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L introduction de la notion de probabilit é s en coll è ge Questionnements didactiques Regroupement académique de l'IREM des Pays-de-Loire Angers, le 4.

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1 L introduction de la notion de probabilit é s en coll è ge Questionnements didactiques Regroupement académique de l'IREM des Pays-de-Loire Angers, le 4 décembre 2008 Michel Henry, CII Statistique et probabilités, IREM et Université de Franche-Comté

2 1 - Commentaire du programme de probabilit é s de 3 è me, rentr é e 2008 (BO du 21 avril 2007) : La notion de probabilit é est abord é e à partir de situations famili è res (pi è ces de monnaie, d é s, roues de loteries, urnes). Certaines de ces situations permettent de rencontrer des cas pour lesquels les probabilit é s ne sont pas d é finies à partir de consid é rations intuitives de sym é trie ou de comparaisons mais sont approximativement é valu é es par les fr é quences observ é es exp é rimentalement (approche fr é quentiste des probabilit é s). 2 - La nouvelle rédaction pour la rentrée 2009 (BO du 28 août 2008) : La notion de probabilit é est abord é e à partir d exp é rimentations qui permettent d observer les fr é quences des issues dans des situations famili è res (pi è ces de monnaie, d é s, roues de loteries, urnes, etc.). La notion de probabilit é est utilis é e pour mod é liser des situations simples de la vie courante. Les situations é tudi é es concernent les exp é riences à une ou à deux é preuves. Où est donc passé le caractère dual de cette notion ? Mais le point de vue de la modélisation est avancé

3 3 - Impasses didactiques d une d é finition fr é quentiste de la probabilit é La formulation du programme de troisi è me, l approche « fr é quentiste » du programme de premi è re des ann é es 90 pourraient sugg é rer de d é finir la probabilit é comme fr é quence « stabilis é e ». En se limitant à la « description d exp é riences al é atoires simples » sans proposer d interpr é tations par des mod è les th é oriques, ce programme laissait la place à la confusion entre fr é quence exp é rimentale et probabilit é, con ç ue alors comme une fr é quence limite. Mais quel statut peut-on donner à une telle limite faisant un lien entre des relev é s d observations exp é rimentales et un nombre th é orique ? Pousse au crime. Termes utilis é s dans certaines classes de seconde (et certains manuels de troisi è me !) : Fr é quence th é orique, probabilit é exp é rimentale !!! En fait la confusion entre mod è le et r é alit é a é t é omnipr é sente dans cet enseignement des probabilit é s des ann é es 90 et à l origine de difficult é s didactiques essentielles.

4 4 - Le point de vue de la modélisation Ni classique, ni fréquentiste, quelle réponse donner à la demande dune définition ? Il faut dépasser le « langage des chances » ainsi que le débat « philosophique » entre objectivistes et subjectivistes. Le point de vue de la modélisation réalise cet enjeu, donne des clés didactiques et contribue à la formation de la démarche scientifique : observation de la réalité - description - hypothèses - modèle abstrait - développement théorique - résolution de problèmes - interprétation dans le contexte réel - validation expérimentale. La probabilit é est axiomatiquement d é finie comme un objet th é orique, quantifiant id é alement la possibilit é d un é v é nement calcul é e a priori ou estim é e exp é rimentalement. Tout en proposant une approche fr é quentiste, le projet de programme de premi è re L de 1993 pla ç ait la mod é lisation comme objectif, anticipant sur la r é forme des ann é es 2000 : « Il s'agit, comme dans les autres programmes, d'aborder la notion de probabilit é à partir de la fr é quence, mais on a choisi dans cette s é rie d'affiner l'explicitation du processus de mod é lisation. L'objet de cette partie de la formation est donc de faire d é couvrir, en s'appuyant sur l'exp é rimentation num é rique, quelques notions qualitatives et quantitatives li é es à la mod é lisation math é matique des ph é nom è nes al é atoires …. On abordera ensuite une analyse plus quantitative permettant de d é gager à partir de l' é tude des fr é quences et en relation avec les travaux effectu é s en statistique, la notion de probabilit é ».

