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Représentation détat des systèmes FORMALISME DETAT COMMANDABILITE-OBSERVABILITE COMMANDE PAR RETOUR DETAT OBSERVATEUR.

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1 Représentation détat des systèmes FORMALISME DETAT COMMANDABILITE-OBSERVABILITE COMMANDE PAR RETOUR DETAT OBSERVATEUR

2 FORMALISME DETAT 1 NOTION D'ÉTAT 2 EQUATION D'ÉTAT - EQUATION D'OBSERVATION 3 FONCTION DE TRANSFERT 4 INTÉGRATION DE L'ÉQUATION D'ÉTAT 5 PLURALITÉ DES REPRÉSENTATIONS D'ÉTAT 6 LES FORMES CANONIQUES 7 OBTENTION DE LA REPRÉSENTATION DÉTAT 8 STABILITÉ BIBO - STABILITÉ ASYMPTOTIQUE

3 NOTION DETAT DUN SYSTEME

4 La représentation d'état repose sur la notion d'énergie. Le processus est décrit par ses variables d'états. Ces variables d'état donnent une description interne complète de l'évolution du système. L'évolution d'un processus à partir dun instant t 0 donné dépend : -de son état initial, -des sollicitations extérieures (commandes et perturbations ).

5 NOTION DETAT DUN SYSTEME Système mécanique élémentaire Vecteur détat : X= [y, v y ] T Vecteur de commande : U= F Vecteur de sortie, la position : Y = y(t)

6 NOTION DETAT DUN SYSTEME Mise en équation - Equation détat - Equation dobservation Système mécanique élémentaire

7 NOTION DETAT DUN SYSTEME Réponse indicielle du système mécanique élémentaire La réponse y(t)La trajectoire détat

8 NOTION DETAT DUN SYSTEME Représentation sous forme de schéma fonctionnel du système mécanique élémentaire

9 NOTION DETAT DUN SYSTEME La fonction de transfert propose une représentation externe du système, soit La représentation détat propose une description interne puisquelle permet dappréhender les variables internes au système : y(t) et v y (t)

10 Equation détat EQUATION DETAT ET DOBSERVATION Le vecteur détat : Léquation détat : Léquation dobservation : Le vecteur de commande : Le vecteur de sorties : Equation dobservation

11 EQUATION DETAT ET DOBSERVATION Représentation schématique des équations détat et dobservation

12 FONCTION DE TRANSFERT Le système est décrit par : La matrice de transfert : Les pôles sont les valeurs propres de la matrice détat A

13 FONCTION DE TRANSFERT Système mécanique élémentaire Léquation détat : Léquation dobservation (tout létat est mesuré) : La matrice de transfert :

14 INTEGRATION DE LEQUATION DETAT Intégrer léquation détat cest être capable de déterminer à tout instant lexpression des variables détat : –Les conditions initiales sont connues, –les entrées de commande et de perturbation appliquées au système sont connues. Régime libre Régime forcé

15 INTEGRATION DE LEQUATION DETAT Calcul de e At –Formulation de Sylvester –Transformée de Laplace inverse : Application au système mécanique élémentaire f= 0

16 PLURALITE DES REPRESENTATIONS DETAT De lintérêt de disposer de plusieurs modèles dun même système

17 PLURALITE DES REPRESENTATIONS DETAT Dune manière générale, la représentation détat obtenue lorsquon modélise le système au moyen des équations de la physique nest pas nécessairement celle qui se prête le mieux : – à linterprétation des propriétés du système étudié, – à la résolution de léquation détat, – à lélaboration dune loi de commande. Des changements de base judicieux peuvent permettre de faciliter la résolution des problèmes mentionnés supra.

18 PLURALITE DES REPRESENTATIONS DETAT Changement de base P matrice de passage non singulière. Le système dans la base originelle Le système dans la nouvelle base formules de changement de base :

19 LES FORMES CANONIQUES Forme diagonale : elle met en évidence : – les propriétés dynamiques (stabilité, rapidité, amortissement), – les propriétés de commandabilité et dobservabilité, – facilite lintégration de léquation détat, – la contribution des modes aux états.

20 LES FORMES CANONIQUES Forme diagonale P matrice constituée des vecteurs propres Tous calculs faits … Remarque : sans perte de généralité, on pourrait décrire de la même manière Un système multi-entrées, multi-sorties.

21 LES FORMES CANONIQUES Forme diagonale y(t)

22 LES FORMES CANONIQUES Forme diagonale : interprétation 1) Intégration des équations détat : 2) Commandabilité : b di = 0 z i nest pas commandé 3) Observabilité : c di = 0 z i nest pas observé 4) Contribution des modes aux états : définie par les vecteurs propres

23 LES FORMES CANONIQUES Forme diagonale : exemple

24 LES FORMES CANONIQUES La forme compagne horizontale : –facilite la mise en oeuvre dune commande –obtention « naturelle » dune représentaion détat depuis une fonction de transfert Attention à ne pas chercher de sens physique à cette représentation, elle nen na pas !

