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M ATHÉMATIQUES A PPLIQUÉES Réalisé par: Missaoui Ilham.

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1 M ATHÉMATIQUES A PPLIQUÉES Réalisé par: Missaoui Ilham

2 P LAN 1/ Systèmes de numérations 2/ Algèbres de Boole 3/ Dénombrement 4/ Probabilités 5/ Statistiques 2

3 1. S YSTÈME DE NUMÉRATIONS 3

4 I NTRODUCTION Toutes linformation qui circule dans un ordinateur est représentée par des nombres binaire Le codage permet détablir la relation entre la représentation externe et la représentation binaire Exemple de codage : ASCII La lettre A est représentée par le nombre : (101) 8 4

5 I NTRODUCTION Exemples dinformation: Les nombres, Les lettres, Les images, Le son, … 5

6 S YSTÈMES DE NUMÉRATIONS Définition La numération est une science qui traite de la dénomination et de la représentation graphique des nombres. Exp : 10, 22, ,… La représentation des nombres se fait chiffre par chiffre, la valeur du chiffre dépend de la valeur de la base et de la position du chiffre 6

7 S YSTÈMES DE NUMÉRATIONS x10 2 8x10 1 3x10 0 a a b b c c axB 2 bxB1 cxB 0 B = La Base Généralement : Généralement : Soit une base B (avec B Є IN ) et x Є IN Alors la x= ( a n,a n-1,…,a 1, a 0 ) B Avec a n,a n-1,…,a 1, a 0 a -1,…, a -p Є IN et a n,a n-1,…,a 1, a 0, a -1,…, a -p

8 S YSTÈMES DE NUMÉRATIONS Remarques: En électronique numérique, les systèmes les plus utilisés sont : - le système binaire - le système octal - le système hexadécimal 8

9 S YSTÈMES DE NUMÉRATIONS Système décimale Dans le système décimale la valeur de la base est 10 Les éléments de la base sont (0,1,2,3,…,9) Exemple: 2012= 2 * * * * 1 17,205 = 1 × × × × ×

10 S YSTÈMES DE NUMÉRATIONS Système binaire Dans le système binaire la valeur de la base est 2 Les éléments de la base sont (0,1) Exemple: (1011) 2 = 1* * * * 20 = (11) 10 10

11 S YSTÈMES DE NUMÉRATIONS Système binaire Toute communication à l'intérieur de l'ordinateur est faite avec des signaux électriques Pour la simplicité et fiabilité, ces signaux ont deux états seulement : 0 éteint (absence de signal électrique) 1 allumé (présence de signal électrique) Une unité d'information (0 ou 1) est appelée bit (de l'anglais binary digit) 11

12 S YSTÈMES DE NUMÉRATIONS Système octal Dans le système octal la valeur de la base est 8 Les éléments de la base sont (0,1,…,7) Exemple: (700) 8 = 7* * * 80 = (448) 10 12

13 S YSTÈMES DE NUMÉRATIONS Système hexadécimal Dans le système hexadécimal la valeur de la base est 16 Les éléments de la base sont (0,1,…,9,A,B,C,D,E,F) Exemple: (5AF) 2 = 5 * * * 16 0 = (1455) 10 13

14 S YSTÈMES DE NUMÉRATIONS Représentation binaire: Dans un système binaire avec une capacité de n bits on peut coder jusquà 2n nombres Le plus grand nombre étant 2n -1 Exemple : Soit un système binaire avec une capacité n=5 on peut coder 25 (=32) nombres Le plus grand nombre étant : 31 dont la représentation est: (11111)2 14

15 S YSTÈMES DE NUMÉRATIONS Représentation binaire: 15

16 R ÉSUMÉ BASE 10BASE 2BASE 8BASE

17 R ÉSUMÉ BASE 10BASE 2BASE 8BASE A B C D E F

18 S YSTÈMES DE NUMÉRATIONS Exercice: 1) Ecrire les nombres suivant dans les bases indiquées (2) 10 = (?) 2 (8) 10 = (?) 8 (16) 10 = (?) 16 (45) 10 =(?) 2 2) Ecrire les nombres suivant dans la base décimale: (10110) 2, (1100) 2, (110) 2, (102) 8, (701) 8,(11F) 16, (200A) (260) 10 = (?) 8 (1234) 10 = (?) 16 (523) 10 = (?) 2 (346) 10 = (?) 8

