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Chapitre Un Introduction: critères de comparaison et choix rationnel.

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1 Chapitre Un Introduction: critères de comparaison et choix rationnel

2 Quest-ce quun projet ? u Une utilisation particulière de ressources rares u Exemples: Une autoroute, un hôpital, un barrage, un accord de libre- échange, une ratification dun traité international u Un projet: fait passer la collectivité concernée dun état social à un autre

3 Quest-ce quun état social ? u Une description complète de toutes les caractéristiques pertinentes de la situation considérée u Qui consomme quoi, où et quand (la dimension temporelle est très importante car les projets prennent souvent du temps à être mis en place) u Evaluer des projets: comparer des états sociaux sur la base dun certain critère u Chaque individu est a priori susceptible davoir son critère de comparaison des états sociaux u La difficulté est dobtenir un classement de ces états sociaux sur la base de lintérêt général (synthèse des intérêts individuels souvent opposés)

4 Relations binaires u Critère de comparaison des états sociaux tels que x et y: –Préférence stricte: x est strictement mieux que y. –Préférence faible: x est faiblement mieux que y. –indifference: x et y sont équivalents préférence. –-non comparabilité: x et y ne sont pas comparables

5 Formalisme de relations binaires u On part dune relation de préférence faible que lon note u x y signifie: x est faiblement mieux que y du point de vue dun certain critère La relation ressemble à la relation plus grand ou égal utilisée pour comparer des nombres en mathématique

6 Facteurs dune relation binaire u Facteur asymétrique: x y x y et non y x (x est strictement mieux que y du point de vue du critère) Facteur symétrique: x y x y et y x (x est équivalent à y du point de vue du critère) u Facteur non-comparable x N y non x y et non y x (x et y ne sont pas comparables sur le plan du critère

7 Distinction entre équivalence et non-comparabilité u x et y ne sont pas comparable si x nest pas faiblement mieux que y et y nest pas faiblement mieux que x u x et y sont équivalents si x est faiblement mieux que y et y est faiblement mieux que x u Considérons un exemple pour illustrer la distinction

8 Distinction entre équivalence et non-comparabilité u Supposons une communauté constituée de deux individus (1 et 2) u On sintéresse à limpact dun projet sur le revenu de ces individus (on oublie les autres caractéristiques des états sociaux) u x i : revenu de i dans létat x u Critère: (x 1,x 2 ) (y 1,y 2 ) min (x 1,x 2 ) min (y 1,y 2 ) et x 1 + x 2 y 1 + y 2 (critère dit de Lorenz) u Un projet est (faiblement) recommandable sil sil ne réduit pas le revenu du plus pauvre et ne réduit pas non-plus la somme des revenus

9 Facteur symétrique du critère de Lorenz u (x 1,x 2 ) (y 1,y 2 ) [min (x 1,x 2 ) min (y 1,y 2 ) et x 1 + x 2 y 1 + y 2 ] et [min (y 1,y 2 ) min (x 1,x 2 ) et y 1 + y 2 x 1 + x 2 ] u min (x 1,x 2 ) = min (y 1,y 2 ) et x 1 + x 2 = y 1 + y 2 u Puisque x 1 + x 2 = min (x 1,x 2 ) + max(x 1,x 2 ) = y 1 + y 2 = min (y 1,y 2 ) + max(y 1,y 2 ) et que min (x 1,x 2 ) = min (y 1,y 2 ), on doit donc avoir que (x 1,x 2 ) (y 1,y 2 ) min (x 1,x 2 ) = min (y 1,y 2 ) et max (x 1,x 2 ) = max (y 1,y 2 ) u Deux distributions de revenu sont équivalentes si elles donnent le même revenu à lindividu riche et le même revenu à lindividu pauvre.

