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Géométrie analytique Relations entre deux droites Remarque : Une droite est par définition illimitée dans les deux sens; pour les besoins des démonstrations.

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Présentation au sujet: "Géométrie analytique Relations entre deux droites Remarque : Une droite est par définition illimitée dans les deux sens; pour les besoins des démonstrations."— Transcription de la présentation:

1 Géométrie analytique Relations entre deux droites Remarque : Une droite est par définition illimitée dans les deux sens; pour les besoins des démonstrations effectuées dans cette présentation, nous utiliserons des portions de droites limitées dans les deux sens, cest-à-dire des segments.

2 Dans le plan cartésien, deux droites peuvent avoir, entre elles, différentes positions. Elles peuvent être : - parallèles et disjointes; - parallèles et confondues; - sécantes; - sécantes perpendiculairement y x

3 Droites parallèles et distinctes A (5, 20)B (25, 30) m (A, B) : x1x1 x2x2 - = y1y1 y2y = Déterminons léquation du segment AB : y = mx + b y = 0,5x + b avec le point (5, 20) 20 = 0,5 X 5 + b 20 = 2,5 + b 17,5 = b Équation : y = 0,5x + 17, A B C D y x

4 C (30, 20)D (10, 10) m (D, C) : x1x1 x2x2 - = y1y1 y2y = Déterminons léquation du segment DC : y = mx + b y = 0,5x + b avec le point (10, 10) 10 = 0,5 X 10 + b 10 = 5 + b 5 = b Équation : y = 0,5x A B C D y x

5 y 1 = 0,5x + 17,5donc y 2 = 0,5x + 5 Équation du segment AB :Équation du segment DC : m 1 = m 2 Droites parallèles et distinctes b 1 b 2 - les pentes sont égales; - les ordonnées à lorigine sont différentes. m 1 = m 2 b 1 b A B C D y x

6 Droites parallèles confondues Prenons les deux équations suivantes : 10x + 5y – 25 = 0 Ces deux droites représentent deux droites parallèles confondues. Pour mieux observer, écrivons les deux droites sous une même forme. 5y = -10x + 25 y 2 = -2x + 5 y = - 2x + 510x + 5y – 25 = 0et y 1 = - 2x + 5 On constate que les deux équations ont les mêmes pentes : m 1 = m 2 Elles sont donc une par-dessus lautre. b 1 = b 2 et les mêmes ordonnées à lorigine :

7 Déterminons léquation de AB : Pente AB :5 Pente BC : y = mx + b 5 = 5 X 10 + b 5 = 50 + b - 45 = b Équation de AB : y = 5x - 45 y = mx + b 30 = X 15 + b = + b = b 55 = b Équation de BC : y = x Droites sécantes avec A (10, 5)y = 5x + b avec B (15, 30) y = x + b Déterminons léquation de BC : A B C y x

8 Équation de AB :y 1 = 5x - 45 Équation de BC : y 2 = x m 1 m 2 Droites sécantes - les pentes sont différentes; - les ordonnées à lorigine peuvent être différentes ou égales. b 1 b 2 m 1 m y x

9 Droites perpendiculaires Deux droites perpendiculaires sont nécessairement sécantes; nous leur donnons un nom particulier du fait quelles se croisent selon un angle précis, cest-à-dire un angle droit (90 0 ). m (A, B) : x1x1 x2x2 - = y1y1 y2y = Déterminons léquation du segment AB : A (5, 20) B (25, 30) avec le point (5, 20) y = x + b = X 5 + b = 5 + b 2 20 = 2,5 + b 17, 5 = b y = mx + b y = x + 17,5 1 2 Équation : A B C D y x

10 = = Déterminons léquation du segment DC : x1x1 x2x2 - = y1y1 y2y2 - m (D, C) : D (10, 30) C (20, 10) - 2 y = - 2x + bavec le point (10, 30) 30 = - 2 X 10 + b 30 = b 50 = b Équation : y = - 2x + 50 y = mx + b A B C D y x

11 A B C D y 1 = x y 2 = - 2x + 50 Droites perpendiculaires - les pentes sont inverses et opposées; m 1 = - 1 m2m2 Équation du AB : Équation du DC : b 1 b 2 m 1 = - 1 m2m2 - les ordonnées à lorigine peuvent être différentes ou égales. Remarque : m 1 = - 1 m2m2 peut aussi sécrire :m 1 X m 2 = y x

12 En résumé Droites : - parallèles disjointes : m 1 = m 2 b 1 b 2 - parallèles confondues : m 1 = m 2 b 1 = b 2 - Sécantes :m 1 m 2 - Perpendiculaires : m 1 = - 1 m2m2 De ces quatre positions relatives entre des droites, deux sont particulièrement intéressantes, car elle nous permettent de déterminer certaines informations : - droites parallèles entre elles; - droites perpendiculaires entre elles y x

13 Problème Quelle est léquation dune droite d 2 passant par le point (4, 3) et qui est parallèle à une autre droite d 1 passant par les points (3, 7) et (6, 13) ? Étape 1 : Calculer la pente de la droite d 1. P 1 (3, 7) P 2 (6, 13) m (P 1, P 2 ) : x1x1 x2x2 - = y1y1 y2y = = 2 Étape 2 : La droite d 2 est parallèle à la droite d 1, donc elle a la même pente. y = mx + b y = 2x + b avec le point (4, 3) 3 = 2 X 4 + b 3 = 8 + b -5 = bÉquation : y = 2x - 5 Déterminer léquation de la droite d 2. Remarque :Il nest pas nécessaire de déterminer léquation de d 1.

14 Problème Quelle est léquation dune droite d 2 passant par le point (10, 41) et qui est perpendiculaire à une autre droite d 1 passant par les points (2, 15) et (6, 31) ? Étape 1 : Calculer la pente de la droite d 1. P 1 (2, 15) P 2 (6, 31) m (P 1, P 2 ) : x1x1 x2x2 - = y1y1 y2y = = 4 Étape 2 : La droite d 2 est perpendiculaire à la droite d 1, donc sa pente est inverse et opposée : y = mx + b 41 = - 2,5 + b 43,5 = b Déterminer léquation de la droite d 2. Remarque :Il nest pas nécessaire de déterminer léquation de d y = x + b avec le point (10, 41) = X 10 + b = 0 + b- 1 4 Équation : y = x + 43,5- 1 4


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