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Statistique II C hapitre 3: Tests dhypothèses Pr. Abdelkrim EL MOUATASIM Site internet : www.el-mouatasim.webs.com www.el-mouatasim.webs.com.

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1 Statistique II C hapitre 3: Tests dhypothèses Pr. Abdelkrim EL MOUATASIM Site internet :

2 Estimation : On suppose inconnu le paramètre de la population et on cherche à lestimer au moyen dune statistique définie à partir dun échantillon aléatoire. Test dhypothèses : On suppose au départ que lon a une certaine connaissance de la valeur du paramètre et on essaie den vérifier la véracité. Cette valeur constitue lhypothèse de base. La différence entre une estimation et un test dhypothèses

3 *Hypothèse statistique : Cest un énoncé (une affirmation) concernant les caractéristiques (valeurs des paramètres, forme de la distribution des observations) dune population *Test dhypothèses : Cest une démarche qui a pour but de fournir une règle de décision permettant, sur la base des résultats déchantillon, de faire un choix entre deux hypothèses statistiques. Définitions

4 Développer les hypothèses nulle et alternative Les tests dhypothèses permettent de déterminer si une affirmation au sujet de la valeur dun paramètre de la population doit être rejetée Lhypothèse nulle est une hypothèse sur la valeur dun paramètre de la population. Elle est notée H 0. Cest lhypothèse qui sera rejetée uniquement sil y a suffisamment dévidence contre elle: H 0 : =30 30 est la valeur paramétrique hypothétique

5 Développer les hypothèses nulle et alternative Lhypothèse alternative correspond à lopposé de ce qui est établi dans lhypothèse nulle. Elle est notée H a ou H 1 ou H. Cest lhypothèse qui sera acceptée si H 0 est rejetée. Hypothèses simples: H 0 : =30 H a : = 20 Hypothèses composées: H 0 : μ = 30 H a : μ > 30 ou H a : μ < 30 ou H a : μ 30 H 0 : μ 30 ou H 0 : μ 30 H a : μ 30

6 Développer les hypothèses nulle et alternative Tester les hypothèses de recherche Lhypothèse de recherche correspond à lhypothèse alternative On ne peut pas conclure que lhypothèse de recherche est vraie si les données de léchantillon ne permettent pas de rejeter lhpothèse nulle Exemple: nouveau moteur qui fait plus de kilomètres par litre dessence, : nombre moyen de kilomètres par litre H 0 : 24 H a : >24 Nouvelle affirmation, hypothèse alternative

7 Développer les hypothèses nulle et alternative Tester la validité dune affirmation Laffirmation dun manufacturier est habituellement formulée comme lhypothèse nulle. On cherche à vérifier si les données de léchantillon permettent de rejeter lhypothèse nulle. On accorde ainsi le bénéfice du doute au manufacturier On conclut que laffirmation du manufacturier est fausse si les données de léchantillon permettent de refuter lhypothèse nulle Exemple: Producteur de boisson non alcoolisée prétend que les bouteilles de 2 litres contiennent en moyenne au moins 2,028 litres H 0 : 2,028 H a : 2,028

8 Développer les hypothèses nulle et alternative Tests dhypothèses dans un contexte de prise de décision Un décideur peut avoir à choisir entre deux actions, lune associée à lhypothèse nulle et lautre à lhypothèse alternative Par exemple, sur la base dun échantillon de pièces, un inspecteur de contrôle de qualité doit décider sil accepte ou refuse un lot de pièces qui vient dêre livré Supposons que les critères de qualité dune pièce particulière correspondent à une longueur moyenne de 2 pouces. Si la longueur moyenne est supérieure ou inférieure à 2 pouces, les pièces poseront problème dans le processus dassemblage. Dans ce cas, on peut formuler: H 0 : =2 (On donne le bénéfice du doute au manufacturier) H a : 2

9 Quelle conclusion tirer? Rejeter H 0 ? Ou ne pas rejeter H 0 ? On rejette H 0 si la statistique estimée à partir de léchantillon est éloignée de la valeur du paramètre supposée dans H 0 (valeur hypothétique). On rejette H 0 lorsque l'écart entre la valeur hypothétique du paramètre et la valeur de la statitstique est grand, ce qui signifie que l'écart n'est pas uniquement dû au hasard de léchantillonnage. Règle de décision

10 Exemple: Metro EMS Une compagnie de service ambulancier dessert la grande région de Québec. Elle opère 20 unités médicales mobiles. Son objectif de service est de répondre aux appels durgence en un temps moyen de 12 minutes ou moins. Le directeur des services médicaux veut formuler un test dhypothèses basé sur un échantillon de temps de réponse aux urgences afin de vérifier si lobjectif de temps de service moyen de 12 minutes est atteint ou non.

