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1 MODELISATION DE LA TURBULENCE : MODELISATION DE LA TURBULENCE : Développement de modèles algébriques valables en proche paroi Abdou Gafari OCENI, PhD,

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1 1 MODELISATION DE LA TURBULENCE : MODELISATION DE LA TURBULENCE : Développement de modèles algébriques valables en proche paroi Abdou Gafari OCENI, PhD, Ing,jr UNIVERSITE LAVAL Québec, Le 12 Février 2010

2 Développement de modèles Algébriques Explicites Méthodologie de la modélisation algébrique Résultats Conclusions et perspectives Prise en compte des effets de paroi par pondération elliptique Ecoulement Couette – Poiseuille Couche limite sans cisaillement Modélisation de la turbulence Modèle EB-EASM : études analytiques en canal Simulation numérique en Canal Extension 3D des modèles Algébriques explicites 2

3 3 MODELISATION DE LA TURBULENCE La Turbulence Phénomène très complexe impliquant une large gamme déchelle de longueur et de temps La plupart des écoulements rencontrés par les ingénieurs sont turbulents Quelques caractérisques : caractère aléatoire, chaotique, désordonné, fluctuant imprévisibilité, non déterminisme, très larges gammes de longueur dondes ( i.e tourbillons # tailles) bruit : sources acoustiques crées par les fluctuations etc Images ou vidéo 3

4 4 Faire de la simulation numérique Tenter de prédire ses aspects comportementaux Répondre à certaines questions Quelles équations résoudre ? Quelle discrétisation utiliser ? Quel modèle de turbulence choisir ? Simulation numérique 4

5 5 Quelles équations résoudre ? Equations de Navier Stokes (EDP) Différentes selon les cas Equations paraboliques: Equations elliptiques Equations hyperboliques Quelle discrétisation utilisée ? Les outils numériques pour résoudre chaque type déquations sont différents Choisir le schéma et le maillage en conséquence DF, VF, EF La complexité de la géométrie Pas de solutions analytiques 5

6 6 6 Maillages Mixtes = hexaèdres dans la couche limite et tétraèdre ailleurs

7 7 DF fonctionne sur les maillages réguliers permet d atteindre des précisions élevées ne traite pas des géométries complexes ne respecte pas le caractère conservatif des équations VF conservation des flux traite des géométries complexes difficile daugmenter lordre des schémas utiliser en mécanique des fluides utile pour trouver les solutions exactes des équations approchées moins gourmande en esp mémoire que les EF EF attaquent les géométries complexes chercher des solutions approchées des équations exactes beaucoup utilisé en mécanique des solides ne respecte pas le caractère conservatif des équations 7

8 8 Quel modèle choisir ? DNS, LES, RANS, HYBRIDES DNS On cherche à représenter la totalité des phénomènes physiques le nombre de mailles est prop à Re 9/4 Re = mailles ! LES On ne résout que les échelles supérieure à une taille de coupure donnée En dessous de cette taille, on suppose que la turbulence est isotrope et les échelles seront modélisés RANS Consiste à simuler lécoulement moyen. Toutes les fluctuations sont filtrées et modélisées. Hybrides On combine les deux derniers, les gros tourbillons sont uniquement résolus Applications industrielles : standard actuel = RANS 8

9 9 Quelques applications industrielles (RANS) Aéronautique Turbine Vega2 AS28G Aérospatial Tuyère Nucléaire Industrie Automobile Refroidissement moteur 9

10 10 Méthode statistique (RANS) Méthode statistique (RANS) Problème de fermeture Problème de fermeture Décomposition de Reynolds Equations de Navier Stokes moyennées En dehors des inconnues classiques, U, V, W, P, elles font apparaitre des supplémentaires : le tenseur de Reynolds Construire un modèle = Construire un modèle = fournir des équations pour le tenseur de Reynolds 10

