à deux variables est appelé lensemble-solution. Voici un carré et un rectangle dont certaines dimensions sont données par des expressions algébriques. ( x – 4) y 2 On aimerait connaître pour quelles valeurs de x et de y, laire du carré est inférieure à celle du rectangle.

4 ( x – 4) y 2 Il existe plusieurs solutions possibles. En déterminant les expressions algébriques représentant les aires de chaque figure : Aire du carré : C 2 = ( x – 4) 2 = ( x – 4) ( x – 4)= x 2 – 8 x + 16 Aire du rectangle :L X l =y X 2 =2y et en posant linéquation : Aire du carré < aire du rectangle x 2 – 8 x y< Déterminons quelques couples.

5 x 2 – 8 x + 16 < 2y Pour (5, 1) :5 2 – 8 X < 2 X 1 25 – < 2 41 – 40 < 2 1 < 2Vrai. Pour (6, 3) :6 2 – 8 X < 2 X 3 36 – < 6 52 – 48 < 6 4 < 6Vrai. x 2 – 8 x + 16 < 2y

6 x 2 – 8 x + 16 < 2y Pour (7, 5) :7 2 – 8 X < 2 X 5 49 – < – 56 < 10 9 < 10Vrai. Pour (9, 1) :9 2 – 8 X < 2 X 1 81 – < 2 97 – 72 < 2 15 < 2Faux; x 2 – 8 x + 16 < 2y à rejeter. Il existe encore beaucoup de solutions possibles. Certains couples ne sont donc pas solutions de linéquation.

7 Comme il existe une infinité de solutions possibles, il est préférable de représenter graphiquement lensemble-solution dune inéquation du second degré à deux variables dans un plan cartésien. Démarche : 1) Tracer une esquisse de léquation : x 2 – 8 x + 16 = 2y 1.1 Ramener léquation égale à y : x 2 – 8 x + 16 = 2y 22 0,5 x 2 – 4 x + 8 = y 0,5 x 2 – 4 x + 8 y = 2 1 y x

8 Comme il existe une infinité de solutions possibles, il est préférable de représenter graphiquement lensemble-solution dune inéquation du second degré à deux variables dans un plan cartésien. Démarche : 1) Tracer une esquisse de léquation : 1.2 Déterminer les coordonnées : 0,5 x 2 – 4 x + 8 y = 2a - b 4ac – b 2 4a, - du sommet : ( 4, 0 ) - des abscisses à lorigine : 2a b 2 – 4ac b 4 Pour plus de précision, on pourrait aussi déterminer lordonnée à lorigine : y x

9 Sommet (4, 0) Abscisse à lorigine : 4 Ordonnée à lorigine : 8 0,5 x 2 – 4 x + 8 y > 1.3 Tracer la courbe frontière. La courbe doit être en pointillée, car 0,5 x 2 – 4 x + 8 y > 2) Déterminer un couple qui vérifie linéquation : 0,5 x 2 – 4 x + 8 y > Pour (6, 4) : 4 > 0,5 X 6 2 – 4 X > 0,5 X 36 – 4 X > > 2 Vrai, 4 > 18 – 4 X donc 2 1 y x

10 0,5 x 2 – 4 x + 8 y > Rappel 0,5 x 2 – 4 x + 8 y > Pour (0, 0) :0 > 0 X 0 2 – 4 X > 8 Faux, donc Lorsque la courbe ne passe pas par lorigine du plan cartésien, on peut utiliser les coordonnées de lorigine pour vérifier linéquation. Les calculs sont alors plus simples. 2 1 y x

11 Attention Le problème nest pas terminé. Il faut respecter le contexte. ( x – 4 ) y 2 Il faut enlever les valeurs négatives de x et y, car les expressions algébriques ne peuvent être négatives Il faut également enlever les couples dans lesquels les valeurs de x sont comprises entre 0 inclus et 4 inclus, car les valeurs du binôme ne peuvent être négatives ou nulle Lensemble-solution doit tenir compte du contexte. Il faut donc bien saisir la donnée du problème. Exemples : (0, 10), (1, 8), (3, 4), (4, 5), etc. (contexte géométrique). Donc, x doit être plus grand que 4( x > 4 ). (contexte géométrique). 2 1 y x


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