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LABORATOIRE DETUDES AERODYNAMIQUES (LEA) Université de Poitiers, CNRS, ENSMA COTONOU, LE 08 Octobre 2009 1 SEMINAIRE SUR LA SIMULATION NUMERIQUE UNIVERSITE.

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1 LABORATOIRE DETUDES AERODYNAMIQUES (LEA) Université de Poitiers, CNRS, ENSMA COTONOU, LE 08 Octobre SEMINAIRE SUR LA SIMULATION NUMERIQUE UNIVERSITE DABOMEY CALAVI, Rep du BENIN

2 PLAN DE LEXPOSE Développement de modèles Algébriques Explicites Méthodologie de la modélisation algébrique Résultats Conclusions et perspectives Prise en compte des effets de paroi par pondération elliptique Bases dintégrités Ecoulement Couette – Poiseuille Couche limite sans cisaillement INTRODUCTION Modèles EB-EASM : études analytiques en canal Simulation numérique en Canal Extension 3D des modèles Algébriques explicites 2

3 INTRODUCTION Détermination de EB-EASM: MODELES ALGEBRIQUES Projet Européen Wallturb Principal objectif Méthodes empiriques Fonctions damortissements Pas duniversalité Pondération elliptique : EB-RSM INFLUENCE DE LA PAROI Nouvelle Approche Approche standard Robustes numériquement Simple à coder Modèles 1 er Ordre Modèles 2 nd ordre prennent mieux en compte la physique des écoulements Moins robustes numériquement Bon compromis physique et robustesse numérique 3

4 Principe de la modélisation algébrique Equations des tensions de Reynolds Pour un fluide incompressible : Tenseur danisotropie : La combinaison de (1) et (2) donne (2)(2) (3)(3) (1)(1) P ij : Production ; ε ij : tenseur de dissipation terme de pression, D ij : Diffusion avec 4

5 Hypothèses déquilibre faible : Modèle algébrique implicite : Rodi 1976 (6)(6) Choix de modèleset système fermé (5)(5) (4)(4) Prise en compte des effets de paroi 5 Equations de transport de k et

6 Introduction pondération elliptique EB-RSM Développé par Manceau & Hanjalic (2002 ) Permet une bonne reproduction à la paroi de leffet de blocage Numériquement robuste et réduit le nombre déquations par rapport à la la relaxation elliptique de Durbin ( 1991) sur laquelle est basé son concept orientation de la paroi n : Vecteur normal à la paroi (7)(7) Coefficient de pondération α solution de léquation elliptique : CL à la paroi : Loin de la paroi (8)(8) (9)(9) 6

7 Fermeture de léquation implicite système algébrique implicite Choix modèles de de EB-RSM introduits dans et (6)(6) termes encadrés : introduits par lEB-RSM ( 10 ) 7 Cas où, on retombe sur le modèle classique (6)(6)

8 Modèle Algébrique Explicite Modèle ASM implicite et numériquement instable Recherche des Solutions explicites 8 Modèle EB- EASM Equation implicite sécrit sous forme f(b, S, W, M )= 0 Théorie des bases dintégrité Solution du système est ( 10 ) ( 11 )

9 Projection de Galerkine ( 12 ) Injectée dans ( 10 ) Solutions explicites sont les invariants pouvant apparaître 9 Puis projetée sur la base des Ti

10 Bases dIntégrités : cas standard Bases dIntégrités : cas standard f(b,S,W)= 0 En écoulement 3D base invariante 6 invariants indépendants Base intégrité fonct. 10 tenseurs ( 13 ) ( 14 ) 10

11 En écoulement 2D plan base invariante 2 invariants indépendants Base intégrité fonct. 3 tenseurs ( 16 ) ( 15 ) 11 Ecoulement 2D Ecoulement 2D plan

12 En écoulement 1D base invariante 1 invariant Base intégrité fonct. 3 tenseurs et En plus des conditions 2D plan (eq. continuité) 12

