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1 Modélisation Bond Graph 4- Mécanique 4.1 Systèmes plans 4.2 Dynamique du solide – Multi-Bond graph PAG + FM.

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1 1 Modélisation Bond Graph 4- Mécanique 4.1 Systèmes plans 4.2 Dynamique du solide – Multi-Bond graph PAG + FM

2 2 Pendule de longueur variable r x,y positions du centre de masse m En introduisant les vitesses : Permet de calculer lélongation et donc leffort dans le ressort Utiles au PFD Le BG contiendra donc les trois jonctions suivantes Se : mg1 : V y I : m 1 : V x I : m 1 : V r C : 1/K ! Les vitesses Vx, Vy et Vr sont liées entre elles 4.1 Systèmes plans

3 3 Construction de la vitesse v r par une jonction 0 et transformateurs modulés ( m x, m y ) MTF : mx FxFx 1:v x x MTF : my FyFy 1:v y y 0:F r FrFr FrFr FrFr vrvr 1:v r x et y sont nécessaires au calcul de m x et m y

4 4 BG global : MTF : mx FxFx 1:v x x MTF : my FyFy 1:v y y 0:F r FrFr FrFr FrFr vrvr C : 1/K I : m Se : mg

5 5 Suspension 2D Déplacements notés Y, θ, x1 et x2. Le BG contiendra donc les jonctions suivantes R:b 1 1 : V x1 C : 1/K 1 1 : ω I : J 1 : V x2 C : 1/K 2 R:b 2 1 : V y I:MSe : Mg Vitesses : v x1, v x2, v y, ω Déplacement du centre de masse uniquement selon Y Hypothèse des petits angles Relations géométriques :

6 6 Première traduction possible des relations géométriques Transformateur multi-lien : 1 : V x1 1 : V x2 1 : V y 1 : ω TF : m ij Les flux VY et ω sont imposés Les flux V x1 et V x2 sont calculés

7 7 1 : V x1 1 : V x2 1 : V y 1 : ω TF : m ij I : J I : M Se:Mg R:b 1 R:b 2 C:1/K 1 C:1/K 2

8 8 1 : V x2 1 : V x1 1 : V y 1 : ωTF : 1/aI : J I : M Se:Mg R:b 2 R:b 1 C:1/K 2 C:1/K 1 TF : b 0 : Fx 2 0 : Fx 1 Quatre éléments sont en causalité intégrale

9 9 seconde traduction possible des relations géométriques 1 : V x2 1 : V x1 1 : V y 1 : ω TF : n1 I : J I : M Se:Mg R:b 1 C:1/K 2 C:1/K 1 TF : n2 0 : Fx 1 R:b 2 TF : m2 TF : m1 0 : Fx 2 Deux solutions possibles de causalité intégrale

10 10 Toutes deux mènent à une boucle de causalité (orientation dans le même sens sur tous les liens) : implique quune variable dépend delle- même Aucune boucle de causalité mais I;J est en causalité dérivée : il existe donc une relation algébrique entre les vitesses comme pour la boucle de causalité Difficultés de résolution Pour « casser » cette boucle impose causalité dérivée sur lélément I:J Première méthode meilleure (pas de boucle de causalité) Plusieurs BG peuvent représenter le même système physique. Pour des systèmes plus complexes, cette règle est plus délicate à appliquer, il faut «essayer»plusieurs BG. Règle : on impose les vitesses qui dépendent des éléments intertiels et on en déduit les vitesses génératrices dans les éléments R et C

11 11 Elément I multiporte Énergie stockée fonction de n variables de moment généralisé I p° p° 1 f1f1 p° p° 2 p° p° n fnfn f2f2 Illustration : suspension 2D I F x1 =p° F x1 =p° 1 V x1 =f 1 F x2 =p° F x2 =p° 2 V x2 =f 2

