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Les fonctions leurs propriétés et. Chaque fonction possède ses propres caractéristiques : Ainsi, lanalyse de ces propriétés permet de cerner chaque type.

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1 Les fonctions leurs propriétés et

2 Chaque fonction possède ses propres caractéristiques : Ainsi, lanalyse de ces propriétés permet de cerner chaque type de fonctions. - domaine; - codomaine (ou image); - variation; - signes; - coordonnées à lorigine; - extrémums; - axe de symétrie.

3 Pour décrire les caractéristiques dune fonction, il faut dabord vérifier si elle est bornée ou non. Dans lexemple ci-contre, la fonction est bornée. Elle a un débutet une fin y x

4 Le domaine dune fonction

5 Le domaine dune fonction est lensemble de toutes les valeurs que prend la variable indépendante de la fonction. Nous nous intéressons donc aux valeurs de x (la variable indépendante) dans la fonction. Il faut donc lire sur laxe des x. Dans cet exemple, dom f :[ 0, 4 ] De façon formelle, on écrit dom f = { x ( x, f(x) ) f(x) } y x

6 Donne le domaine des fonctions suivantes. dom f : [ -5, 8 ] y x

7 dom f : [ -9, 3 ] y x

8 dom f : [ -5, 5 ] y x

9 dom f :[ -7, 7 ] y x

10 dom f : [ -7, 9 ] y x

11 Le domaine peut être alors beaucoup plus grand. De jusquà - + oudom f : R Lorsquon analyse un modèle théorique, il faut savoir que la fonction nest pas bornée. dom f : ] -, + [ y x

12 Remarque Lintervalle signifie tous les nombres réels. Il est donc préférable dutiliser le symbole représentant cette famille, soit R. dom f : R pas mauvais préférable dom f : ] -, + [ ] -, + [

13 dom f : R Donne le domaine des fonctions suivantes y x

14 dom f : R y x

15 Le codomaine dune fonction ou limage dune fonction

16 Le codomaine ou limage dune fonction est lensemble de toutes les valeurs que prend la variable dépendante de la fonction. Nous nous intéressons donc aux valeurs que prend f(x) (variable dépendante) dans la fonction. Il faut donc lire sur laxe des y. Dans cet exemple, ima f : [ 0, 8 ] On pourrait aussi écrire : De façon formelle, on écrit ima f = { f(x) ( x, f(x) ) f(x) }. codom f : [ 0, 8 ] y x

17 ima f : [ -8, 8 ] Donne le codomaine des fonctions suivantes y x

18 ima f : [ -3, 4 ] y x

19 Remarque :Pour exprimer un intervalle, il faut toujours le faire de la plus petite valeur à la plus grande. Correct.Incorrect. ima f : [ -3, 4 ]ima f : [ 4, -3 ] y x

20 ima f : [ 0, 7 ] y x

21 ima f : [ 1, 8 ] y x

22 ima f : [ -4, 3 ] y x

23 - + Lorsquon analyse un modèle théorique, il faut savoir que la fonction nest pas bornée. ouima f : R ima f : ] -, + [ y x

24 ima f : ] -, 3 ] Donne le codomaine des fonctions suivantes y x

25 avec les symboles dinfini. Ce nest pas nécessaire. sont acceptés. Remarque : Certains auteurs mettent des crochets ouverts ], [ ima f : ] -, 3 ] ima f : -, 3 ] ou

26 Quelle est la signification de ces phrases ? ima f = { f(x) ( x, f(x) ) f(x) }. dom f = { x ( x, f(x) ) f(x) }.

27 dom f = { x ( x, f(x) ) f(x) } Le domaine de la fonction est constitué de toutes les valeurs de x qui font que les couples (x, f(x)) appartiennent à la fonction.

28 ima f = { f(x) ( x, f(x) ) f(x) } Le codomaine de la fonction est constitué de toutes les valeurs de f(x) qui font que les couples (x, f(x)) appartiennent à la fonction.