11 11 Fermeture au premier ordre Fermeture au premier ordre On suppose que lon peut écrire le tenseur de Reynolds comme une fonction du gradient de vitesse et des échelles caractéristiques de la turbulence linéaire Cubique Quadratique etc.. Relation Résoudre les équations de transport des échelles k et Relation linéaire (Boussinesq ) Modèle standard : modèle k - Il existe dautres basé sur dautres échelles k -, k, kl etc… Avantages/inconvénients (modèle 1 er ordre ) Robuste Facile à implémenter Mauvais pour les écoulements en rotation etc.. 11 (1)(1)

12 Dans ces équations, on voit apparaitre des mécanismes physiques qui régissent lévolution de la turbulence Certains sont exactes, dautres doivent être modélisés On a une description beaucoup plus riche et surtout plus proche des mécanismes de la turbulence quau modèles du premier ordre 12 Fermeture au second ordre Fermeture au second ordre (Reynold Stress Model : RSM) (Reynold Stress Model : RSM) On résout les équation de transport du tenseur de Reynolds Avantages / Inconvénients (modèle 2 nd ordre ) Mécanismes physiques prises en compte prédire les effets de courbures, rotation Présentent des pb dinstabilités numériques etc.. 12 (2)(2) modélise r ij ij D ij ?

13 13 Modélisation du terme de pression Modélisation du terme de pression Terme de Redistribution ( ou de pression ) : ij + important après la production Modélisé en 2 parties : lente et rapide Deux hypothèses de Chou : Quasi Homogénéité Localité Le gradient de vitesse moyenne est constant. J ustifiée (Bradshaw et al 1987 en utilisant les données de la DNS en Canal ) sauf dans la région de proche paroi Remet en cause la non localité de ij (corrélation en un point (x) Non valable en proche paroi Forme algébrique générale : (1) resp (2) Termes lent resp rapide Spezial et al (1978) Lumley et al (1978) 13

14 14 Modélisation de la dissipation et de la diffusion Modélisation de la dissipation et de la diffusion La dissipation est modélisée loin de paroi par sa forme isotrope : modèle de Kolmogorov Plusieurs propositions pour la modélisation du terme de diffusion turbulente. On retient : Modèle de Daly & Harlow (+ utilisé) 14 (3)(3) (4)(4)

15 15 Modèle 1 er ordreModèle 2 nd ordre Basés sur t Basés sur 2 échelles : k -, k-.. LinéairesNon linéaires LinéairesNon linéaires Représentation de la physique Simplicité dutilisation Il ny a pas de modèle qui sache tout faire et adapté à toutes les situations Classification 15

16 16 Prise en compte de la paroi : les fonctions Prise en compte de la paroi : les fonctions damortissements damortissements A la paroi : Remise en cause des hypothèses de Chou variation du gradient de vitesse amortissement de toutes les composantes fluctuantes écho de paroi :réflexion des fluctuations de pression Effet de blocage : amortissement des fluctuations normales à la paroi via le terme de redistribution Les lois de paroi ne sont toujours pas valables Que faire ? Introduction des fonctions damortissements distance à la paroi distance à la paroi Re y = k 1/2 y/ actif uniquement en proche paroi Re y = k 1/2 y/ actif uniquement en proche paroi Re t = u t d / actif dans toute la zone bas Reynolds Re t = u t d / actif dans toute la zone bas Reynolds 16i.e (1)(1)

17 Modélisation Algébrique Algébrique Détermination de EB-EASM: MODELES ALGEBRIQUES Principal objectif Méthodes empiriques Fonctions damortissements Particularise le modèle Pondération elliptique : EB-RSM INFLUENCE DE LA PAROI Nouvelle Approche Approche standard Robustes numériquement Simple à coder Modèles 1 er Ordre Modèles 2 nd ordre prennent mieux en compte de la physique des écoulements Moins robustes numériquement Bon compromis physique et robustesse numérique 17

