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ACT2025 - Cours 15 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Quinzième cours.

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1 ACT Cours 15 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Quinzième cours

2 ACT Cours 15 Rappel: Détermination des valeurs actuelle et accumulée dune annuité de début de période pour laquelle la période de paiement est plus courte que la période de capitalisation de lintérêt

3 ACT Cours 15 Rappel: Détermination des valeurs actuelle et accumulée dune annuité de début de période pour laquelle la période de paiement est plus courte que la période de capitalisation de lintérêt Détermination des valeurs actuelle et accumulée dune annuité continue

4 ACT Cours 15 Rappel: Détermination des valeurs actuelle et accumulée dune annuité de début de période pour laquelle la période de paiement est plus courte que la période de capitalisation de lintérêt Détermination des valeurs actuelle et accumulée dune annuité continue Détermination des valeurs actuelle et accumulée dune annuité pour laquelle les paiements forment une suite arithmétique

5 ACT Cours 15 Rappel: Considérons une annuité de début de période consistant en des paiements de (1/m) dollars, où m est le nombre de périodes de paiement dans chacune des périodes de capitalisation. Notons par n: la durée de lannuité en période de capitalisation, par i le taux dintérêt par période de capitalisation et par i (m) le taux nominal dintérêt équivalent à i. La valeur actuelle (au début de la première période) de cette annuité est notée par

6 ACT Cours 15 Rappel: Nous obtenons algébriquement la formule suivante: où d est le taux descompte équivalent à i, d (m) est le taux nominal descompte équivalent à d.

7 ACT Cours 15 Rappel: Nous noterons la valeur accumulée (à la fin de la dernière période) de cette annuité par Nous obtenons algébriquement la formule suivante: où d est le taux descompte équivalent à i, d (m) est le taux nominal descompte équivalent à d.

8 ACT Cours 15 Rappel: Si nous considérons une rente perpétuelle de début de période consistant en des paiements de (1/m) dollars, où m est le nombre de périodes de paiement dans chacune des périodes de capitalisation. Notons par i: le taux dintérêt par période de capitalisation et par i (m) : le taux nominal dintérêt équivalent à i. Nous obtenons algébriquement la formule suivante: où d est le taux descompte équivalent à i, d (m) est le taux nominal descompte équivalent à d.

9 ACT Cours 15 Rappel: Considérons une annuité pour laquelle un paiement de dt dollars est fait au temps t. Ces paiements sont faits continûment pendant n périodes de capitalisation. Le total des paiements faits pendant une période de capitalisation est 1. Le taux dintérêt par période de capitalisation est le taux effectif dintérêt i Nous noterons la valeur actuelle (au début de la première période) de cette annuité par

10 ACT Cours 15 Rappel: Nous obtenons algébriquement la formule suivante: où est le taux instantané dintérêt équivalent à i.

11 ACT Cours 15 Rappel: Nous noterons la valeur accumulée (à la fin de la dernière période) de cette annuité par Nous obtenons algébriquement la formule suivante: où est le taux instantané dintérêt équivalent à i.

12 ACT Cours 15 Rappel: Considérons une annuité ayant n paiements dont le premier est de P dollars et les paiements suivants sont obtenus en ajoutant Q dollars avec chaque paiement. Ces paiements sont faits en fin de période et nous supposerons que la période de paiement coïncide avec la période de capitalisation de lintérêt. Ainsi le premier paiement est de P dollars, le deuxième est de (P + Q) dollars, le troisième est de (P + 2Q) dollars, ainsi de suite jusquau dernier au montant de (P + (n - 1)Q) dollars. Noter que Q peut être négatif. Tout ce que nous supposerons est que (P + (n - 1)Q) > 0.

13 ACT Cours 15 Rappel: Le diagramme dentrées et sorties est le suivant:

14 ACT Cours 15 Rappel: La valeur actuelle est alors

15 ACT Cours 15 Rappel: La valeur accumulée à la fin de la n e période (au dernier paiement) de cette annuité formant une suite arithmétique est

16 ACT Cours 15 Exemple 1: Anastasia a accumulé $. Elle veut acheter une rente versant à la fin de chaque mois R dollars pour la première année et avec chaque année, ce versement mensuel diminue de R/50 dollars. Le taux dintérêt est le taux nominal dintérêt i (12) = 6%. Le premier versement a lieu un mois après lachat de la rente. La durée de la rente est de 20 ans.

17 ACT Cours 15 Exemple 1: (suite) Les montants mensuels de la k e année sont de Les paiements de cette annuité ne forment pas une suite arithmétique. Nous ne pouvons donc pas appliquer directement la formule vue plus précédemment pour calculer sa valeur actuelle. Cependant nous pouvons remplacer les 12 paiements dune année par un paiement annuel équivalent.

18 ACT Cours 15 Exemple 1: (suite) Les douze paiements mensuels de la k e année sont équivalents à un seul paiement en fin dannée égal à la valeur accumulée par ces 12 paiements. Ainsi ces douze paiements mensuels sont équivalents au paiement de à la fin de la k e année.