10 Facteur symétrique du critère de Lorenz u Par exemple les distributions (1,2) et (2,1) sont équivalentes. u Les distributions (1,2) et (2,1) diffèrent pourtant en terme de lidentité du riche et du pauvre u Dans (1,2), 1 est pauvre et 2 est riche, alors que cest le contraire dans (2,1) u Le critère de Lorenz est un critère anonyme. Il sintéresse au revenu du pauvre, et à la somme des revenus, mais ne sintéresse pas à lidentité des individus sont pauvres et riches u Lanonymat est un principe éthique assez répandu

11 Facteur non-comparable du critère de Lorenz u (x 1,x 2 ) N (y 1,y 2 ) non [min (x 1,x 2 ) min (y 1,y 2 ) et x 1 + x 2 y 1 + y 2 ] et non [min (y 1,y 2 ) min (x 1,x 2 ) et y 1 + y 2 x 1 + x 2 ] u (min (x 1,x 2 ) < min (y 1,y 2 ) et y 1 + y 2 < x 1 + x 2 ou min (y 1,y 2 ) < min (x 1,x 2 ) et x 1 + x 2 < y 1 + y 2 u Deux distributions de revenu ne sont pas comparables si le pauvre dans lune est plus riche que le pauvre dans lautre et si la somme des revenus dans la distribution où le pauvre est plus riche est plus faible que dans lautre.

12 Facteur non-comparable du critère de Lorenz u Par exemple (2,4) nest pas comparable à (1,6). u Le pauvre est plus riche dans (2,4) que dans (1,6) mais la somme des revenus à distribuer dans (2,4) (6) est plus faible que la somme des revenus à distribuer dans (1,6) (7) u La pauvreté est plus faible dans (2,4) que dans (1,6) mais le revenu par tête est plus grand dans (1,6) que dans (2,4) u Le critère de Lorenz ne parvient donc pas à trancher entre 2 considérations opposées: Lefficacité (taille du gâteau) qui plaide en faveur de (1,6) et léquité (soutien aux plus mal lotis) qui plaide en faveur de (2,4)

13 Critère de Lorenz: utilisé pour comparer des distributions de revenu entre un nombre quelconque dindividus u Une distribution de revenus A domine une distribution B au sens de Lorenz si le revenu total détenu par les individus plus pauvres quun certain seuil est plus élevé en A quen B quelque soit le seuil. u Il est facile de voir comment ce critère permet de comparer des distributions en traçant ce quon appelle des courbes de Lorenz

14 Courbes de Lorenz: u On ordonne les individus dune population du plus pauvre au plus riche. u La courbe de Lorenz montre la relation entre la position de lindividu dans léchelle de revenu dune part et la somme des revenus détenus par les individus situés dans une position inférieure à la position considérée dautre part

15 Courbes de Lorenz: u Traçons par exemple les courbes de Lorenz pour les distributions (1,6) et (2,4) impliquant 2 individus considérées précédemment position Revenu Courbe de Lorenz de (1,6) Courbe de Lorenz de (2,4) Les courbes se croisent car les 2 distributions ne sont pas comparables

16 Courbes de Lorenz: u On peut les utiliser pour comparer les distributions de revenus entre pays u Illustrons cela en divisant les populations de quelques pays en déciles (i.e. en dix parties égales) basés sur le revenu (les 10% les plus pauvres, les 20% les plus pauvre, etc.) u Pays: France, E.-U., Inde, R. U., Australie,Allemagne, Italie, Espagne, Suède (1998)

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18 Ensemble des états faiblement préférés Considérons un état social z. On définit lensemble des états faiblement préférés à z, noté FP ( z ), par FP ( z ) = { x X: x z }

19 Ensemble des états faiblement dominés De manière analogue on peut définir lensemble des états faiblement dominés par z, noté FD ( z ), par FD ( z ) = { x X: z x }

20 courbes (ensemble) dindifférence On appelle courbe dindifférence associée à z lensemble I ( z ) = FP ( z ) FD ( z ); Lensemble I ( z ) contient tous les états sociaux qui sont jugés équivalents, par le critère, à z Ces états sociaux ont donc la propriété dêtre à la fois faiblement préférés à z et faiblement dominés par z.