5 5 - Qu est-ce que mod é liser ? Le programme de premi è re de 2001 r é alisait un pas didactique d é cisif, introduisant le point de vue de la mod é lisation dans l enseignement secondaire : « Mod é liser une exp é rience al é atoire, c'est lui associer une loi de probabilit é… Une fr é quence est empirique : elle est calcul é e à partir de donn é es exp é rimentales, alors que la probabilit é d'un é v é nement est un nombre th é orique … Les distributions de fr é quences issues de la r é p é tition d'exp é riences identiques et ind é pendantes varient (fluctuent), alors que la loi de probabilit é est un invariant associ é à l'exp é rience ». (Document d accompagnement des programmes de premi è re de 2001). D é finition donn é e par John Von Neumann, pr é curseur en la mati è re : « Les sciences n essayent pas d'expliquer, c'est tout juste si elles tentent d'interpr é ter, elles font essentiellement des mod è les. Par mod è le, on entend une construction math é matique qui, à l'aide de certaines interpr é tations verbales, d é crit les ph é nom è nes observ é s. La justification d'une telle construction math é matique r é side uniquement et pr é cis é ment dans le fait qu elle est cens é e fonctionner ». A propos de la notion de mod è le, citons David Ruelle : « Un mod è le consiste à coller une th é orie math é matique sur un morceau de r é alit é ».

6 6 - Simulations Les programmes des ann é es 2000 font largement appel à la simulation informatique. Le document d accompagnement des programmes de premi è re pr é cise : « Mod é liser consiste à associer un mod è le à des donn é es exp é rimentales, alors que simuler consiste à produire des donn é es à partir d'un mod è le pr é d é fini. Pour simuler une exp é rience, on associe d'abord un mod è le à l'exp é rience en cours, puis on simule la loi du mod è le ». On trouve une d é finition de la simulation dans l Encyclop é die Universalis : « La simulation est l'exp é rimentation sur un mod è le. C'est une proc é dure de recherche scientifique qui consiste à r é aliser une reproduction artificielle (mod è le) du ph é nom è ne que l'on d é sire é tudier, à observer le comportement de cette reproduction lorsque l'on fait varier exp é rimentalement les actions que l'on peut exercer sur celle-ci, et à en induire ce qui se passerait dans la r é alit é sous l'influence d'actions analogues ». Il convient donc de faire d abord le choix d un mod è le. Les situations al é atoires consid é r é es en classe sont en principe toutes à base d é quiprobabilit é. Les mod è les utilis é s pour les simulations propos é es sont donc souvent implicites quand ils se r é duisent à la loi uniforme discr è te, produite par le g é n é rateur al é atoire de l ordinateur ou de la calculette qui fournissent des chiffres pseudo-al é atoires suppos é s é quir é partis.

7 7 - Définition mathématique moderne de la probabilité La probabilit é est un concept math é matique dont la d é finition a du sens au sein d un mod è le th é orique. Le mod è le contemporain est le mod è le de Kolmogorov (1933) : E est une ensemble repr é sentant les issues possibles d une exp é rience al é atoire. Les parties de E repr é sentent les é v é nements associ é s à cette exp é rience On distingue une famille B de parties de E repr é sentant les é v é nements susceptibles d une description, ferm é e pour les op é rations ensemblistes de base (tribu). Une probabilit é P est une mesure (au sens de Borel) sur B comprise entre 0 et 1, v é rifiant : P(E) = 1, P( ) = 0, P(E \ A) = 1 – P(A) pour tout A de B, et pour toute famille d é nombrable d é v é nements A i incompatibles deux à deux (A i A j = ), P( A i ) = P(A i ). Cette d é finition suppose une bonne dose de th é orie de la mesure … Alors, comment fait-on dans l enseignement secondaire ?

