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CIFA 2010 1 Analyse structurelle des syst è mes, une approche graphique Christian Commault et Jean-Michel Dion Gipsa-Lab, DépartementAutomatique Université.

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1 CIFA 2010 1 Analyse structurelle des syst è mes, une approche graphique Christian Commault et Jean-Michel Dion Gipsa-Lab, DépartementAutomatique Université de Grenoble –FRANCE

2 CIFA 2010 2 Motivation dune approche structurelle des systèmes Les systèmes structurés, propriétés génériques et graphe associé Le cas particulier de lobservabilité Autres problèmes - Autres modèles Classification des capteurs Indice de criticité Conclusion But de la présentation

3 CIFA 2010 3 Les systèmes, en particulier sils sont construits par lhomme, présentent souvent une structure Relations fixes entre variables : absence de relation (sous- systèmes en série ou en parallèle), dérivées, … Lors de la modélisation puis de létude des propriétés, cette structure est souvent masquée ou au moins inexploitée Les variables reliées entre elles, le sont à-travers des paramètres mal connus et/ou variant dans le temps Dans les calculs on suppose que tout est connu Observations

4 CIFA 2010 4 Prendre en compte la structure dans le modèle (en particulier labsence de relation entre variables) Etudier les propriétés du système quels que soient les paramètres variables (ou presque) Essayer déviter des inconvénients comme laspect conservatif des résultats (études de robustesse) ou la complexité de calcul excessive (calcul formel) Souhaitable

5 CIFA 2010 5 Colonne de Distillation ACCUMULATEUR CONDENSEUR LD,X D Reflux Produit de tête L F,X F Alimentation V Vapeur B,X B Produit de fond REBOUILLEUR Commandes Sortie Perturbations

6 CIFA 2010 6

7 7 Classe de systèmes linéaires paramétrés pour lesquels les coefficients des matrices détat sont soit : - des zéros - des paramètres indépendants Propriétés génériques : valides pour presque toute valeur des paramètres

8 CIFA 2010 8 Graphe associé : - Ensemble de sommets : sommets dentrée, détat et de sortie - Ensemble darcs : correspondent aux coefficients non nuls des matrices (autant darcs que de paramètres i )

9 CIFA 2010 9 Exemple u1u1 x1x1 x2x2 y1y1 y2y2 x3x3 u2u2

10 CIFA 2010 10 Propriété non vérifiée 2 3 Variété algébrique Variété algébrique = Zéros communs dun ensemble de polynômes en les paramètres 1 Propriété vérifiée

11 CIFA 2010 11 M une matrice carrée structurée de taille n lignes Colonnes

12 CIFA 2010 12 Permutation sans zéro = couplage complet sur le graphe Pas de couplage complet implique det(M) = 0 Un couplage complet implique det(M) 0 génériquement En général rang générique (M) = dimension couplage maximum sur le graphe

13 CIFA 2010 13 Lignes Colonnes Rang Générique = 4

14 CIFA 2010 14 Rang générique de T(s) = Nombre maximal de chemins entrées-sorties disjoints (Maximal linking) Van der Woude, 91 Commault, Dion, Perez, 91

15 CIFA 2010 15 Rang générique = 2 Exemple 1

16 CIFA 2010 16 Rang générique = 2 Exemple 2 u1u1 u2u2 u3u3 x1x1 y1y1 y2y2 y3y3 x3x3 x5x5 x4x4 x2x2 x6x6

17 CIFA 2010 17 Theorème (Lin, 74) Le système est génériquement observable si et seulement si: -1) Il existe un chemin de tout sommet détat à un sommet de sortie: connexion à la sortie - 2a) Il nexiste pas de contraction dans le graphe OU -2b) La matrice [A T, C T ] T est génériquement de rang n V1V1 V2V2 d(V1)> d(V2) Contraction:

18 CIFA 2010 18 Pas de connexion à la sortie Non observable Contraction Non observable Connexion à la sortie et pas de contraction Observable

19 CIFA 2010 19 Connexion à la sortie Pas de contraction Observable 1 2 3 4 5 6 7 10 9 8 11 12 13 14 15 y 2 y 1

20 CIFA 2010 20 Système Observateur 2 Observateur r Observateur 1 Résidu r Générateur de résidus Commande Sortie y u r1r1 r2r2 r x1x1 x2x2 xrxr Défaut f Perturbation q Détection et localisation des défauts

21 CIFA 2010 21 Théorème : Le problème a une solution si et seulement si : Le système est génériquement observable k = k d + r Détection et localisation des défauts (FDI) Où : k = nombre maximal de chemins (perturbations/défauts-sorties) sans sommet commun k d = nombre maximal de chemins (perturbations-sorties) sans sommet commun r = nombre de défauts