11 Exemple: Metro EMS Formulation de test dhypothèses Hypothèses Conclusion et Action H 0 : Le service durgence rencontre son objectif, donc aucun changement est nécessaire H a : Le service durgence ne rencontre pas son objectif, donc il faut sajuster où = le temps moyen de réponse pour la population des appels durgence

12 Zones de rejet (régions critiques) La région critique dun test est lensemble des valeurs possibles de la statistique provenant de léchantillon aléatoire qui entraînent le rejet de H 0 au niveau de signification. La région critique est définie à partir dune valeur critique On calcule une statistique à partir de léchantillon et on la compare avec la valeur critique afin de vérifier si la statistique calculée à partir de léchantillon se trouve dans la région critique. Si oui, on rejettera H 0.

13 Zones de rejet (régions critiques) /2 Régions de rejet Valeur(s) z critiques H 0 : 0 ou H 0 : = 0 H 1 : < 0 H 0 : 0 ou H 0 : = 0 H 1 : > 0 H 0 : 0 H 1 : 0 Test unilatéral inférieur Test unilatéral supérieur Test bilatéral

14 Région critique Pour les tests d'hypothèses sur une moyenne par exemple, il existe deux façons de se situer par rapport à la région critique: On compare la statistique à la valeur z critique z a (test par la statistique z) On calcule une valeur critique et on rejette lhypothèse nulle selon le type de région critique et la position de par rapport à ( Test par la méthode des valeurs critiques)

15 Tests unilatéraux concernant la moyenne dune population: cas des grands échantillons(n > 30) Hypothèses H 0 : ou H 0 : H a : Statistique de test z connu inconnu Règle de rejet (de décision) au seuil de signification Rejeter H 0 si z > z z est la valeur z critique: valeur comparée à la statistique de test z pour déterminer si H 0 doit être rejetée au seuil de signification

16 Tests unilatéraux concernant la moyenne dune population: cas des grands échantillons(n > 30) Hypothèses H 0 : ou H 0 : H a : Statistique de test z connu inconnu Règle de rejet (de décision) au seuil de signification Rejeter H 0 si z < -z -z est la valeur z critique: valeur comparée à la statistique de test pour déterminer si H 0 doit être rejetée au seuil de signification

17 Tests bilatéraux concernant la moyenne dune population: cas des grands échantillons(n > 30) HypothèsesH 0 : H a : Statistique de test connu inconnu Règle de rejet (de décision) Rejeter H 0 si |z| > z

18 Tests sur la moyenne: Calcul des valeurs critiques cas des grands échantillons(n > 30) Test bilatéral : Test unilatéral à droite : Test unilatéral à gauche : H 0 : 0 ou H 0 : = 0 H 1 : < 0 H 0 : 0 ou H 0 : = 0 H 1 : > 0 H 0 : 0 H 1 : 0 Si inconnu, utiliser s

19 Exemple: Metro EMS- test par la statistique z Soit n = 40, = 13,25 minutes, s = 3,2 minutes (Lécart-type de léchantillon s peut être utilisé pour estimer lécart-type de la population.) Puisque 2,47 > 1,645, on rejette H 0. Conclusion: Nous sommes confiants à 95% que Metro EMS ne rencontre pas son objectif de réponse de 12 minutes; le service devrait donc être amélioré

20 Exemple: Dentifrice Brille La chaîne de production du dentifrice Brille est conçue pour remplir les tubes de dentifrice de poids moyen de 6 onces. Les données disponibles ont montré que lécart-type est 0,2 onces. Régulièrement, on choisit 30 tubes au hasard pour vérifier si le processus de remplissage fonctionne adéquatement. Si léchantillon ne supporte pas lhypothèse que la moyenne de remplissage pour la population est de 6 onces, le procédé est arrêté et ajusté.