25 LES FORMES CANONIQUES La forme compagne horizontale : –facilite la mise en oeuvre dune commande –obtention « naturelle » dune représentaion détat depuis une fonction de transfert

26 STABILITE Au travers dun exemple Soit le système : Le schéma fonctionnel : La fonction de transfert a perdu un mode : Système stable du point de vue de la fonction de transfert, instable du point de vue de la représentation détat.

27 Commandabilité - Observabilité

28 Commandabilité Exemple : contrôle dattitude par magnétocoupleur Aux pôles, les magnétocoupleurs créent des couples sur les 3 axes et le satellite est commandable.

29 Commandabilité A léquateur, Bx // ix, et le satellite nest plus commandable. Exemple : contrôle dattitude par magnétocoupleur

30 Commandabilité Définition : Un processus de vecteur d'état X est complètement commandable sur l'intervalle de temps [t 0, t f ] s'il existe sur cet intervalle une commande U(t) permettant d'amener ce vecteur d'un état initial X(t 0 ) quelconque à un état final X(t f ) choisi quelconque. Les critères suivants permettent de conclure quant à lobservabilité dun système.

31 Commandabilité Utilisation dune représentation détat diagonalisée Dans la base diagonale, le système sécrit : Et peut être représenté comme suit : Le système est commandable si B d na pas de lignes nulles.

32 Commandabilité Critère de commandabilité ou critère de Kalman Le système décrit par la représentation détat : est commandable ssi :

33 Observabilité Exemple : Estimation de la dérive dune centrale inertielle temps erreur de position t dérive Sans recalage est laccélération mesurée par la centrale inertielle, elle comporte une erreur Systématique d. Après intégrations, cette erreur se propage et est à lorigine dune dérive. Sans autre information, on est incapable destimer la dérive, le système est alors inobservable.

34 Observabilité Exemple : Estimation de la dérive dune centrale inertielle Avec recalage On a accès à la dérive d par une mesure supplémentaire, laquelle peut être obtenue par Un GPS. La dérive peut être estimée et le système est dit observable. temps erreur de position t dérive recalage

35 Observabilité Un système est dit complètement observable sur l'intervalle de temps [t 0, t f ] si l'observation de la commande U(t) et de la sortie Y(t) permet de déterminer l'état initial X(t0). Les critères suivants permettent de conclure quant à lobservabilité dun système.

36 Observabilité Utilisation dune représentation détat diagonalisée Dans la base diagonale, le système sécrit : Et peut être représenté comme suit : Le système est observable si C d na pas de colonnes nulles.

37 Observabilité Critère dobservabilité ou critère de Kalman Le système décrit par la représentation détat : est observable ssi :

38 Commandabilité - Observabilité Dans le cas général, le système décrit par la représentation détat : Comporte : Sous-système commandable et observable Sous-système commandable et non observable Sous-système non commandable et observable Sous-système non commandable et non observable Et la fonction de transfert ne fait apparaître que les modes commandables et observables

39 Commande par retour détat Exemple introductif : Lors dune phase datterrissage, le pilote vise un point dimpact. A tout instant il lui faut évaluer : sa position (x, y, z) par rapport au point dimpact (0,0,0), sa vitesse relative (vx, vy, vz) par rapport à celle désirée au point dimpact (Vxd,0,0) Le pilote élabore une stratégie de commande fonction de ces variables, cest une stratégie de commande par retour détat.

40 Synthèse de la commande par retour détat Structure : K Hypothèses : Tous les états sont mesurés Y=X Le système est commandable + - Mise en équation : La matrice détat corrigée

41 Stratégie de commande On cherche à régler la dynamique du système i.e. stabilité, amortissement, rapidité. On rappelle que ces performances sont conditionnées par les pôles du système Les pôles sont les valeurs propres de la matrice détat, ici : Ac =A – BK A, B donnés, on règle K de sorte que les valeurs propres de Ac soit les pôles qui satisfont aux objectifs de la commande.