21 Illustration (x=(3,2), Lorenz) x2x2x2x2 x1x1x1x1 45 o Min( x 1, x 2 ) 2 Min( x 1, x 2 ) = 2 = min(2,3) 5 5 x 1 + x 2 = 5

22 Illustration (x=(3,2), Lorenz) x2x2x2x2 x1x1x1x1 45 o Min( x 1, x 2 ) 2 Min( x 1, x 2 ) = 2 = min(2,3) 5 5 x 1 + x 2 = 5 x 1 + x 2 5

23 Illustration (x=(3,2), Lorenz) x2x2x2x2 x1x1x1x1 45 o Min( x 1, x 2 ) 2 et x1+ x

24 Illustration (x=(3,2), Lorenz) x2x2x2x2 x1x1x1x1 45 o FP (3,2) 5 5

25 Illustration (x=(3,2), Lorenz) x2x2x2x2 x1x1x1x1 45 o FP (3,2) 5 5 FD (3,2)

26 Illustration (x=(3,2), Lorenz) x2x2x2x2 x1x1x1x1 45 o FP (3,2) 5 5 FD (3,2) I (3,2) = {(3,2), (2,3)}

27 Propriété des relations binaires u Réflexivité: Tout état social x est toujours au moins aussi bien que lui- même, i.e. x x u Propriété naturelle sappliquant à un énoncé de type au moins aussi bien que u Satisfait par le critère de Lorenz

28 Propriétés des relations binaires u Complétude: Pour nimporte quels deux états x et y il est toujours possible de formuler lun ou lautre des deux énoncés suivants: x y ou y x. u De manière équivalente, x N y nest jamais vrai u Violé par le critère de Lorenz, nous lavons vu

29 Propriété des relations binaires Transitivité: si x est faiblement mieux que y, et y est faiblement mieux que z, alors x est faiblement mieux que z ; i.e. x y et y z x z. u Vérifiée par le critère de Lorenz

30 Un critère non-transitif u Supposons que les états sociaux soient décrits par trois caractéristique: le taux de chômage (critère 1) le taux dinflation (2), et le taux de croissance (3) u Toutes choses égales par ailleurs, on préfère un chômage et une inflation basse et une croissance élevée u Considérons le critère consistant à classer les états sociaux sur la base de leur performance pour une majorité de ces caractéristiques (règle majoritaire) u Considérons les trois états sociaux suivants

31 Un critère non-transitif z = (10, 5, 3) y = (14, 4, 6) x = (12, 3,1) y est mieux que z car y affiche une meilleure performance que z pour deux caractéristiques sur trois (inflation et croissance) x est mieux que y car x affiche une meilleure performance que y pour deux caractéristiques sur trois (chômage et inflation) La transitivité voudrait que x soit mieux que z Mais z affiche une meilleure performance que x pour deux caractéristiques sur trois (chômage et croissance)

32 Un autre critère non-transitif u Sapplique aux distributions de revenus entre 2 individus ( x 1, x 2 ) ( y 1, y 2 ) x i > y i pour au moins un individu i ou si x i = y i pour tous les individus i Facteur asymétrique: ( x 1, x 2 ) ( y 1, y 2 ) x i > y i pour un individu i et x j y j pour tous les individus j Facteur symétrique: ( x 1, x 2 ) ( y 1, y 2 ) x i > y i pour un individu i et y j > x j pour un individu j ou x i = y i pour tous les individus i u Représentons les ensembles FP (x), FD (x) et I (x) pour ce critère (dit de Pareto étendu)

33 Illustration (x=(3,2), Pareto-étendu) x2x2x2x2 x1x1x1x x 1 > 3 x 2 > 2

34 Illustration (x=(3,2), Pareto-étendu) x2x2x2x2 x1x1x1x FP (3,2)

35 Illustration (x=(3,2), Pareto-étendu) x2x2x2x2 x1x1x1x FD (3,2)

36 Illustration (x=(3,2), Pareto-étendu) x2x2x2x2 x1x1x1x I (3,2)

37 Illustration (x=(3,2), Pareto-étendu) x2x2x2x2 x1x1x1x I (3,2) Strictement mieux que (3,2)

38 Illustration (x=(3,2), Pareto-étendu) x2x2x2x2 x1x1x1x I (3,2) Strictement mieux que (3,2) Strictement moins bien que (3,2)

