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Régression linéaire (STT-2400) Section 3 Tests dhypothèses et intervalles de confiance Version: 28 février 2008.

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1 Régression linéaire (STT-2400) Section 3 Tests dhypothèses et intervalles de confiance Version: 28 février 2008

2 STT-2400; Régression linéaire 2 Hypothèses concernant un préviseur particulier Lobtention dinformation sur un des préviseurs peut être une considération pertinente. Formellement, on pourrait vouloir vérifier si le préviseur x i devrait être inclus dans la fonction moyenne: Ceci revient à tester:

3 STT-2400; Régression linéaire 3 Exemple: Données sur lessence La fonction moyenne est: On pourrait vouloir tester: Afin de voir si la variable « Tax » est importante, on va faire la régression: – (i) Incluant la variable « Tax » (modèle plein), – (ii) Excluant la variable « Tax » (modèle réduit).

4 STT-2400; Régression linéaire 4 Critère: réduction significative dans la somme des carrés résiduelle Notre critère repose sur la somme des carrés RSS: On regarde si le fait dinclure un préviseur de plus, « Tax », occasionne une réduction significative dans RSS. Sortie informatique SAS: – RSS MP : avec n - p - 1 = = 46 degrés de liberté; – RSS MR : avec n - p = = 47 degrés de liberté. On trouve alors: RSS MR – RSS MP = = Est-ce que cette différence est statistiquement significative?

5 STT-2400; Régression linéaire 5 Statistique dintérêt La statistique dintérêt est: Sous lhypothèse nulle: Lestimateur est lestimateur de dans le modèle plein. Dans lexemple: Lhypothèse nulle H0 est rejetée de justesse.

6 STT-2400; Régression linéaire 6 Test-F partiel Le test-F précédent est aussi appelé test-F partiel. Le test est étroitement lié aux tests-t qui sont fournis dans les sorties informatiques de SAS. Exemple: Parameter Standard Variable DF Estimate Error t Value Pr > |t| Intercept logMiles Revenu Dlic Tax On note que la valeur-p est exactement la même. En fait, on note que la statistique-t est: / = et ( ) 2 =4.337.

7 STT-2400; Régression linéaire 7 Équivalence du test-F partiel et du test-t En fait, le test-t et le test-F partiel sont équivalents dans ce cas-ci. Dans le cas dune statistique-t, on compare à une t n-p-1 et on peut montrer que si t ~ t n-p-1, alors t 2 = F ~ F 1,n-p-1. Puisque on pourrait vouloir confronter: Dans un tel cas t obs = et la valeur-p est:

8 STT-2400; Régression linéaire 8 Intervalles de confiance Dans le modèle, avec: De plus, on présume la normalité: On désire construire un intervalle de confiance pour, avec:

9 STT-2400; Régression linéaire 9 Intervalle de confiance pour un coefficient Posons, un vecteur de dimension p + 1, où le un est en position j. Ainsi: Or impliquant Donc On pose

10 STT-2400; Régression linéaire 10 Intervalle de confiance pour un coefficient (suite) Donc Or on ne connaît pas. On a vu que: De plus:

11 STT-2400; Régression linéaire 11 Intervalle de confiance pour un coefficient (suite) Sous lhypothèse ne normalité, il est possible de montrer que et sont indépendants. Ceci implique:

12 STT-2400; Régression linéaire 12 Intervalle de confiance pour un coefficient (suite et fin) Ainsi: Ainsi un intervalle de confiance pour est:


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