18 Equations des tensions de Reynolds Pour un fluide incompressible : Tenseur danisotropie : La combinaison de (5) et (6) donne (6)(6) (7)(7) (5)(5) P ij : Production ; ε ij : tenseur de dissipation terme de pression, D ij : Diffusion avec 18 avec

19 Hypothèses déquilibre faible : Modèle algébrique ASM implicite : Rodi 1976 ( 10 ) Choix de modèleset système fermé (9)(9) (8)(8) Prise en compte des effets de paroi 19 Equations de transport de k et

20 EB-RSM Développé par Manceau & Hanjalic (2002 ) Permet une bonne reproduction à la paroi de leffet de blocage Numériquement robuste et réduit le nombre déquations par rapport à la la relaxation elliptique de Durbin ( 1991) sur laquelle est basé son concept Info sur orientation de la paroi n : Vecteur normal à la paroi ( 11 ) Coefficient de pondération α solution de léquation elliptique : CL à la paroi : Loin de la paroi ( 12 ) 20

21 Fermeture de léquation implicite Choix modèles de de EB-RSM introduits dans et ASM termes encadrés : introduits par lEB-RSM ( 13 ) 21 on retombe sur le modèle classique si

22 Modèle Algébrique Explicite Modèle ASM implicite et numériquement instable Recherche des Solutions explicites 22 Modèle EB- EASM Equation implicite sécrit sous forme f(b, S, W, M )= 0 Théorie des bases dintégrité Solution du système est ( 13 ) ( 14 )

23 Projection de Galerkine ( 15 ) Injectée dans ( 13 ) Solutions explicites sont les invariants pouvant apparaître 23 Puis projetée sur la base des Ti

24 Choix de bases Modèles Correspondants EB-EASM #1 b= β 1 S+β 2 (SW-WS)+β 3 (S²-1/3{S²}I) EB-EASM #2 b= β 1 S+β 2 M EB-EASM #3 b= β 1 S+β 2 (SM+MS-2/3{SM}I)+β 3 M EB-EASM #4 b= β 1 S+β 2 (SW-WS)+β 3 M Non linéaire Linéaire Non linéaire SSW-WSS²-1/3{S²}I SM+MS-2/3{SM}IMMW-WM EB-EASM #4 identique à EB-EASM #1 ( modèle standard ) en 1 D EB-EASM #3 dégénère vers EB-EASM #2 en 1 D (tenseurs linéairement dépendants : modèles simples ) ( 16 ) 24

25 Etude du modèle EB-EASM#1 en 2D plan b= β 1 S+β 2 (SW-WS)+β 3 (S²-1/3{S²}I) Fait apparaître 4 invariants 2 Nouveaux invariants introduits par lEB-RSM par rapport au cas classique solutions ( 17 ) 25 : Solution dune équation quartique Mécanismes de la turbulence prises en compte par k et Mécanismes de la turbulence prises en compte par k et Mécanismes physiques transportés par les invariants Mécanismes physiques transportés par les invariants

26 EB-EASM # 1 Modèles non linéaires ( 18 ) 26 b= β 1 S+β 2 (SW-WS)+β 3 (S²-1/3{S²}I ) β1 pilote seul la contrainte de cisaillement et donc -k β1 joue le rôle de la viscosité turbulente β3 reproduit correctement b33 et facilite la comparaison entre b11 et b22 permet de distinguer les composantes diagonales ( cas EASM#1) β2 permet de distinguer la composante diagonale b22 des deux autres à la paroi ( cas EASM#2 ) EB-EASM # 2 Modèles linéaires b= β 1 S+β 2 M

27 y+ EB-EASM# 1 : b= β 1 S+β 2 (SW-WS)+β 3 (S²-1/3{S²}I) Ecoulement en Canal Résultats Simulation numérique 27

28 EB-EASM# 1 : b= β 1 S+β 2 (SW-WS)+β 3 (S²-1/3{S²}I) y+y+ Ecoulement en Canal à Re τ = 590 (Moser et al.) Résultats Simulation numérique 28