39 Ce critère nest pas transitif u (1,4) (3,2) [en fait (1,4) (3,2)] u (3,2) (2,5) [en fait (3,2) (2,5)] u Pourtant, contrairement à ce quexigerait, la transitivité, (2,5) (1,4) u La non-transitivité est, pourtant, moins forte ici que dans lexemple majoritaire précédent u En effet, la non-transitivité ne concerne que des jugements formulés avec le facteur symétrique. Elle ne concerne pas le facteur asymétrique

40 Une notion plus faible: la quasi- transitivité u Définition: est quasi-transitive si son facteur asymétrique est transitif u Une relation binaire transitive est quasi-transitive mais la réciproque est fausse u Par exemple, la relation binaire Pareto-étendue est quasi-transitive Supposons en effet que lon ait ( x 1, x 2 ) ( y 1, y 2 ) et ( y 1, y 2 ) ( z 1, z 2 ) Par définition, on a alors x i > y i pour un i et x j y j pour tous les individus j et y h > z h pour un h et y j z j pour tous les individus j Par transitivité de la relation définie sur des nombres, il en découle que x i > z i pour un i et x j z j pour tous les individus j et donc, que ( x 1, x 2 ) ( z 1, z 2 )

41 Une notion plus faible: la quasi- transitivité u Le critère majoritaire nest pas quasi-transitif (et donc pas transitif) u La règle de Pareto-étendue est quasi- transitive mais nest pas transitive u Mais il est une propriété encore plus faible que la quasi-transitivité: Lacyclicité

42 Lacyclicité Définition: Une relation binaire est acyclique si, pour toute liste finie détats sociaux x 1,…, x n pour lesquels x 1 x 2 … x n est vérifié, il est impossible davoir x n x 1 u La transitivité implique la quasi-transitivité qui implique elle même lacyclicité mais les implications réciproques ne sont pas vraies. u Par exemple, le critère suivant nest pas quasi-transitif (et donc pas transitif) mais est acyclique

43 Un critère acyclique non quasi-transitif u Sapplique à des distributions de revenu entre 2 individus ( x 1, x 2 ) ( y 1, y 2 ) max ( x 1, x 2 ) max ( y 1, y 2 ) ou x i y i pour i =1,2 Facteur asymétrique: ( x 1, x 2 ) ( y 1, y 2 ) max ( x 1, x 2 ) y i pour un i Facteur symétrique: ( x 1, x 2 ) ( y 1, y 2 ) max ( x 1, x 2 ) = max ( y 1, y 2 ) ou x i y i pour i = 1,2 ou y i x i pour i =1,2

44 Illustration (x=(3,2)) x2x2x2x2 x1x1x1x1 45 o Max( x 1, x 2 ) 3 Max( x 1, x 2 ) = 3 = max(3,2) ( x 1, x 2 ) (3,2)

45 Illustration (x=(3,2)) x2x2x2x2 x1x1x1x1 45 o FP (3,2)

46 Illustration (x=(3,2)) x2x2x2x2 x1x1x1x1 45 o FP (3,2)

47 Illustration (x=(3,2)) x2x2x2x2 x1x1x1x1 45 o FP (3,2)

48 Illustration (x=(3,2)) x2x2x2x2 x1x1x1x1 45 o FP (3,2) Max( x 1, x 2 ) 3

49 Illustration (x=(3,2)) x2x2x2x2 x1x1x1x1 45 o FP (3,2) Max( x 1, x 2 ) 3 ( x 1, x 2 ) (3,2)

50 Illustration (x=(3,2)) x2x2x2x2 x1x1x1x1 45 o I (3,2)

51 Illustration (x=(3,2)) x2x2x2x2 x1x1x1x1 45 o I (3,2) Strictement dominé Strictement mieux)

52 Cette relation binaire: u Viole la quasi-transitivité u En effet (3,0) (1,4) (car max (3,0) = 3 1) u De même (0,1) (3,0) (car max (0,1)=1 0 u Pourtant (0,1) (1,4) nest pas vérifiée (car 0 < 1 et 1 < 4).