29 Donne le domaine et le codomaine des fonctions suivantes. dom f : [ -5, 8 ]ima f : [ -8, 8 ] y x

30 dom f : [ -9, 3 ]ima f : [ -3, 4 ] y x

31 dom f : [ -7, 9 ]ima f : [ -4, 3 ] y x

32 dom f : R ima f : R y x

33 dom f : R codom f : ] -, 3 ] y x

34 Variation dune fonction : - croissance; - décroissance; - constance.

35 Une fonction f est croissante sur un intervalle donné du domaine si : Ceci signifie, que pour un intervalle particulier du domaine, la fonction est croissante si les valeurs de f(x) augmentent. < x1x1 x2x2 f(x 1 ) f(x 2 ) < x 1, x 2 [ a, b ] : x 1 < x 2 f(x 1 ) < f(x 2 ) y x

36 Exemple Lorsque nous nous déplaçons sur laxe des x de -6 à -1, les valeurs de f(x) augmentent. Nous dirons que la fonction est croissante sur lintervalle [ -6, -1] f(x) sur : [ -6, -1] y x

37 Une fonction f est décroissante sur un intervalle donné du domaine si : Ceci signifie, que pour un intervalle particulier du domaine, la fonction est décroissante si les valeurs de f(x) diminuent. < x1x1 x2x2 f(x 1 ) f(x 2 ) < x 1, x 2 [ a, b ] : x 1 f(x 2 ) y x

38 Exemple Lorsque nous nous déplaçons sur laxe des x de -1 à 4, les valeurs de f(x) diminuent. Nous dirons que la fonction est décroissante sur lintervalle [ -1, 4 ] f(x) sur : [ -1, 4 ] y x

39 Une fonction f est constante sur un intervalle donné du domaine si : Ceci signifie, que pour un intervalle particulier du domaine, la fonction est constante si les valeurs de f(x) ne changent pas. x 1, x 2 [ a, b ] : x 1 < x 2 f(x 1 ) = f(x 2 )

40 Exemple Lorsque nous nous déplaçons sur laxe des x, les valeurs de f(x) ne changent pas. Nous dirons que la fonction est constante sur lintervalle Attention : La croissance, la décroissance et la constance dune fonction sanalysent toujours par rapport au domaine, donc toujours sur laxe des x. [ -6, 5 ] y x

41 Remarque Souvent le signe = est inclus dans les définitions de croissance et de décroissance. Lintervalle de constance est alors inclus à la fois dans lintervalle de croissance et dans lintervalle de décroissance. x 1, x 2 [ a, b ] : x 1 < x 2 f (x 1 ) f(x 2 )

42 Dans cet exemple : - lintervalle de croissance est : f(x) sur : [ -8, 2] - lintervalle de décroissance est : f(x) sur : [ -5, 9] - lintervalle de constance est : [ -5, 2 ] y x

43 Analyse la variation des fonctions suivantes. f(x) sur : [ 0, 4 ] y x

44 f(x) sur : [ -5, 8 ] y x

45 f(x) sur : [ -9, 3 ] y x

46 f(x) sur : [ 0, 7 ] f(x) sur : [ -7, 0 ] y x

47 f(x) sur : [ -7, 1 ]f(x) sur : [ 1, 9 ] y x

48 f(x) sur : R y x

49 f(x) sur : -, 1 ] f(x) sur : [ 1, y x

50 f(x) sur : R y x

51 Les signes dune fonction

52 Une fonction est positive lorsque les valeurs de f(x) (les valeurs de y) sont positives. Une fonction est négative lorsque les valeurs de f(x) (les valeurs de y) sont négatives. x [ a, b ] : f (x) 0

