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Rapports et proportions. Une proportion est légalité entre deux fractions ou deux rapports. Exemple :2 4 3 6 = 2,5 7,5 12,5 37,5 = Ces deux fractions.

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1 Rapports et proportions

2 Une proportion est légalité entre deux fractions ou deux rapports. Exemple : = 2,5 7,5 12,5 37,5 = Ces deux fractions sont égales; en effet, si on les simplifie, on constate quelles sont équivalentes = Deux fractions équivalentes unies par le signe = forment une proportion. Exemple : Ces deux rapports sont égaux; en effet, si on les simplifie, on constate quils sont équivalents = Deux rapports équivalents unis par le signe = forment une proportion.

3 Remarque : Il existe une légère différence entre un rapport et une fraction ,5 7,5 Dans une fraction, le numérateur et le dénominateur sont des nombres entiers. Cest un nombre entier. Dans un rapport, le numérateur et le dénominateur ne sont pas nécessairement des nombres entiers. 2 4,1 Exemple : Cest un rapport, mais pas une fraction. 3,5 7 Exemple : Une fraction est donc un rapport, mais composée uniquement de nombres entiers. Cest un rapport, mais pas une fraction.

4 A B C D = On généralise une proportion comme suit : Remarque Le premier et le dernier termes sappellent les Le deuxième et le troisième termes sappellent les extrêmes. moyens.

5 On peut prouver que deux rapports forment une proportion de plusieurs façons. 1) Simplifier les rapports : = = 2) Écrire les deux rapports de manière à ce que les numérateurs = = 1 1, ÷ ÷ = 1 1, ÷ ÷ 16 = et 1 1,25 1 = 3) Écrire les deux rapports de manière à ce que les dénominateurs = = 0, ÷ ÷ = 0, ÷ ÷ = et 0,8= 4) Multiplier les extrêmes entre eux et les moyens entre eux; sil y a égalité alors les rapports sont proportionnels = 8 X 20 = 16 X 10 Donc, = forment une proportion. 160 =

6 Les proportions ont plusieurs propriétés : 1) Inverser les rapports donne une nouvelle proportion : 2 4 = 2) Intervertir les extrêmes donne une nouvelle proportion : = 3 6 3) Intervertir les moyens donne une nouvelle proportion : = 4) Le produit des extrêmes égale le produit des moyens : = 2 X 6 = 3 X 4 Remarque :Cette dernière propriété sera très utile pour déterminer une mesure manquante. Le produit des extrêmes égale le produit des moyens.

7 Trouver une mesure manquante dans une proportion Une proportion est un outil très utilisé en mathématiques, en sciences et dans la vie de tous les jours. Exemple :À ton dernier examen, tu as reçu une note de 35 sur 40. Quel est ton résultat sur 100 ? Voici la proportion à utiliser : Ton résultat : Le total de lexamen : = 100 ?Quand on cherche une inconnue, on utilise souvent la lettre x. Remarque : Dans un problème, lorsque lon donne 3 informations et quil faut en trouver une quatrième, cest souvent la proportion quil faut utiliser. Ton résultat : Le total de lexamen : = x Écris toujours ton rapport en français pour bien placer tes nombres.

8 x Démarche : Ton résultat : Le total de lexamen : = 1) Utiliser la propriété : « Le produit des extrêmes égale le produit des moyens. » = x 35 X 100 = 40 X x 2) Isoler x : = 40 x 40 87,5 = x Ta note est donc de ,5 ou 87,5 % = 40 x 87,5

9 Problème Une recette de gâteaux pouvant servir 5 personnes demande 400 g de beurre. Tu voudrais faire le même gâteau pour 8 personnes. Quelle quantité de beurre auras-tu besoin ? = x quantité de beurre (g) : nombre de personnes : 5 Écris toujours ton rapport en français pour bien placer tes nombres. 1) Utiliser la propriété : « Le produit des extrêmes égale le produit des moyens. » 8 X 400 = 5 X x 2) Isoler x : = 5 x = x = 5 x = x 8 Réponse : 640 g

10 3 x = 157,50 Problème Dans une vente de liquidation, un disquaire offre tous les CD de musique au même prix. Un client paie 22,50 $ pour trois CD. Combien paiera-t-il pour 7 CD ? = 7 x 22,50 3 Nombre de CD : Prix ($) : Écris toujours ton rapport en français pour bien placer tes nombres. 1) Utiliser la propriété : « Le produit des extrêmes égale le produit des moyens. » 3 X x = 7 X 22,50 2) Isoler x : 33 52,50 = x 3 x = 157,50 Réponse : 52,50 $

11 Problème Sur une carte dont léchelle est 1 : , on a mesuré la distance entre deux villes. Cette mesure est de 22,5 cm. Quelle est la distance réelle entre les deux villes ? distance sur la carte (cm) : distance réelle (cm) : = 22,5 x 1 x = ) Utiliser la propriété : « Le produit des extrêmes égale le produit des moyens. » 1 X x = 22,5 X ) Isoler x : 11 x = x = Réponse : cmou mieux :6,525 km Ici, ce nest pas nécessaire de diviser par 1 pour isoler x, lorsque que le coefficient de x est 1, x est isolé. car

12 Problème Au super marché, tu as acheté 3,6 Kg de viande pour 16,20 $. Combien coûte 1 kg ? Quantité de viande (kg) : Prix ($) : 3,6 16,20 = 1 x 3,6 x = 16,20 1) Utiliser la propriété : « Le produit des extrêmes égale le produit des moyens. » 3,6 X x = 1 X 16,20 2) Isoler x : 3,6 3,6 x = 16,20 x = 4,5 Réponse : 4,50 $ Avec de largent, toujours 2 chiffres après la virgule ! Remarque : Dans cette situation, on aurait pu aussi faire simplement : 16,20 ÷ 3,6 = 4,5On cherchait le prix à lunité, donc pour 1 kg.

13 temps Vitesse = Problème Une auto roule à vitesse constante (toujours à la même vitesse). Après 3 heures, la distance franchie est 285 km; quelle distance sera franchie après 7 heures ? = Temps (h) : Distance (km) :285 3 x = 3 x 1) Utiliser la propriété : « Le produit des extrêmes égale le produit des moyens. » 285 x 7 = 3 X x 2) Isoler x : = 3 x x = 665 Réponse : 665 km Si le conducteur ne sarrête pas pour manger, se reposer ou faire le plein… Remarque :Savais-tu quil existe une formule pour calculer la vitesse ? distance : 285 km 3 hres 665 km 7 hres = 95 km/h = Cest ce quon appelle la vitesse moyenne.

14 Conclusion Lorsquon se retrouve dans une situation de proportionnalité, il faut toujours prendre le temps de comprendre correctement le rapport à poser. On prend le temps décrire le rapport en français, = x quantité de beurre (g) : nombre de personnes : 5 = 7 x 22,50 3 Nombre de CD : Prix ($) : distance sur la carte (cm) : distance réelle (cm) : = 22,5 x Quantité de viande (kg) : Prix ($) : 3,6 16,20 = 1 x = Temps (h) : Distance (km) :285 3 x 7 Ton résultat : Le total de lexamen : = x pour placer les nombres aux bons endroits.


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