19 C ORRECTION DE L EXERCICE 19

20 S YSTÈMES DE NUMÉRATIONS Conversion dune base décimale vers une base binaire: Sens de lecture 112 (13) 10 =(1101)

21 S YSTÈMES DE NUMÉRATIONS Conversion dune base décimale vers une base octale: (13) 10 =(15) 8 21

22 S YSTÈMES DE NUMÉRATIONS Conversion dune base décimale vers une base hexadécimale: (173) 10 =(AD) 16 22

23 S YSTÈMES DE NUMÉRATIONS Conversion dune base binaire vers une base octale ou hexadécimale: 1. Binaire Octale Grouper les bits par blocs de 3 à partir du bit de poids faible Convertir ensuite directement ces blocs en octal Exemple : ( , ) 2 = (6561,17) 8 23

24 S YSTÈMES DE NUMÉRATIONS 2. Binaire hexadécimale Grouper les bits par blocs de 4 à partir du bit de poids faible Convertir ensuite directement ces blocs en hexadécimal Exemple : Exemple : ( ) 2 = (D71) 16D

25 S YSTÈMES DE NUMÉRATIONS Conversion dune base octale ou hexadécimale vers une base binaire: 1. Octale Binaire 2. Hexadécimale Binaire Traduire chaque chiffre du nombre en base 16 en nombre de 4 bits en base 2 Exemple : 2 (BC34) 16 = ( ) 2 B C 3 4 Traduire chaque chiffre du nombre en base 8 en nombre de 3 bits en base 2 Exemple : 2 (3157) 8 = ( )

26 S YSTÈMES DE NUMÉRATIONS Conversion dune partie fractionnaire de la base 10 vers une base B Multiplier la partie fractionnaire du nombre à convertir par la base B Soustraire et Conserver sa partie entière Répéter le processus à partir de la nouvelle partie fractionnaire obtenu Arrêter lorsque la précision désirée est atteinte Exemple : (0,75) 10 = ( ? ) 2 0,75 2 = 1,5 (on garde 1 et reste 0,5) 0,5 2 = 1,0 (on garde 1 et reste 0 : terminé) (0,75) 10 = = (0,11) 2 26

27 S YSTÈMES DE NUMÉRATIONS Exemple2 (0,65) 10 = ( ? ) 2 (0,65) 10 = ( ? ) 2 0,65 2 = 1,3 on garde 1, reste 0,3 0,3 2 = 0,6 on garde 0, reste 0,6 0,6 2 = 1,2 on garde 1, reste 0,2 0,2 2 = 0,4 on garde 0, reste 0,4 0,4 2 = 0,8 on garde 0, reste 0,8 0,8 2 = 1,6on garde 1, reste 0,6 0,6 2 = 1,2 on garde 1, reste 0,2 …. (0,65) 10 = (0,101001) 2 27

28 E XERCICES 28

29 S YSTÈME DE NUMÉRATION La prochaine séance les opérations arithmétiques Les Opérations arithmétiques 29

30 L A CAPACITÉ EN MÉMOIRE Bites : cest lunité élémentaire dinformation qui prend deux valeurs 0 ou 1 Octet : cest un nombre de huit bits « byte en anglais ». On exprime généralement la capacité mémoire dordinateur en kilo-octet (Ko) 30 « Kilo-octet » 1Ko = Octets = 2 10 octets « Mega-octet » 1Mo = 1024 Ko = 2 10 Ko =2 10 x 2 10 octets = 2 20 octets « Giga-octet » 1Go = 1024 Mo = 2 10 x 2 20 Octets = 2 30 Octets « Téra-octet » 1To = 1024 Go = 2 10 x 2 30 Octets = 2 40 Octets

31 E XERCICE Convertir les capacités suivantes en octet: 256 Mo, 8Ko, 2Go Correction 256 Mo= Ko 8Ko= To 2Go= 31

32 L ES OPÉRATIONS ARITHMÉTIQUES Laddition On procède comme en décimal. Quand le résultat de la somme d'une colonne est supérieure à 1 (utilise plus de 1 bit), on passe ce bit au voisin de gauche. Exemple 32

33 L ES OPÉRATIONS ARITHMÉTIQUES La soustraction Dans la soustraction binaire, on peut procéder comme en décimal : Quand la quantité à soustraire est supérieure à la quantité dont on soustrait, on « emprunte » 1 au voisin de gauche. En binaire, le « 1 » emprunté va ajouter « 2 » à la quantité dont on soustrait, tandis qu'en décimal il ajoute « 10 ». Exemple 33