13 En écoulement 3D base invariante : 6 29 invariants indépendants En tenant compte que ( 17 ) 13 Bases dIntégrités : cas EB-EASM Bases dIntégrités : cas EB-EASM f(b,S,W,M)= 0

14 Base intégrité fonct tenseurs Propriétés du tenseur M ( 18 ) 14

15 En écoulement 2D plan base invariante : 2 5 invariants indépendants Base intégrité fonct. 3 6 tenseurs En écoulement 1D idem au cas classique ( 19 ) ( 20 ) 15

16 Base tronquée plusieurs choix possibles base minimale Nombre de tenseurs N = dimension de b En ces points le système nest pas inversible on aboutit à des singularités base subminimale Nombre de tenseurs N < dimension de b Cas de 3 tenseurs : Cas classique :base dintégrité fonctionnelle en 2D plan Dans notre cas : base dintégrité fonctionnelle seulement en 1D 16

17 Modèles EB –EASM particuliers Combinaisons attractives Modèles Correspondants EB-EASM #1 b= β 1 S+β 2 (SW-WS)+β 3 (S²-1/3{S²}I) EB-EASM #2 b= β 1 S+β 2 M EB-EASM #3 b= β 1 S+β 2 (SM+MS-2/3{SM}I)+β 3 M EB-EASM #4 b= β 1 S+β 2 (SW-WS)+β 3 M Non linéaire Linéaire Non linéaire SSW-WSS²-1/3{S²}I SM+MS-2/3{SM}IMMW-WM EB-EASM #4 identique à EB-EASM #1 ( modèle standard ) en 1 D EB-EASM #3 dégénère vers EB-EASM #2 en 1 D (tenseurs linéairement dépendants : modèles simples ) ( 21 ) 17

18 Etude du modèle EB-EASM#1 en 2D plan b= β 1 S+β 2 (SW-WS)+β 3 (S²-1/3{S²}I) Fait apparaître 4 invariants 2 Nouveaux invariants introduits par lEB-RSM par rapport au cas classique solutions ( 22 ) 18 : Solution dune équation quartique

19 19 Prise en compte de la physique dans les modèles Rôle des invariants η caractérise lintensité de cisaillement régions de lécoulement moyen qui tendent à réduire la pression moyenne Renseigne sur de la rotation moyenne de lécoulement Première composante du laplacien de P moy Région de cisaillement plane Nouveau invariant Sensible à la présence de la paroi à lapproche de la paroi écoulement // à la paroi Jet impactant axisymétrique Jet plan Caractérise lorientation du gradient de vitesse moyenne par rapport à la normale Invariant de couche limite Couche limite Jet plan Jet impactant axisymétrique

20 EB-EASM # 1 Modèles non linéaires Etudes analytiques en canal ( 23 ) 20 b= β 1 S+β 2 (SW-WS)+β 3 (S²-1/3{S²}I ) β1 pilote seul la contrainte de cisaillement et donc -k β1 joue le rôle de la viscosité turbulente β3 reproduit correctement b33 et facilite la comparaison entre b11 et b22 permet de distinguer les composantes diagonales ( cas EASM#1) β2 permet de distinguer la composante diagonale b22 des deux autres à la paroi ( cas EASM#2 ) EB-EASM # 2 Modèles linéaires b= β 1 S+β 2 M

21 y+ EB-EASM# 1 : b= β 1 S+β 2 (SW-WS)+β 3 (S²-1/3{S²}I) Ecoulement en Canal Résultats Simulation numérique 21

22 EB-EASM# 1 : b= β 1 S+β 2 (SW-WS)+β 3 (S²-1/3{S²}I) y+y+ Ecoulement en Canal à Re τ = 590 (Moser et al.) Résultats Simulation numérique 22