29 EB-EASM# 1 : b= β 1 S+β 2 (SW-WS)+β 3 (S²-1/3{S²}I) Ecoulement en Canal à Re τ = 590 (Moser & al.) 29

30 EB-EASM# 2 : b= β 1 S+β 2 M y+ Ecoulement en canal (Moser et al. ; Hoyas & Jiménez) 30

31 EB-EASM# 2 : b= β 1 S+β 2 M y+ Ecoulement en Canal à Re τ = 590 (Moser et al.) 31

32 EB-EASM# 2 : b= β 1 S+β 2 M Ecoulement en Canal à Re τ = 590 (Moser et al.) 32

33 Ecoulement de Couette-Poiseuille UwUw -h h y x y/h PT : Poiseuille-type IT : Intermediate-type CT : Couette-type Ecoulement en Canal (DNS P.ORLANDI) 33

34 y/h PT : U w = 0.75 U b IT : U w = 1.2 U b CT : U w = 1.5 U b y/h Intermediate- type (IT) à Re τ = 182 Poiseuille- type (PT) à Re τ = 204 Couette- type (CT) à Re τ = y/h Intermediate- type (IT) à Re τ = 182 Ici le modèle distingue v2 des autres. Cest une spécificité de ce modèle. Tous les autres prévoient en ce point légalité des trois composantes

35 Couche limite sans cisaillement S=W= 0 partout dans la couche limite Ecoulement se déplaçant à la vitesse que la plaque la grille fixe génère la turb de grille 35

36 loin de la paroi : à la paroi : 36

37 Extension en 3D modèle EB-EASM Solution de b Solutions du système b= β 1 S+β 2 (SW-WS)+ β 3 (S²-1/3{S²}I) Invariants apparus : 12 ( 19 ) 37 Cas du modèle EB- EASM# 1 à 3 tenseurs

38 Disque en rotation autour de z z,w x,u y,v Cas test Test à priori dun jet impactant sur disque en Rotation 38 Test à priori modèle : jet impactant Test à priori modèle EB-EASM#1 : jet impactant Ecoulement « 3D » Calcul EB-RSM : R. Perrin & R. Manceau (2009) Schéma et Exp : Minagawa et al. (2004) Etudes en système daxes cartésien

39 Résultats test à priori en « 3D » Composante normale du tenseur de Reynolds. Profils pour x = z,w x,u y,v EB-EASM_2D : utilisation des 4 invariants apparus en 2D EB-EASM_3D : utilisation des 12 invariants apparus en 3D

40 Conclusions et perspectives Conclusions et perspectives 40 Modélisation algébrique explicite Fait apparaitre un nouveau tenseur M Réduit à 3 le nombre déquations différentielles à résoudre : k, et Bonne reproduction de leffet de blocage (sans fonction amortissements) Modèles EB-EASM#1 en canal, Couette- Poiseuille Bonne reproduction de lanisotropie en proche paroi Limite à deux composantes restituée Apparition probable des singularités Combine les avantages des deux approches Meilleurs prise en compte des phénomènes physiques à travers les invariants Introduction de la pondération elliptique

41 Limite à deux composantes reproduite Similaire à V2F mais plus physique Perspectives Extension EB-EASM en 3D EB-EASM capables de reproduire les écoulements complexes et de rotations Nécessité de prendre en compte tous les invariants qui apparaissent Modifier les hypothèses faibles pour prendre en compte les effets de courbure et améliorer la diffusion ( EN COURS ) Tester les modèles sur dautres configurations découlements Modèles EB-EASM#2 en canal, Couette- Poiseuille Modèle linéaire à 2 tenseurs ( modèle simplifié) Bonne reproduction en proche paroi de b 22 et b 12 mais (b 11 =b 33 ) 41

42 Je vous remercie

43 43


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