19 ACT Cours 15 Exemple 1: (suite) Nous obtenons ainsi une annuité consistant en 20 paiements faits en fin dannée. Le k e paiement est Les paiements de cette annuité forment une suite arithmétique pour laquelle (avec nos notations précédentes)

20 ACT Cours 15 Exemple 1: (suite) Pour poursuivre nos calculs, il nous faut déterminer le taux effectif dintérêt i équivalent au taux nominal dintérêt i (12) = 6%, parce que cette nouvelle annuité a des paiements annuels. Ce taux équivalent i est i = %.

21 ACT Cours 15 Exemple 1: (suite) Léquation de valeur à t = 0 est Nous obtenons que R = $.

22 ACT Cours 15 Pour certaines annuités dont les paiements forment une suite arithmétique, il existe des notations particulières. Nous traiterons deux cas: Annuité croissante

23 ACT Cours 15 Pour certaines annuités dont les paiements forment une suite arithmétique, il existe des notations particulières. Nous traiterons deux cas: Annuité croissante Annuité décroissante

24 ACT Cours 15 Annuité croissante: Il sagit dune annuité de fin de période ayant n paiements, dont le premier est de 1$ et pour laquelle les paiements subséquents sont obtenus en additionnant 1$ avec chaque paiement. Il sagit dune annuité dont les paiements forment une suite arithmétique avec P = 1 et Q = 1 (selon nos notations précédentes)

25 ACT Cours 15 Annuité croissante: (suite) La valeur actuelle de cette annuité au début de la première période de paiement est notée par La valeur accumulée de cette annuité à la fin de la dernière période de paiement est notée par

26 ACT Cours 15 Annuité croissante: (suite) Nous obtenons en posant P = 1 et Q = 1 dans nos formules précédentes que et

27 ACT Cours 15 Annuité décroissante: Il sagit dune annuité de fin de période ayant n paiements, dont le premier est de n dollars et pour laquelle les paiements subséquents sont obtenus en soustrayant 1$ avec chaque paiement. Il sagit dune annuité dont les paiements forment une suite arithmétique avec P = n et Q = -1 (selon nos notations précédentes)

28 ACT Cours 15 Annuité décroissante: (suite) La valeur actuelle de cette annuité au début de la première période de paiement est notée par La valeur accumulée de cette annuité à la fin de la dernière période de paiement est notée par

29 ACT Cours 15 Annuité décroissante: (suite) Nous obtenons en posant P = n et Q = -1 dans nos formules précédentes que et

30 ACT Cours 15 Exemple 2: Barnabé a emprunté $. Le taux dintérêt du prêt est le taux effectif i = 7% par année. Il rembourse ce prêt en faisant 12 paiements à la fin de chaque année. Le premier paiement est de R dollars fait un an après le prêt. Le deuxième est de 2R dollars, le troisième est de 3R dollars et ainsi de suite jusquau sixième paiement inclusivement, chaque paiement subséquent augmentant de R dollars. Le septième paiement est de 6R dollars, le huitième paiement est de 5R dollars, et ainsi de suite jusquau douzième paiement inclusivement, chaque paiement subséquent diminuant de R dollars. Le douzième paiement est de R dollars. Déterminons R.

31 ACT Cours 15 Exemple 2: (suite) Le diagramme dentrées et sorties est le suivant:

32 ACT Cours 15 Exemple 2: (suite) Léquation de valeur à t = 0 est cest-à-dire Donc R = $.

33 ACT Cours 15 Nous allons maintenant considérer des annuités pour lesquels les paiements sont en progression géométrique

34 ACT Cours 15 Annuité en progression géométrique: Considérons une annuité de fin de période ayant n paiements, dont le premier est de 1$ et pour laquelle les paiements forment une progression géométrique de raison (1 + k), où k > -1, cest-à-dire les paiements sont obtenus en multipliant successivement le paiement précédent par (1 + k).

35 ACT Cours 15 Annuité en progression géométrique: (suite) Ainsi le premier paiement est de 1 dollar, le second est de (1 + k) dollars, le troisième est de (1 + k) 2 dollars et ainsi de suite. Le m e paiement est de (1 + k) (m - 1) dollars. Le dernier paiement est de (1 + k) (n - 1).

36 ACT Cours 15 Annuité en progression géométrique: (suite) Dans ce qui suivra, nous noterons par i: le taux dintérêt par période de paiement, par L: la valeur actuelle de cette annuité au début de la première période et par X: la valeur accumulée de cette annuité à la fin de la dernière période.

37 ACT Cours 15 Annuité en progression géométrique: (suite) Le diagramme dentrées et sorties est le suivant:

38 ACT Cours 15 Annuité en progression géométrique: (suite) Nous obtenons algébriquement que la valeur actuelle L est

39 ACT Cours 15 Annuité en progression géométrique: (suite) Le diagramme dentrées et sorties est le suivant:

40 ACT Cours 15 Annuité en progression géométrique: (suite) Nous obtenons algébriquement que la valeur accumulée X est


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