23 EB-EASM# 1 : b= β 1 S+β 2 (SW-WS)+β 3 (S²-1/3{S²}I) Ecoulement en Canal à Re τ = 590 (Moser & al.) 23

24 EB-EASM# 2 : b= β 1 S+β 2 M y+ Ecoulement en canal (Moser et al. ; Hoyas & Jiménez) 24

25 EB-EASM# 2 : b= β 1 S+β 2 M y+ Ecoulement en Canal à Re τ = 590 (Moser et al.) 25

26 EB-EASM# 2 : b= β 1 S+β 2 M Ecoulement en Canal à Re τ = 590 (Moser et al.) 26

27 Ecoulement de Couette-Poiseuille UwUw -h h y x y/h PT : Poiseuille-type IT : Intermediate-type CT : Couette-type Ecoulement en Canal (DNS P.ORLANDI) 27

28 y/h PT : U w = 0.75 U b IT : U w = 1.2 U b CT : U w = 1.5 U b y/h Intermediate- type (IT) à Re τ = 182 Poiseuille- type (PT) à Re τ = 204 Couette- type (CT) à Re τ = y/h Intermediate- type (IT) à Re τ = 182

29 Couche limite sans cisaillement S=W= 0 partout dans la couche limite Ecoulement se déplaçant à la vitesse que la plaque la grille fixe génère la turb de grille 29

30 loin de la paroi : à la paroi : 30

31 Extension en 3D modèle EB-EASM Solution de b Solutions du système b= β 1 S+β 2 (SW-WS)+ β 3 (S²-1/3{S²}I) Invariants apparus : 12 ( 24 ) 31 Cas du modèle EB- EASM# 1 à 3 tenseurs

32 Test à priori modèle : jet impactant Test à priori modèle EB-EASM#1 : jet impactant Ecoulement « 3D » Calcul EB-RSM : R. Perrin & R. Manceau (2009) Schéma et Exp : Minagawa et al. (2004) 32 Tester la qualité de lapproximation But de létude Cas Modèle EB-EASM# 1 Deux options Voir si le caractère 3D doit être pris en compte Utiliser une base tronquée à 3 tenseurs Utiliser la base dintégrité Invariante ( 12 invariants) Utiliser une base tronquée à 3 tenseurs Utiliser la base dintégrité Invariante tronquée ( 4 invariants 2D )

33 Disque en rotation autour de z Etudes en système daxes cartésien z,w x,u y,v Cas test Test à priori dun jet impactant sur disque en Rotation Ici considérer comme « 3D » Effet de courbure non pris en compte 33

34 Résultats test à priori en « 3D » Composantes normales du tenseur de Reynolds. Profils pour x = z,w x,u y,v

35 Composantes de cisaillements du Tenseur de Reynolds. Profils pour x = z,w x,u y,v

36 Conclusions et perspectives Conclusions et perspectives 36 Introduction de la pondération elliptique Fait apparaitre un nouveau tenseur M Réduit à 3 le nombre déquations différentielles à résoudre : k, et Solution exacte de b nécessite un important nombre déléments des bases dintégrité invariante et fonctionnelle Base intégrité Possibilité dutiliser une base tronquée Modèles EB-EASM#1 en canal, Couette- Poiseuille Bonne reproduction de lanisotropie en proche paroi Limite à deux composantes restituée Mais augmente la complexité de léquation du ratio P/ Apparition probable des singularités

37 Limite à deux composantes reproduite Similaire à V2F mais plus physique Perspectives Extension EB-EASM en 3D EB-EASM capables de reproduire les écoulements complexes et de rotations Nécessité de prendre en compte tous les invariants qui apparaissent Modifier les hypothèses faibles pour prendre en compte les effets de courbure et améliorer la diffusion Tester les modèles sur dautres configurations découlements Approfondir la procédure de sélection de racines de léquation du ratio P/ Simulation numérique en 2D plan et en 3D afin de déterminer les meilleurs modèles tronquées Modèles EB-EASM#2 en canal, Couette- Poiseuille Modèle linéaire à 2 tenseurs ( modèle simplifié) Bonne reproduction en proche paroi de b22 et b12 mais (b11=b33) 37

38 Je vous remercie


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