42 Stratégie de commande Exemple : réglage de loscillation de dérapage dun B747

43 Stratégie de commande Exemple : réglage de loscillation de dérapage dun B747 nmin min

44 Calcul de la matrice de commande K Le système corrigé Dimension de K : (m x n) Dimension de B : (n x m) Dimension de A : (n x n) On se place dans le cas dun système à 1 entrée et K à la structure suivante :

45 Méthode 1 : réglage du polynôme caractéristique de Ac=A-BK Calcul de la matrice de commande K On déduit les pôles du système corrigé daprès les performances dynamiques à atteindre. On peut alors écrire le polynôme caractéristique du système corrigé : Ce polynôme caractéristique est le polynôme caractéristique de A-BK : On est donc amené à résoudre un système de n équations à n inconnues satisfaisant aux n solutions

46 Calcul de la matrice de commande K Exemple : soit le système décrit par la représentation détat suivante. Déterminer un retour détat tel que lamplitude relative du premier dépassement soit inférieur à 5%, que le temps de réponse à 5% soit minimal est inférieur à 3s. Pôles désirés : Polynôme caractéristique à atteindre : À identifier au polynôme caractéristique corrigé : Tous calculs faits :

47 Méthode 2 : calcul de K dans la base compagne horizontale Calcul de la matrice de commande K La matrice détat du système non corrigé La matrice détat du système corrigé Le polynôme caractéristique du système non corrigéLe polynôme caractéristique du système corrigé Après identification :

48 Réglage du gain statique On insère un préfiltre H : K + - H La fonction de transfert : En régime permanent, le gain statique : e Les coefficients de la matrice H permettent de régler le gain statique désiré.

49 OBSERVATEUR DETERMINISTE

50 Observateurs déterministes Position du problème – La commande par retour détat U=e-KX nécessite quon ait accès à tous les états. Or pour des raisons économiques ou pratiques les états ne sont pas tous mesurables Reconstruire / Estimer les états que lon ne mesure pas

51 Observateurs déterministes Position du problème – Certains systèmes sont décrits par des paramètres inconnus quil est pourtant nécessaire de connaître. Or ces paramètres ne sont pas mesurables, par exemple le terme de dérive dun accéléromètre ou dun gyromètre. Estimer le paramètre que lon ne peut pas mesurer.

52 Observateurs déterministes Idée : exploiter le maximum dinformations disponibles pour estimer létat inconnu i.e. – Les mesures disponibles –Un modèle du système sous forme de représentation détat –En outre le système doit être observable (Kalman) Etat reconstruit

53 Observateurs identité On dispose dune seule mesure Y pour reconstruire tous les états X et le système est observable Lobservateur est linéaire vis-à-vis des commandes, des mesures et des états estimés : Système Lobservateur peut être vu comme un filtre linéaire :

54 Observateurs identité Les matrices S, G et L doivent assurer la convergence de létat estimé vers l état réel soit : On définit lerreur destimation : qui doit converger vers 0 lorsque t

55 Observateurs identité Expression de lerreur : Modèle de prédiction Correcteur (recale lerreur de prédiction) Equations détat de lobservateur : Quel sens attribuez-vous à (0) ? L est en fait formé de n gains

56 Choix du gain L de lobservateur Lerreur e doit converger rapidement vers 0. Les valeurs propres de A-LC doivent avoir une partie réelle négative (condition de stabilité) et leur module plus grand que celui des valeurs propres de A afin que la durée du régime transitoire de l'erreur soit plus courte que celle du régime transitoire du système. les incertitudes sur le modèle conduisent, si elles sont importantes à choisir un grand gain L pour renforcer l'influence des mesures y par rapport à la simulation. Le bruit entachant la mesure des grandeurs de sortie est amplifié par les gains L et si L est trop grand dégrade lestimation.

57 Choix du gain L de lobservateur On fixe la dynamique de létat lerreur i.e. en combien de temps et comment les erreurs convergent vers 0, Cette dynamique est définie par les pôles de lobservateur qui sont les valeurs propres de A-LC, On écrit le polynôme caractéristique désiré à partir des valeurs propres de A-LC, On lidentifie à P A-LC ( ) et on en déduit L

58 Calcul de la matrice L Exemple : soit le système décrit par la représentation détat suivante. Déterminer un retour détat tel que les erreur destimation de lobservateur convergent en un temps de réponse minimal inférieur ou égal à 0,3 s. Pôles désirés : Polynôme caractéristique à atteindre : À identifier au polynôme caractéristique corrigé :

59 Application : estimation dattitude sur SPOT4 On a besoin de connaître lattitude du satellite à 8Hz, or les capteurs dattitude délivrent une mesure à 1Hz … On dispose dun gyromètre qui délivre une mesure de vitesse à 8Hz, on intègre La vitesse angulaire mesurée q m pour produire une estimation de langle de tangage soit : La même mise sous forme dun modèle de prédiction : Or, le gyromètre délivre une mesure erronée : Le modèle de prédiction propage cette erreur … et le satellite est mal commandé !

60 Application : estimation dattitude sur SPOT4 Recalage par senseur dattitude à 1Hz Le nouveau vecteur détat : Les équations de lobservateur de la forme :

61 Commande par retour détat estimé Comme on ne dispose pas dune mesure des états, on génère la commande par retour détat au moyen des états estimés par lobservateur. Mise en équation du système complet : Théorème de séparation des états: On peut dimensionner séparement La commande et lobservateur.


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