34 L ES OPÉRATIONS ARITHMÉTIQUES La multiplication Dans la multiplication binaire, on procède comme en décimal. Exemple 34

35 L ES OPÉRATIONS ARITHMÉTIQUES La division La division binaire s'effectue à l'aide de soustractions et de décalages, comme la division décimale, sauf que les digits du quotient ne peuvent être que 1 ou 0. Le bit du quotient est 1 si on peut soustraire le diviseur, sinon il est 0. Exemple 35

36 E XERCICE Réaliser les additions suivantes: ; ; ; Réaliser les soustractions suivantes: 1111 – 0101; 1100 – 0011; – ; Réaliser les multiplications suivantes: * * * Réaliser les divisions suivantes: / / /111 36

37 R EPRÉSENTATION DES NOMBRES SIGNÉS Le binaire signé Un entier relatif est un entier pouvant être négatif. Il faut donc coder le nombre de telle façon que l'on puisse savoir s'il s'agit d'un nombre positif ou d'un nombre négatif, et il faut de plus que les règles d'addition soient conservées. 1. La représentation signé-valeur: Le signe dun nombre est modélisé par le bit le plus fort Le bit 0 positif et le bit 1 négatif 37

38 R EPRÉSENTATION DES NOMBRES SIGNÉS Le binaire signé 1. La représentation signé-valeur: 38 Binaire 4 Bits Décimal

39 R EPRÉSENTATION DES NOMBRES SIGNÉS Le binaire signé 1. La représentation signé-valeur: Inconvénients 2 zéro 39

40 R EPRÉSENTATION DES NOMBRES SIGNÉS Complément à 1: 12 est nombre codé sur 4 bits, le 5 ème bit est un bit de signe (le bit de poids fort) 0 positif 1 négatif (12) =(01100) 2 -(12)=(10011) 2 40

41 R EPRÉSENTATION DES NOMBRES SIGNÉS Complément à 2: Cette méthode est la seule utilisable mathématiquement, Elle permet une utilisation des nombres signés avec une représentation unique du zéro et la possibilité d'effectuer des calculs. Exemple: (17) 10 =(010001) 2 -17= C 2 (17) =C 1 (010001) + 1= = Calculez lopération suivante : 3-4 en binaire 41

42 L E DÉPASSEMENT EN CAPACITÉ Dépassement en capacité 1. Retenue externe en binaire pur Retenue Externe 1 CF = 1 FAUX : pacque ça dépasse les 8 bits CF : Carry Flat

43 L E DÉPASSEMENT EN CAPACITÉ 2. Débordement en Complément à deux a. Retenue interne une retenue interne : du bit b n-2 vers b n-1 Exemple: b. Retenue externe retenue externe du bit bn-1 vers CF sans interne de bn-2 vers bn- 1. Exemple: CF= = CF =

44 44 L E DÉPASSEMENT EN CAPACITÉ Le débordement est un dépassement de capacité en complément à 2. Il est signalé par un bit spéciale appelé OF « Over Flat ».

45 45 Etude de quelques codes

46 C ODE G RAY Le système binaire naturel nest pas accommodé à lélectrique Le code GRAY pallie efficacement à l'un des plus gros problèmes de l'électronique : la non-simultanéité Miroire1 avec pas de 1 Miroire1 avec pas de 2

47 C ODE DBC Le code DCB (Décimal Codé Binaire) est une méthode de représentation du code décimal en binaire. Il est pratiquement exclusivement utilisé dans l'affichage des données en provenance d'instruments de mesures. Ainsi, le codage se fait par décomposition en polynômes du nombre décimal, puis par traduction des coefficients de ce polynôme en binaire. Exemple: (1024)10 = ( ) BCD 47

48 A LGÈBRE DE B OOLE 48

49 I NTRODUCTION 49 De nombreux dispositifs électronique, électromécanique, (mécanique, électrique, pneumatique, etc...) fonctionnement en TOUT ou RIEN. Ceci sous-entend quils peuvent prendre 2 états. Exemple : · arrêt marche · ouvert fermé · enclenché déclenché · avant arrière · vrai faux · conduction blocage Utilisation de 2 variables ne possédant que deux valeurs mathématique (0 ou 1) Système binaire