53 Explication Au-dessus de laxe des x, les valeurs de f(x) sont positives, donc, f(x) 0. ( -1, ) ( -3, ) ( -5, ) ( -6, ) ( 3, ) ( 4, ) ( 6, ) ( 8, ) Au-dessous de laxe des x, les valeurs de f(x) sont négatives, donc, f(x) 0. Attention : Les signes dune fonction (les valeurs de f(x)) sanalysent toujours par rapport au domaine, donc toujours sur laxe des x y x

54 Exemple - lorsque nous nous déplaçons sur laxe des x de -5 jusquà 2, les valeurs de f(x) sont négatives, donc f(x) 0 sur : [ -5, 2 ] - lorsque nous nous déplaçons sur laxe des x de 2 jusquà 8, les valeurs de f(x) sont positives, donc f(x) 0 sur : [ 2, 8 ] Dans cette fonction : y x

55 Analyse les signes des fonctions suivantes. f(x) 0 sur : [ -2, 3 ] f(x) 0 sur : [ -9, -2 ] Remarque : 0 étant considéré à la fois, comme positif et négatif, cette valeur particulière de f(x) doit être considérée sur les deux intervalles; les intervalles sont donc fermés y x

56 De plus, lorsque la fonction traverse laxe des abscisses, f(x) = 0. Donc, f(x) = 0 à : y x

57 f(x) 0 sur : [ -5, 5 ] y x

58 f(x) 0 sur : [ -4, 6 ] f(x) 0 sur : [ -7, -4 ] [ 6, 9 ] y x

59 f(x) 0 sur : -, -2 ] f(x) 0 sur : [ -2, y x

60 f(x) 0 sur : [ -6, 8 ] f(x) 0 sur : -, -6 ] [ 8, y x

61 Les coordonnées à lorigine dune fonction : - labscisse à lorigine ou zéro(s) de fonction. - lordonnée à lorigine ou valeur initiale;

62 Les coordonnées à lorigine dune fonction sont les coordonnées des points dintersection de la fonction avec les axes. Dans cet exemple, lordonnée à lorigine est 3, à ce point précis, f(x) = 3 et x = 0. Les coordonnées de lordonnée à lorigine sont donc (0, 3), mais lordonnée à lorigine est y x

63 Dans cet exemple, labscisse à lorigine est -6, à ce point précis, x = -6 et f(x) = 0. Les coordonnées de labscisse à lorigine sont donc (-6, 0), mais labscisse à lorigine est -6. Les coordonnées à lorigine dune fonction sont les coordonnées des points dintersection de la fonction avec les axes y x

64 y x Théoriquement, lordonnée à lorigine est la valeur de la fonction quand x = 0. Donc, f(0). 0 Les coordonnées à lorigine dune fonction sont les coordonnées des points dintersection de la fonction avec les axes.

65 y x Théoriquement, labscisse à lorigine est la valeur de x quand la fonction = 0. Donc, f(x) = 0. 0 Les coordonnées à lorigine dune fonction sont les coordonnées des points dintersection de la fonction avec les axes.

66 y x Remarque Labscisse à lorigine est la valeur de x quand la fonction est égale à zéro. car à ce point précis, la fonction vaut 0. Cest pourquoi, on lappelle aussi le zéro de fonction, Attention : abscisse(s) à lorigine = zéro(s) de fonction. f(x) = 0. 0

67 Ordonnée à lorigine : Abscisse à lorigine : Symbole f(0) f(x) = 0

68 Coordonnées de lordonnée à lorigine : Donne les coordonnées à lorigine des fonctions suivantes. (0, 4). (2, 0). Coordonnées de labscisse à lorigine : y x

69 -3 -4 f(0) : f(x) = 0 : y x

70 Remarque :Une fonction peut avoir plus dune abscisse à lorigine. y -64et 3 f(0) : f(x) = 0 : x

71 aucune Remarque : Une fonction peut ne pas avoir dabscisse à lorigine. 5f(0) :f(x) = 0 : y x