8 8 - Les programmes des lycées à la rentrée 2008 Classe de seconde : expérimentations numériques, observations des fluctuations déchantillonnage, simulation et distributions de fréquences Classes de première : expérience aléatoire, vocabulaire des événements, loi de probabilité sur un ensemble fini dissues, probabilité dun événement, loi des grands nombres, modèle déquiprobabilité. Classe de terminale S : probabilités conditionnelles, indépendance, formule des probabilités totales, lois discrètes (Bernoulli, binomiale), lois continues (uniforme, exponentielle), adéquation de données à une loi équirépartie. Dans cette progression, la définition (scolaire) de la probabilité synthétise les deux approches dans le cadre de la modélisation : - Une expérience aléatoire donne lieu à n issues possibles notées x i. Un événement est représenté par un ensemble de ces issues. - On modélise cette expérience par une loi de probabilité P: aux x i on fait correspondre les p i tels que 0 p i 1 et p i = 1. Si p i = 1/n, la loi est équirépartie. - La probabilité dun événement est la somme des p i associées aux issues constituant cet événement (deuxième principe de Laplace). - On en déduit les propriétés: P(Ø) = 0, P() = 1, P(A c ) = 1 – P(A), P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)

9 9 - Document daccompagnement du programme de troisième Le projet publié en mars 2008 rappelle dans son introduction : « Le langage élémentaire de la statistique (avec ses mots tels que moyenne, dispersion, estimation, fourchette de sondage, différence significative, corrections saisonnières, espérance de vie, risque, etc.) est, dans tous les pays, nécessaire à la participation aux débats publics : il convient donc dapprendre ce langage, ses règles, sa syntaxe, sa sémantique ; lenseignement de la statistique étant, par nature, associé à celui des probabilités, il sagit en fait dune formation à laléatoire ». (CREM, Rapport au Ministre, 2002). Le document indique dabord les « choix du programme », les différentes interprétations de la probabilité, considérations de symétries et approche fréquentiste : « Les justifications solliciteront lune quelconque des interprétations de la probabilité : interprétation fréquentiste dans sa variante propension ; mais certains élèves feront certainement appel à linterprétation épistémique, dans sa variante personnelle ou interpersonnelle ; la variante logique conduisant à faire appel au principe dindifférence (ou de raison insuffisante) ».

10 10 - Pour une progression en collège - Quest-ce que le hasard ? Hasards sauvages et hasards bénins reproductibles - Peut-on le quantifier ? Observations familières (dés…) et données statistiques empiriques. Échantillons pris au hasard dans une population et fluctuations - Des générateurs de hasard familiers : pièces, dés, roulettes, urnes… Distinction entre issues possibles et « chances » de les obtenir (dés pipés, sommes de deux dés…) - La probabilité pour évaluer le poids des cas favorables par rapport à tous les cas possibles. - Léquiprobabilité comme hypothèse de modèle dans les situations simples des jeux (pièces parfaites, dés équilibrés, boules indiscernables…) - Fluctuations des fréquences et stabilisation. Usage du tableur (Exemple de lactivité « planche de Galton ») - Caractère théorique de la probabilité : un nombre pour évaluer les « chances », approximativement mesuré par une fréquence stabilisée. Distinction entre modèle et réalité. - Mesure expérimentale approximative dune probabilité par la fréquence stabilisée. Punaises…

11 1/ G D 11 - Planche de Galton à 4 rang é es de clous Probabilit é s binomiales : avec n rang é es de clous, les chemins possibles sont form é s de n lettres é quiprobables G ou D. Chaque chemin est de probabilit é ( ½ ) n. Un chemin contenant i lettres D aboutit à la bo î te n° i (i de 0 à n). Il y en a (nombre de mani è res de placer i lettres D parmi n lettres). La probabilit é pour une bille de tomber dans la bo î te i est donc P(i) = ( ½ ) n Dans une planche de Galton de n rang é es de clous, le trajet d une bille simule n lancers de pile ou face. À chaque clou, la bille a deux issues possibles : G ou D, de mêmes probabilit é s p = ½. Un chemin pour une bille est form é de 4 lettres G ou D. Ils sont tous de même probabilit é (½) 4 = 1/16.

12 Simulations avec Excel d une planche de Galton à 4 rang é es de clous, avec jets de 10 billes (s é rie bleue), puis de 100 billes (s é rie rouge), puis de 1000 billes (s é rie jaune). Probabilit é s binomiales (s é rie verte)

13 12 - Laissons la conclusion II à Pierre-Simon Laplace : « Il est remarquable qu une science qui a commenc é par la consid é ration des jeux se soit é lev é e aux plus importants objets des connaissances humaines »… « … on verra qu'il n'est point de science plus digne de nos m é ditations, et qu'il soit plus utile de faire entrer dans le syst è me de l'instruction publique. » Conclusion de l Essai Philosophique de 1812


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