21 Exemple: Dentifrice Brille Un test dhypothèse sur la moyenne de la population peut aider à déterminer si le procédé de remplissage fonctionne tel que planifié. Hypothèses H 0 : H a : Règle de rejet (de décision) En supposant un niveau de signification de 0,05: Rejeter H 0 si |z| > 1,96

22 Exemple: Dentifrice Brille Supposons quun échantillon de 30 tubes de dentifrice fournisse une moyenne échantillonnale de 6,1 onces. Puisque n = 30, = 6,1 onces, s = 0,2 onces Puisque 2,74 > 1,96, on rejette H 0. Conclusion: On est confiant à 95% que le poids de remplissage moyen des tubes de dentifrice nest pas 6 onces. Ajuster le mécanisme de remplissage Supposons quun échantillon de 30 tubes de dentifrice fournisse une moyenne échantillonnale de 6,1 onces. Puisque n = 30, = 6,1 onces, s = 0,2 onces Puisque 2,74 > 1,96, on rejette H 0. Conclusion: On est confiant à 95% que le poids de remplissage moyen des tubes de dentifrice nest pas 6 onces. Ajuster le mécanisme de remplissage

23 Étapes dun test dhypothèses 1.Déterminez les hypothèses nulle et alternative appropriées à létude 2.Sélectionnez la statistique de test qui sera utilisée pour décider du rejet ou du non rejet de lhypothèse nulle 3.Spécifiez le seuil de signification du test 4.Utilisez pour définir la règle de rejet qui indique les valeurs de la statistique de test qui conduiront au rejet de H 0 5.Collectez les données déchantillon et calculez la valeur de la statistique de test

24 Étapes dun test dhypothèses 6a- Comparez la statistique z avec z (ou z si le test est bilatéral) OU 6b- Comparer avec la valeur critique (ou avec et si le test est bilatéral) (Test par valeur critique) 7- Appliquer la règle de décision pour déterminer si H 0 doit être rejetée

25 Tests sur la moyenne dune population: cas de petits échantillons (n < 30) Statistique de test inconnu Cette statistique de test t suit une distribution du t avec (n - 1) degrés de liberté, en supposant que la population suit une loi normale et que est inconnu. (Dans le cas où connu, on utilise la statistique z) Règle de rejet Unilatéral Bilatéral H a : > Rejeter H 0 si t > t H a : < Rejeter H 0 si t < -t H a : Rejeter H 0 si |t| > t

26 Tests sur la moyenne dune population (n < 30) Calcul des valeurs critiques, inconnu Test bilatéral : Test unilatéral à droite : Test unilatéral à gauche : Si on suppose que la population suit une loi normale et σ est inconnu

27 Note Pour un petit échantillon, connu, et une population qui suit une loi normale, on utilise les mêmes approches que pour les grands échantillons

28 Exemple : Le boucher M. Simon affirme qu'il vend en moyenne 86 kg de bœuf par jour. Un employé de la boucherie pense que son patron exagère et veut démontrer que la boucherie vend moins de bœuf que le patron le prétend. Pour un échantillon de 20 jours choisis au hasard, on trouve qu'on y a vendu en moyenne 81 kg de bœuf par jour. En supposant que les ventes quotidiennes de bœuf obéissent à une loi normale décart type 10 kg et en utilisant un seuil de signification = 0,05, doit-on rejeter l'affirmation du patron ? Test dhypothèses paramétriques usuels

29 Solution H 0 : =86 H 1 : <86 On calcule la statistique: On compare cette statistique avec la valeur critique -z 0,05 =-1,64 Puisque -2,23 est plus petite que -1,64, on rejette l'hypothèse nulle et l'affirmation que le patron vend 86 kg de boeuf par jour

30 Avant le règlement de leur conflit de travail, les policiers de la ville de Charlesbourg effectuaient en moyenne 20 arrestations par jour. Au cours des 10 jours qui ont suivi le règlement du conflit, on a relevé le nombre X d'arrestations quotidiennes suivantes : X = 20, 18, 25, 19, 17, 22, 16, 23, 12, 15 De ces observations, on déduit : Au niveau de signification = 0,05, y a-t-il lieu de croire que le règlement du conflit a fait diminuer de façon significative le nombre d'arrestations effectuées par les policiers de Charlesbourg ? On suppose que le nombre d'arrestations suit une loi normale. Réponse: On ne rejettera pas lhypothèse nulle H 0 : =20 car la valeur t critique quon obtient est égale à –1,04 ce qui nest pas plus petit que - t Test dhypothèses paramétriques


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