72 f(0) : 0 0f(x) = 0 : y x

73 Les extrémums dune fonction : - maximum absolu; - minimum absolu; - maximum relatif; - minimum relatif.

74 Le maximum absolu dune fonction est la plus grande valeur de f(x). Exemple Max. abs. : 4 Remarque : Les extrémums se lisent sur laxe des ordonnées y x

75 Le minimum absolu dune fonction est la plus petite valeur de f(x). Exemple Min. abs. : y x

76 On parle également de maximum relatif pour désigner lordonnée de tout sommet de la fonction qui, étant croissante avant ce sommet, devient immédiatement décroissante après ce sommet. Max. abs. Max. relatif Max. abs. : 7 Max. relatif : y x

77 On parle également de minimum relatif pour désigner lordonnée de tout sommet de la fonction qui, étant décroissante avant ce sommet, devient immédiatement croissante après ce sommet. Min. abs. Min. relatif Min. abs. : -4 Min. relatif : y x

78 Min. abs. Min. relatif Remarque : Ce point nest pas considéré comme un minimum relatif, car daprès la définition, il ny a pas de croissance après ce point y x

79 Détermine les extrémums des fonctions suivantes. Min. abs. : 0 Max. abs. : y x

80 Min. abs. : 2 Max. abs. : y x

81 Min. abs. : -4 Max. abs. : y x

82 Min. abs. : aucunMax. abs. : aucun Remarque : Cette fonction na pas de maximum absolu ni de minimum absolu, car une extrémité se dirige vers moins linfini et lautre vers plus linfini y x

83 Max. abs. : 3Min. abs. : aucun y x

84 1 1 Min. abs. : -1 Max. abs. : 1 y x

85 Min. abs. : aucunMax. abs. : aucun Remarque : Cette fonction na ni ordonnée à lorigine ni abscisse à lorigine. y x

86 Max. abs. :Max. relatif : Min. abs. : Min. relatif : aucun-3 et et y x

87 Laxe de symétrie dune fonction

88 Laxe de symétrie est une autre caractéristique de certaines fonctions. Exemple La parabole suivante est symétrique par rapport à laxe de symétrie x = 5. Cette caractéristique est intéressante, car elle nous permet de déterminer rapidement les abscisses à lorigine (les zéros de fonction). Axe de symétrie : x = 5 Zéros de fonction : 1 et y x

89 Remarque 1. Laxe des abscisses sert de référence pour analyser : - le domaine; - la variation (croissance, décroissance et constance); - les signes(f(x) 0 etf(x) 0); - le(s) abscisse(s) à lorigine ou zéro(s) de fonction. 2. Laxe des ordonnées sert de référence pour analyser : - le codomaine ou limage; - les extrémums; - lordonnée à lorigine.

90 Analyse les propriétés de la fonction suivante. - dom f : - ima f : - fonction croissante sur : - signes positifs sur : - ordonnée à lorigine : - abscisse à lorigine (zéro de fonction) : - extrémum : - signes négatifs sur : - fonction décroissante sur : [ 0, 9 ] [ 100, ] [ 0, 1 ] [ 3, 6 ] [ 8, 9 ][ 1, 3 ] [ 4, 8 ] [ 0, 9 ] aucun intervalle 400 aucune maximum absolu :1 100 minimum absolu :100 maximum relatifs : 700 et 800 minimum relatif : y x

91 Analyse les propriétés de la fonction suivante. - dom f : R - ima f : R - f(x) sur : aucun intervalle - f(x) sur : R - f(x) 0 sur : - ordonnée à lorigine : f(0) : - abscisse à lorigine (zéro de fonction) : f(x) = 0 : - extrémum : - axe de symétrie : 4 2 aucun -, 2 ] [ 2, y x

92 Analyse les propriétés de la fonction suivante. - dom f : R - ima f : - f(x) sur : - f(x) 0 sur : - ordonnée à lorigine : f(0) : - extrémum : - axe de symétrie : -3,8 -8 et 6 minimum absolu à -4 x = [ -4, + [ -1, + -, -1 ] -, -8 ] [ 6, + [ -8, 6 ] abscisses à lorigine (zéros de fonction) : f(x) = 0 : y x