50 Q UELQUES NOTIONS Variable logique ou variable binaire La variable logique est une grandeur qui peut prendre 2 valeurs qui sont repérées habituellement 0 ou 1. Cette variable binaire se note par une lettre comme en algèbre. Fonction logique Une fonction logique est le résultat de la combinaison d'une ou plusieurs variables logiques reliées entre elles par des opérations mathématiques Booléennes bien définies. La valeur résultante de cette fonction ne peut être que 0 ou 1. Une fonction logique possède donc une ou des variables logiques d'entrée et une variable logique de sortie. 50

51 Q UELQUES NOTIONS Table de vérité Table de correspondance entre les variables binaires traitées par une fonction logique et le résultat de la fonction logique. Exemple de fonction logique : la fonction interrupteur I est la valeur de l'interrupteur, 1 pour ouvert, 0 pour fermé. L est l'état de la lampe située après l'interrupteur. 51 IL 01 10

52 Q UELQUES NOTIONS Exemple2: La salle a deux fenêtres, protégés par des volets. Elle n'est éclairée que lorsqu'au moins une fenêtre est ouverte. a représente l'ouverture de la première fenêtre (0 pour fermée, 1 pour éclairée). b représente l'ouverture de la deuxième fenêtre (0 pour fermée, 1 pour éclairée). S représente l'éclairage de la salle (0 pour non éclairée, 1 pour éclairée). La table de vérité est : 52 abS

53 Q UELQUES NOTIONS La forme canonique On reprend la table de lexemple précédent Donc S peut sécrire de la manière suivante: _ _ S=a.b+a.b+a.b Cette écriture est appelée forme canonique 53 abS S=1 sia=1 et b=1 ou a=1 et b=0 ou a=0 et b=1

54 L ES FONCTIONS LOGIQUES FONDAMENTALES La fonction Non Son symbole: aF 54 aF _ F= a

55 L ES FONCTIONS LOGIQUES FONDAMENTALES La fonction OU (Or) Ou encore : X = a b ==> disjonction : a ou b (ou les deux) Son symbole: a F b 55 abF F=a+b

56 L ES FONCTIONS LOGIQUES FONDAMENTALES 56 La fonction OU (Or) Ou encore : X = a b ==> conjonction: a et b (ou les deux) Son symbole: a F b abF F=a.b

57 S IMPLIFICATION DES FONCTIONS LOGIQUES Deux méthodes pour simplifier l'écriture d'une fonction logique Utiliser les propriétés de l'algèbre de Boole Utiliser la méthode des tableaux de Karnaugh 57

58 L ES L OIS D ALGÈBRE DE B OOLE Pour simplifier des circuits logiques, on a besoin de connaître les lois de Boole. Pour trouver ces lois on utilise les tables de vérité des opérateurs ET, OU, NON 1) lidentité 1.A=A & 0+A=A 2) Nullité 0.A=0 &1+A=1 3) Associativité (A.B).C=A.(B.C) & (A+B)+C=A+(B+C) 4) Commutativité A.B=B.A & B+A=A+B 5) Distributivité A.(B+C)=A.B+A.C 6) Idempotence A.A=A &A+A=A 7) Inversion A. A = 0A+A =1 8) Absorption A.(A+B)=A&A+A.B=A 9) Loi de Morgan (A.B)= A + B&(A+B) = A.B 58

59 T ABLEAU DE K ARNAUGH La méthode du tableau de Karnaugh va nous permettre d'effectuer des simplifications beaucoup plus rapidement sans avoir à écrire de longues équations. C'est un tableau de 2 n cases, n étant le nombre de variables. Sur les lignes et colonnes, on place l'état des variables d'entrée codées en binaire réfléchi (code Gray) 59

60 T ABLEAU DE K ARNAUGH Exemple : 60 abF b\a

61 T ABLEAU DE K ARNAUGH Lecture du tableau: Le premier cadre: a=0 et b prend deux valeurs (0 ou 1) on garde a Le deuxième cadre: b=0 et a prend deux valeurs (0 ou 1) On garde b 61 Le résultat de la simplification et la disjonction des termes trouvés Le résultat est donc f(a,b) = a+b

62 T ABLEAU DE K ARNAUGH Exemple 2: 62 abcF

63 T ABLEAU DE K ARNAUGH c\ab

64 64


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