22 CIFA 2010 22 Rang générique dune matrice structurée : problème de couplage maximum dans un graphe biparti Rang générique dune matrice de transfert : problème de linking maximum dans un graphe Ces problèmes se réduisent à des problèmes de type flot maximum Complexité polynomiale

23 CIFA 2010 23 Ouvrages : Reinschke 88, Murota 87 Survey : Dion, Commault, van der Woude 03 Les articles dédiés à certains problèmes : Commandabilité : Lin 74, Shields-Pearson 76, … Découplage : Linneman 83, Dion-Commault 93 Rejet de perturbations : van de Woude 91, Commault-Dion-Perez 91 Diagnostic : Commault-Dion 07

24 CIFA 2010 24 Autres types de modèles structurés : Avec constantes : Murota 87 Modèle variables/contraintes : Blanke et al Systèmes bilinéaires : Boukhobza 07 Systèmes singuliers : Boukhobza 06

25 CIFA 2010 25 x2x2 x1x1 x9x9 x7x7 y x3x3 x8x8 x6x6 x5x5 x4x4 z Localisation de capteurs

26 CIFA 2010 26 Considérons un système muni dun ensemble de capteurs et une propriété P La propriété P nest pas vérifiée avec lensemble de capteurs donné : localisation de capteurs, combien de capteurs rajouter, quelles variables mesurer ? La propriété P est vérifiée avec lensemble de capteurs donné : classification de capteurs, quel est limpact de la perte de capteurs sur la propriété ?

27 CIFA 2010 27 Propriété P vérifiée pour lensemble de capteurs initial Ensemble admissible de capteurs: sous- ensemble de capteurs V tel que P est vraie pour V Intérêt pour caractériser limportance de la perte éventuelle de capteurs

28 CIFA 2010 28 Classification des capteurs: –y i est inutile si pour tout ensemble admissible de capteurs V contenant y i, V \ {y i } est un ensemble admissible de capteurs –Capteurs utiles : pas inutiles –y i est essentiel si y i appartient à tout ensemble admissible de capteurs I U E

29 CIFA 2010 29 Minimal Sensor Set (MSS), Staroswiecki et al 2004 –Sous-ensemble de capteurs V tel que P est vraie pour V et fausse pour tout sous-ensemble propre de V. Classification : –y i est inutile : nappartient à aucun MSS –Capteur utile : appartient à au moins un MSS –y i est essentiel si y i appartient à tous les MSS

30 CIFA 2010 30 Dans la suite, P sera la connexion à la sortie Problème : Classification des capteurs pour P en fonction de leur importance (essentiel, utile, inutile) Quantification de la « criticité » de chaque capteur

31 CIFA 2010 31 x2x2 x1x1 x3x3 y1y1 y2y2 x4x4 y4y4 y5y5 u1u1 u2u2 y3y3 y 1 essentiel

32 CIFA 2010 32 x2x2 x1x1 x3x3 y1y1 y2y2 x4x4 y4y4 y5y5 u1u1 u2u2 y3y3 y 2 inutile

33 CIFA 2010 33 x2x2 x1x1 x3x3 y1y1 y2y2 x4x4 y4y4 y5y5 u1u1 u2u2 y3y3 y 3, y 4, y 5 utiles

34 CIFA 2010 34 Contient 2 m éléments de (y 1, y 2, …, y m ) à Structure de treillis pour linclusion densembles Propriété de connexion à la sortie monotone : si une configuration est un ensemble admissible, tout sur-ensemble est admissible

35 CIFA 2010 35 12345 12341235124513452345 123124134125 145 1412 Configurations minimales (MSS) 135

36 CIFA 2010 36 Taux de couverture pour la propriété P = (nombre de configurations admissibles) / (nombre de configurations) : P (Y) Indice de criticité du capteur y i pour la propriété P : P (y i ) = 1 - P (Y/y i )/ P (Y)

37 CIFA 2010 37 Exemples de calcul : P (y 1 ) = 1 - (y 1 )/ ( ) = 1 – (0/16)/ (10/32) = 1 P (y 2 ) = 1 - (y 2 )/ ( ) = 1 – (5/16)/ (10/32) = 0 P (y 3 ) = 1 - (y 3 )/ ( ) = 1 – (4/16)/ (10/32) = 1/5

38 CIFA 2010 38 x2x2 x1x1 x3x3 y1y1 y2y2 x4x4 y4y4 y5y5 u1u1 u2u2 y3y3 Indice de criticité P (y 5 ) = 1/5 P (y 4 ) = 3/5 P (y 3 ) = 1/5 P (y 2 ) = 0 P (y 1 ) = 1

39 CIFA 2010 39 Systèmes structurés : modélisation simple de laspect relation/pas de relation entre variables Représentation graphique : visualisation de la structure et résultats génériques intuitifs. Complexité : de nombreux problèmes sont résolus de manière polynomiale. Classification des capteurs très générale. Mesure de la criticité des capteurs


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