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Statistique Descriptive C hapitre 2: Paramètres de tendance centrale Pr. Abdelkrim EL MOUATASIM EST & FSE de Guelmim Maroc Site internet : www.el-mouatasim.webs.comwww.el-mouatasim.webs.com.

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1 Statistique Descriptive C hapitre 2: Paramètres de tendance centrale Pr. Abdelkrim EL MOUATASIM EST & FSE de Guelmim Maroc Site internet :

2 Les paramètres statistiques ont pour but de résumer, à partir de quelques nombres clés, l'essentiel de l'information relative à l'observation d'une variable quantitative.

3 Principales grandeurs économiques du secteur industriel dérivé de la pêche IndicateursA terreEn mer Effective unités Effective emplois Production (en tonne) Chiffre daffaires (en Dh)11 milliards3,7 milliards Source: Etude des schémas régionaux daménagement du territoire des provinces du sud, 2010.

4 On définira plusieurs sortes de paramètres : Certains, comme la moyenne, seront dits de tendance centrale car ils représentent une valeur numérique autour de laquelle les observations sont réparties. D'autres, par exemple, seront dits de dispersion car ils permettent de résumer le plus ou moins grand étalement des observations de part et d'autre de la tendance centrale.

5 Objectifs de ce chapitre Pouvoir résumer une série de données par un ou plusieurs paramètres représentatifs (moyenne, médiane…) Statistiques descriptives à une variable : paramètres de position

6 Plan de la partie 1. Mode. 2. Médiane. 3. Moyennes. Voici les chapitres que nous allons aborder : Paramètres de tendance centrale

7 Introduction Les tableaux et graphiques contiennent la totalité des données : ils sont parfois durs à interpréter. On va chercher à résumer les données par quelques valeurs numériques. Dans cette partie, on sintéresse aux paramètres de tendance centrale, i.e. aux paramètres mesurant le « centre » des séries statistiques.

8 2.1 Le mode (Mo) Cas d'une variable discrète : Le mode est facilement repérable. Sur le tableau statistique, c'est la valeur xi pour laquelle la fréquence est la plus élevée C'est la valeur dont la fréquence est la plus élevée. Détermination du mode :

9 Exemple Soit la série de chiffres {8, 8, 8, 7, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6} La valeur la plus fréquente est le 4 Mode

10 Cas d'une variable continue : les données sont groupées en classes ; on définit la classe modale comme la classe correspondant à la fréquence la plus élevée ni. En peut calculer le Mode par la formule suivante: Borne inférieure de la classe modale Amplitude de classe d1=n i –n i-1 et d2=n i –n i+1

11 Exemple : Le Mode (valeurs groupées) [0.08,0.25] est la classe modale pour le débit. Daprès la formule de le mode Mo = a(d1/(d1+d2)) avec a = = 0.17 d1 = 22-0 = 22 et d2 = 22-8 = 14 donc Mo = *22/36 = 0.184

12 Si la distribution présente 2 ou plus maxima relatifs, on dit qu'elle est bimodale ou plurimodale. Si la série na quun seul mode, elle est dite unimodale. On peut définir de même le mode pour un caractère qualitatif.

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14 2.2 La médiane : Me Si la série brute des valeurs observées est triée par ordre croissant : La médiane Me dun série statistique est la valeur qui partage cette série en deux séries de même effectif.

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16 c'est-à-dire que Si n est impair, soit n = 2 p + 1, Me = x (p+1) Si n est pair, soit n = 2 p, toute valeur de l'intervalle médian [ x (p) ; x (p+1) ] répond à la question. Afin de définir Me de façon unique, on choisit souvent soit le centre de l'intervalle médian.

17 Par exemple, la médiane de la série de tailles ci-contre est : Me = (m) Aurait-elle été différente si on avait noté par erreur la plus petite taille 0.55 m au lieu de 1.55 ?

18 * Cas d'une variable continue: Pour des données groupées en classes, la classe médiane est la classe qui contient la médiane. On détermine la médiane par interpolation linéaire.

19 De manière générale, si a et b sont les bornes de la classe contenant la médiane, F(a) et F(b) les valeurs de la fréquence cumulée croissante en a et b, alors

20 Dans le cas d'une variable groupée en classes, en peut calculer la médiane par la formule suivante : Lo : Limite inférieure de la classe médiane ai : Amplitude de la classe médiane n : Nombre total des observations Ni 1 effectif cumulé croissant de la classe inférieure à la classe médiane ni : effectif de la classe médiane

21 La médiane est la valeur de rang (43 + 1) / 2 cest à dire 22, celle ci se trouve dans la classe 6 8, la classe 6 8 est donc la classe médiane. Me = 6 + 2( )/12

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23 Moyenne Arithmétique Appelée moyenne notée Paramètre central qui concerne bien évidemment uniquement des variables quantitatives. Dans lunité de la variable. Calculable quelque soit la loi qui régit la distribution. Suivant la forme de présentation des observations, différentes formules de calcul peuvent être employées. Population m (mean) Echantillon x (average)

24 Moyenne arithmétique On note : n : Nombre total de mesures. k : Nombre de valeurs différentes observées. n i : Nombre doccurrences de la valeur observée i. f i : Fréquence relative (pourcentage) de la valeur observée i.

25 2.3 La moyenne arithmétique La moyenne arithmétique d'une série statistique (xi, ni) se calcule de la manière suivante : La moyenne s'exprime toujours dans la même unité que les observations xi. Elles peut être décimale, même si les xi sont entiers par nature.