53 Cette relation binaire: u Satisfait lacyclicité En effet, supposons que lon ait, pour une liste x 1,…, x n détats sociaux, x 1 x 2 … x n Par la transitivité de la relation définie sur les nombres et la définition du critère, on doit avoir max ( x 1 1, x 1 2 ) < max ( x n 1, x n 2 ) Ce qui exclut que x n x 1 soit vrai

54 Terminologie des relations binaires u On appelle quasi-ordre une relation binaire réflexive et transitive (mais pas nécessairement complète) u On appelle ordre une relation binaire réflexive, complète et transitive u Les propriétés de complétude et de transitivité (en fait dacyclicité) des critères permettent de les utiliser pour faire des choix rationels

55 Choix rationnel du point de vue dun critère u Imaginons quon ait à choisir entre un certain nombre (fini) dalternatives (états sociaux) u On voudrait choisir le, ou les, meilleurs états sociaux (projets) du point de vue du critère u Comment définir « le meilleur » ? u Les propriétés de notre critère permettent- elles une telle définition ?

56 Meilleur = « faiblement maximal » Soit un ensemble A = { w, x,…, z } détats sociaux entre lesquels lévaluateur de projets voudrait choisir u On appelle faiblement maximal dans A pour le critère tout état social (sil en existe) qui nest strictement dominé par aucun autre état social de A u Si on note m (A) cet ensemble, on le définit formellement par: m (A) = { x A: y A tels que y x } u Intuitivement, lensemble des états sociaux faiblement maximaux dans A est le résultat rationnel dun « tri » des projets. On rejette tous les projets qui conduisent à des états sociaux dominés par dautres jusquà ce quon arrive à m (A)

57 Meilleur = « fortement maximal » u De façon similaire, on appelle fortement maximal dans A pour le critère tout état social (sil en existe) qui en domine faiblement tout autre u Si on note M (A) cet ensemble, on le définit formellement par: M (A) = { x A: x y pour tout y A} u Intuitivement, un état social fortement maximal dans A est meilleur, faiblement, que tout autre état social disponible dans cet ensemble du point de vue du critère

58 fortement ou faiblement maximal ? u Un état fortement maximal dans A est également faiblement maximal u La réciproque est fausse u Par exemple, (2,3) est faiblement, mais pas fortement, maximal dans {(2,3), (1,5)} pour le critère de Lorenz u Si le critère est complet, les deux notions de maximalité coïncident. u Question: Étant donné un ensemble (fini) détats sociaux résultant dautant de projets, existe-t-il toujours des éléments faiblement (fortement) maximaux ?

59 Maximalité et acyclicité Soit un critère réflexif de classement détats sociaux dans X u Théorème: m (A) pour tout ensemble fini A détats sociaux si et seulement si est acyclique u Illustration: si est le critère « majoritaire » et si A = {(10, 5, 3), (14, 4, 6), (12,3,1)} alors m (A) =

60 Mesure numérique dun critère Une fonction U : X mesure (ou représente) numériquement un critère si et seulement si:

61 Mesure numérique dun critère Une fonction U : X mesure (ou représente) numériquement un critère si et seulement si: x x U( x ) > U( x )

62 Mesure numérique dun critère Une fonction U : X mesure (ou représente) numériquement un critère si et seulement si: x x U( x ) > U( x ) x x U ( x ) < U ( x )

63 Mesure numérique dun critère Une fonction U : X mesure (ou représente) numériquement un critère si et seulement si: x x U( x ) > U( x ) x x U ( x ) < U ( x ) x x U ( x ) = U ( x ).

64 Ordinalité de la mesure numérique (1) u Le concept de mesure est ordinal Si U ( x ) = 6 et U ( y ) = 2 létat x est strictement préféré à létat y. Mais on ne peut pas dire que x est trois fois mieux que y

65 Ordinalité de la représentation numérique (2)

66 Si U est une fonction qui représente numériquement un critère et si f : est une fonction (dune variable) monotone croissante, la fonction G : X définie, pour x X, par G ( x ) = f ( U ( x )) est une mesure numérique de tout aussi légitime que U ~ ~

67 Existence de mesures numériques u Une relation binaire qui nest pas un ordre ne peut pas être représentée numériquement par une fonction. u Une relation binaire qui est ordre peut être représentée numériquement par une fonction dutilité si le nombre détats sociaux envisageables est fini.


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