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Factorisation par la complétion du carré Remarque : Tu devrais visionner les présentations : - Factorisation dun trinôme carré parfait.ppt - Factorisation.

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1 Factorisation par la complétion du carré Remarque : Tu devrais visionner les présentations : - Factorisation dun trinôme carré parfait.ppt - Factorisation dune différence de carré.ppt avant de visionner celle-ci.

2 La technique de la complétion du carré sert à : - Factoriser un trinôme; - Déterminer les zéros dune fonction quadratique; - Résoudre une équation du second degré. Exemple : ( x + 2) ( x + 4) y x x x + 8 x x - 44 = - 20 x 1 = - 6 x 2 = 4

3 Cette technique utilise deux autres techniques de factorisation de trinôme : - factorisation dun trinôme carré parfait; - factorisation dune différence de carré.

4 Exemples Factoriser x x – 9. x x 1) Déplacer le 3 e terme : - 9 2) Déterminer un nouveau terme à laide de la formule : T2T2 2 X T 1 2 T 3 = 8x8x 2 X x 2 2 = = 8x8x 2 X x = = 2 ( 4 ) = 16 3) Insérer ce terme avec les deux premiers pour former un trinôme carré parfait : x x ) Pour ne pas changer la valeur du trinôme de départ, on soustrait la même quantité au terme constant Ce trinôme nest pas un trinôme carré parfait. Nous allons utiliser les 2 premiers termes pour créer un trinôme carré parfait.

5 5) On regroupe le tout : x x x x ( ) 6) On factorise le trinôme carré parfait : ( x + 4) ) On factorise par une différence de carré : ( x + 4) ( x + 4) 5 en se souvenant quune différence de carrés provient defacteurs conjugués : ( ( x + 4) - 5 ) ( ( x + 4) + 5 ) 8) On complète les calculs : ( x ) ( x ) ( x - 1) ( x + 9)

6 Factorise : x x + 16 x x 1) Déplacer le 3 e terme : ) Déterminer un nouveau terme à laide de la formule : T2T2 2 X T 1 2 T 3 = 10 x 2 X x 2 2 = = 10 x 2 X x = = 2 ( 5 ) = 25 3) Insérer ce terme avec les deux premiers pour former un trinôme carré parfait : x x ) Pour ne pas changer la valeur du trinôme de départ, on soustrait la même quantité au terme constant. - 25

7 5) On regroupe le tout : x x x x ( ) 6) On factorise le trinôme carré parfait : ( x + 5) ) On factorise par une différence de carré : ( x + 5) ( x + 5) 3 en se souvenant quune différence de carrés provient defacteurs conjugués : ( ( x + 5) - 3 ) ( ( x + 5) + 3 ) 8) On complète les calculs : ( x ) ( x ) ( x + 2) ( x + 8)

8 Factorise : x x + 48 x x 1) Déplacer le 3 e terme : ) Déterminer un nouveau terme à laide de la formule : T2T2 2 X T 1 2 T 3 = 14 x 2 X x 2 2 = = 14 x 2 X x = = 2 ( 7 ) = 49 3) Insérer ce terme avec les deux premiers pour former un trinôme carré parfait : x x ) Pour ne pas changer la valeur du trinôme de départ, on soustrait la même quantité au terme constant. - 49

9 5) On regroupe le tout : x x x x ( ) 6) On factorise le trinôme carré parfait : ( x + 7) ) On factorise par une différence de carré : ( x + 7) ( x + 7) 1 en se souvenant quune différence de carrés provient defacteurs conjugués : ( ( x + 7) - 1 ) ( ( x + 7) + 1 ) 8) On complète les calculs : ( x ) ( x ) ( x + 6) ( x + 8)

10 Factorise : x x x x 1) Déplacer le 3 e terme : ) Déterminer un nouveau terme à laide de la formule : T2T2 2 X T 1 2 T 3 = 58 x 2 X x 2 2 = = 58 x 2 X x = = 2 ( 29 ) = 841 3) Insérer ce terme avec les deux premiers pour former un trinôme carré parfait : x x ) Pour ne pas changer la valeur du trinôme de départ, on soustrait la même quantité au terme constant

11 ( ) x x ) On regroupe le tout : x x ) On factorise le trinôme carré parfait : ( x + 29) ) On factorise par une différence de carré : ( x + 29) ( x + 29) 13 en se souvenant quune différence de carrés provient defacteurs conjugués : - 13 ( ( x + 29) ) 8) On complète les calculs : ( x ) ( x ) ( x + 16) ( x + 42) + 13 ( ( x + 29) )

12 1 4 - Factorise : 2 x 2 – 2 x - 60 Attention : il faut donc faire une simple mise en évidence comme première étape afin que ce premier terme devienne un carré. Ce terme nest pas un carré; 2 ( x 2 – x – 30 ) x 2 - x 1) Déplacer le 3 e terme : - 30 ) 2) Déterminer un nouveau terme à laide de la formule : T2T2 2 X T 1 2 T 3 = -1 x 2 X x 2 2 = = -1 x 2 X x = = 3) Insérer ce terme avec les deux premiers pour former un trinôme carré parfait : 4) Pour ne pas changer la valeur du trinôme de départ, on soustrait la même quantité au terme constant. 2 ( On travaille alors avec lintérieur de la parenthèse. 2 x 2 – x - 30

13 2 x 2 – x ) On regroupe le tout : 6) On factorise le trinôme carré parfait : 7) On factorise par une différence de carré : x 2 – x x en se souvenant quune différence de carrés provient defacteurs conjugués. x x

14 8) On complète les calculs : 2 x x ( x – 6) ( x + 5) 2 x x x x x x En se souvenant quune différence de carrés provient defacteurs conjugués :

15 La technique de complétion du carré est loutil le plus utile avec les polynômes du second degré. Au début, elle semble un peu lourde pour le débutant, mais avec la pratique, elle est la technique la plus rapide et la plus efficace. Elle factorise, détermine les zéros de fonction et résout les équations du second degré de nimporte quel polynôme factorisable.


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