26 Ainsi la moyenne arithmétique du nombre d'appels reçus à un standard est : 2,97 appels

27 Plus généralement, lorsqu'on ne dispose que de la distribution regroupée en classes

28 on calculera la moyenne par : x i étant le centre de classe.

29 Exemple Soit la série correspondant aux tailles en cm de 6 étudiants : 160,170,180,180, 190, 200. n = 6; T = = 1080

30 nombre d'enfants (x i ) nombre de familles (n i ) n i *x i Total5377 Le nombre de familles enquêtées est de 53. Le nombre total denfants est de 77. La moyenne du nombre denfants par famille est de 77/53 = 1,45. Attention aux arrondis ici si on arrondit à une décimale la moyenne est de 1,5 enfants par famille. Exemple

31 Remarque 1: Pour plusieurs populations d'effectifs n1, n2,....., nk, de moyennes respectives : moyenne globale = moyenne des moyennes

32 Comparons le salaire moyen dans 2 entreprises Entreprise A : 1/ 3 de femmes, salaire moyen 8000Dh 2/3 hommes, salaire moyen Dans l'entreprise A le salaire moyen est de : …. Entreprise B : 2/ 3 de femmes, salaire moyen 9000Dh 1/3 hommes, salaire moyen Dans l'entreprise B le salaire moyen est de : ….

33 On constate donc que le salaire moyen de B est égal à celui de A. Pourtant le salaire moyen des hommes est supérieur en B à celui des hommes en A. Il en est de même pour les femmes. D'où vient ce résultat paradoxal ? Il s'agit d'un effet de structure : cela vient du fait que les femmes (au salaire plus bas) sont plus nombreuses en B qu'en A.

34 Les étudiants de première année de L1 santé sont répartis dans 3 amphithéâtres avec les données ci-dessous. Quelle est la moyenne de lâge en L1 santé ? Effectifs Moyenne de l'âge en années Amphi ,1 Amphi ,5 Amphi ,3 Les effectifs étant différents dans les 3 groupes, la moyenne recherchée nest pas la moyenne des moyennes. On calcule le total de lâge des 3 groupes réunis : T = 18,1* *19,5+ 18,3*1000 = Leffectif total est de La moyenne recherchée est 46150/2500 =18,5 ans Exemple

35 Moyenne arithmétique Propriétés : Centre de gravité de la distribution. La somme des écarts à la moyenne est nulle. La moyenne minimise les distances au carré

36 3. Moyennes Avantages Elle a de bonnes propriétés calculatoires comme la linéarité : si est la moyenne dune série (xi, ni) alors la moyenne de la série (axi+b, ni) est Elle prend en compte lensemble des valeurs (contrairement au mode).

37 3. Moyennes Inconvénient Elle est très sensible aux valeurs « extrêmes ». Exemple : si dans votre entreprise les 10 salariés (dont vous faites partie) gagnent chacun 1500 par mois et que le patron gagne lui 7000 par mois, le salaire moyen mensuel est de 2000…

38 Dans une entreprise de 100 salariés, le salaire moyen est égal à Dh. Supposons qu'une erreur se soit glissée lors de la transcription des salaires. Monsieur Dahbi est crédité d'un salaire de DH au lieu de Dh. De combien augmenterait la moyenne ? Exemple

39 La nouvelle moyenne est de : ……. Une seule valeur (sur 100) peut donc beaucoup modifier la moyenne. La moyenne arithmétique est sensible aux valeurs extrêmes.

40 Les autres moyennes Moyenne géométrique d'une série de valeurs positives est la racine n ième du produit des n valeurs. Elle est toujours inférieure ou égale à la moyenne arithmétique. Moyenne harmonique d'une série de valeurs positives est égale à l'inverse de la moyenne des inverses. Moyenne quadratique est la racine carré de la moyenne arithmétique des carrés.

41 3. Moyennes Moyenne géométrique Avec les notations précédentes : est la moyenne géométrique de la série statistique. Pour le calcul, on applique: Log G = n 1 Logx 1 +n 2 Logx 2 +….+n k Logx k

42 3. Moyennes Exemple Lessence a augmenté de 10% lan dernier et de 30% cette année. Quelle est le taux daugmentation annuelle ? Ce nest pas 20% ! La moyenne arithmétique ne convient pas. Si t est ce taux, on a bien sûr : et donc t =0,196=19,6%. La « bonne » moyenne est ici la moyenne géométrique.

43 3. Moyennes Moyenne harmonique Toujours avec les notations précédentes : est la moyenne harmonique de la série statistique.

44 3. Moyennes Exemple Si je fais un trajet aller-retour avec une vitesse v 1 à laller et une vitesse v 2 au retour, quelle est ma vitesse moyenne sur lensemble du trajet ? La réponse nest pas Mais qui est la moyenne harmonique de v 1 et v 2.

45 Positions respectives du mode, de la médiane et de la moyenne pour une distribution unimodale. Lorsque la distribution est symétrique les trois paramètres sont confondus. Lorsque la distribution est asymétrique, la médiane est généralement située entre le mode et la moyenne et plus proche de cette dernière.

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47 47 Exemple Ex: Absentéisme dans le service Achats Le mode Le mode = 1 La médiane Médiane= 2 La moyenne arithmétique Moyenne = 2 Jours absentéisme Nb. employés Fréquences relative % Fréquences relative % cumulées

48 48 Quelle mesure de tendance retenir ? Tout dépend de ce quon veut étudier. Le mode: peu utilisé Médiane: stable Moyenne: informative mais instable


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