93 Analyse les propriétés de la fonction suivante : f( x ) = 2 x - 6 Pour taider à analyser une fonction linéaire à partir de sa règle, trace son graphique à partir du principe suivant : « Par deux points, on ne peut faire passer quune seule droite. » Donc, en déterminant lordonnée à lorigine et le zéro de fonction, tu auras les deux points dont tu as besoin. f( x ) = 2 x - 6 f(0) = 2 x – 6 f(0) = 2 x 0 – 6 = -6 f( x ) = 2 x - 6 ordonnée à lorigine : f(0) f(0) = -6 abscisse à lorigine : f( x ) = 0 0 = 2 x = 2 x 3 = x Donc, (0, -6) Donc, (3, 0)

94 f( x ) = 2 x - 6 dom f : R ima f : R aucun intervalle f(x) sur : R f(x) 0 sur : Abscisse à lorigine : f(x) = 0 :3 Ordonnée à lorigine : f(0) :-6 Extrémum :aucun Axe de symétrie :aucun ( 0, -6 ) ( 3, 0 ) [ 3, + -, 3 ] 1 1 y x

95 Les fonctions ont des notations particulières : - f(0) : signifie la valeur de la fonction (la valeur de f(x)) quand x vaut 0, soit lordonnée à lorigine. - f( x ) = 0 :signifie la valeur de x quand la fonction vaut 0, soit labscisse ou les abscisses à lorigine (zéro(s) de fonction). - f(3) : Exemple : Dans la fonction suivante, f( x ) = 2 x + 5, que vaut f(3) ? f( x ) = 2 x + 5 f(3) = = 11 Ce qui correspond au couple (3, 11). signifie la valeur de la fonction (la valeur de f(x)) quand x vaut 3.

96 f( x ) = 13 : Exemple : Dans la fonction suivante: f( x ) = 2 x + 5, que vaut x quand f( x ) = 13 ? f( x ) = 2 x = 2 x + 5 Ce qui correspond au couple (4, 13). signifie la valeur de x quand la fonction (la valeur de f(x)) vaut 13. Il faut alors résoudre léquation. 13 = 2 x = 2 x 4 = x

97 Depuis 1970, le Québec utilise le Système international dunités (SI). Ainsi, pour calculer la vitesse dune automobile, lunité de mesure utilisée est le kilomètre à lheure (km/h). Avant cette date, nous utilisions le Système impérial. Le calcul de la vitesse dune automobile seffectuait alors avec lunité de mesure mille par heure (MPH). Dans les voitures, les odomètres représentent les deux systèmes de mesures.

98 Léquation permettant de passer des km/h aux MPH est : f( x ) = 0,625 x dans laquelle x représente la variable indépendante : km/h et f( x ) représente la variable dépendante : MPH On voudrait convertir en MPH, les km/h compris entre 0 et 160. Détermine le domaine et le codomaine de cette situation.

99 Le domaine est relié à la variable indépendante. Le codomaine est relié à la variable dépendante. Pour calculer ce codomaine, la règle est la suivante : f( x ) = 0,625 x Le codomaine étant en relation avec le domaine : Dabord, la première valeur de f( x ) est calculée en remplaçant x par la première valeur du domaine qui est égale à 0. f( x ) = 0,625 x f(0) = 0,625 X 0 = 0 MPH dom f : [ 0, 160 ] km/hDonc,

100 Puis, la dernière valeur du codomaine est calculée en remplaçant x par 160. f( x ) = 0,625 x f(160) = 0,625 X 160 = 100 MPH codom f : [ 0, 100 ] MPH Pour convertir en MPH, les km/h compris entre 0 et 160, la règle est : f( x ) = 0,625 x dom f : [ 0, 160 ] km/h codom f : [ 0, 100 ] MPH dom f : [ 0, 160 ] km/h


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