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SOMME DES ENTIERS Et NOMBRES TRIANGLE 1 + 2 + 3 + 4 = 10 Exemple: 1 + 2 + 3 + 4 = 10 1 3 + 2 6 + 3 10 + 4 Par Clément (9 ans) – Août 2011 1 Découverte.

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1 SOMME DES ENTIERS Et NOMBRES TRIANGLE 1 + 2 + 3 + 4 = 10 Exemple: 1 + 2 + 3 + 4 = 10 1 3 + 2 6 + 3 10 + 4 Par Clément (9 ans) – Août 2011 1 Découverte Junior Découverte Junior – Gérard Villemin

2 SOMME de 1 + 2 + 3 + 4 = ? 1 1 2 2 3 3 4 4 1 1 4 4 2 2 3 3 5 5 5 5 10 1 + 2 + 3 + 4 = 10 2 La somme des entiers de 1 à 4 est le nombre triangle numéro 4 (T 4 ).

3 SOMME de 1 + 2 + … + 9 = ? 1 1 2 2 3 3 4 4 1 1 9 9 2 2 8 8 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 3 3 7 7 4 4 6 6 40 5 5 45 1 + 2 + 3 + 4 + 5 6 + 7 + 8 + 9 = 3 La somme des entiers de 1 à 9 est le nombre triangle numéro 9 (T 9 ).

4 SOMME de 1 + 2 + … + n = ? 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 9 9 8 8 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 10 S S 2 S 2S = 9 x 10 et si 9 devient n 2S = n. (n+1) S = n. (n+1) / 2 S = 9. (9+1) / 2 = 9 x 10 /2 = 9 x 5 = 45 Lastuce, cest décrire une deuxième fois tous les nombres dans lautre sens. Cest la méthode de Gauss (1777-1855). 4 n Ici, n vaut 9

5 S n = n. (n+1) / 2 n = 11 => s 11 = 11 x 12 / 2= 66 n = 50 => s 50 = 50 x 51 / 2= 1 275 n = 70 => s 70 = 70 x 71 / 2= 2 485 n = 99 => s 99 = 99 x 100 / 2= 4 950 n =100 => s 100 =100 x 101 / 2= 5 050 S 100 = 1 + 2 + 3 + 4 + … 99 + 100 = 5 050. 5 Je sais calculer facilement 1 + 2 + … jusquà nimporte quel nombre (n) avec cette formule: Exemples: La somme des entiers de 1 à 100 est le nombre triangle numéro 100 (T 100 ).

6 Les points et les traits 2 points 1 trait 3 points 3 traits 4 points 6 traits 5 points 10 traits Avec 5 points, il y a 1+2+3+4 = 10 traits Un en moins 6 +2 +3 +4 1 1

7 Calcul de la quantité de traits selon le nombre de points (n) Avec 5 points, il y a 1+2+3+4 = 10 traits Avec 6 points, il y a 1+2+3+4+5= 15 traits Avec 5 points, il y a (5 – 1) x 5/2 = 10 Avec 11 points, il y a (11 – 1) x 11/2 = 55 Avec n points, il y a (n – 1). n / 2 Un en moins 7 La quantité de traits pour 11 points est le nombre triangle numéro 10 (T 10 ). Somme des entiers de 1 à (n-1) Somme des entiers de 1 à (n-1)

8 Je mamuse à y ajouter les carrés, les cubes et les puissances 4, 5 et 6. Jai fait ces calculs à laide dun tableur. Je remarque que, pour un même nombre n, son carré est plus grand que son nombre triangle: n² > T n 8 Table des nombres triangle


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