12 12 Elément C multiporte Énergie stockée fonction de n variables de déplacement C ee1ee1 q° 1 ee2ee2 eeneen q° n q° 2 Illustration : Condensateur à armature mobile F x Armature fixe C u q°=i F x°=v Énergie stockée fonction de deux variables de déplacement q,x avec

13 13 ELEMENTS DE MULTI-BOND GRAPH Eléments multi-porte de stockage e f C e f e f R Gyrateur multi-porte e1e1 f1f1 e2e2 f2f2 n liens m liens GY : Gij

14 14 Transformateur multi-porte e1e1 f1f1 e2e2 f2f2 n liens m liens T ij nx1 mxn mx1 1 1 TF : t n1 1 1 TF : t 11 TF : t n1 TF : mn e e 11 f 11 e 21 f 21 e e 1m f 1m e e 2n f 2n Les coefficients de la matrice T peuvent être modulés par une ou plusieurs variables

15 15 Jonctions 0 m(1) 0 m(n) n fois 0 n n nxmTABLEAU de jonction 0 Elément multi-porte 0 0 1m 0 m

16 DYNAMIQUE DU SOLIDE But :étude du mouvement dun solide dans lespace Repère des axes principaux dinertie Repère attaché au corps solide indéformable. Il passe par le centre de gravité G du solide. Dans ce repère, les produits dinertie sont nuls. La matrice dinertie est diagonale positive. Equations dEuler V: vitesse du centre de gravité par rapport à un repère fixe et exprimée dans le repère des axes principaux dinertie. ω: vitesse de rotation du centre de gravité par rapport à un repère fixe et exprimée dans le repère des axes principaux dinertie.

17 17 F: force appliquée au solide exprimée dans repère des axes principaux dinertie. Γ: couple appliqué au solide exprimé dans repère des axes principaux dinertie. Equations dEuler ( dans ce repère) Les liens matérialisent les efforts et le flux vecteurs de dimension 3. Modélisation par BG De même un signal vectoriel (ici, de dimension 3) est représenté par un double trait terminé par une flèche pleine.

18 18 I:M désigne la matrice masse diagonale, chaque terme diagonal vaut m. EJS-C signifie EulerianJunctionStructure pour les couples, et EJS-F EulerianJunctionStructure pour les forces. La «bulle» EJS-C du BG, calcule les termes non linéaires de léquation dEuler. I:M 1:V G 0:F EJS-F I:J 1:ω1:ω 0:C EJS-C EJF-F calcule les termes de léquation dEuler (Forces) contenant les produits de vitesse de rotation par vitesse de translation. Il faut donc fournir le vecteur signal ω matérialisé par la flèche pleine.

19 19 MGY 1:ω x Se:Г x I:J x K 1:ω y Se:Г y MGY 1:ω z Se:Г z K JyJy JxJx I:J y I:J z K JzJz La jonction EJS-C est représentée en BG mono-lien

20 20 1:V x Se:F x I:M x K MGY 1:V y Se:F y MGY 1:V z Se:F z K MxMx MyMy I:M y I:M z K MzMz La jonction EJS-C est représentée en BG mono-lien ωzωz ωyωy ωxωx Des forces fixes comme la gravité ne peuvent pas être appliquées directement sur ces BG car dans ces BG les vecteurs (force, vitesse, couple)sont exprimés dans le repère des axes principaux dinertie et pas la gravité.

21 21 Passage du repère de départ 1 au repère darrivée 2. Notons A12 la matrice associée au changement de base: r1v = A12.r2V CHANGEMENT DE REPERE Généralités Notons rkV un vecteur colonne V exprimé dans le repère Rk Connaissant le vecteur r2V calculé dans la base darrivée (2) cette relation calcule les coordonnées r1V du même vecteur exprimées dans la base de départ (1). A12 commence donc par lindice de la base de départ A12 est formée des cosinus directeurs des vecteurs de base du repère 2 exprimés par rapport au repère 1.

22 22 Considérons la rotation autour de laxe z et dangle ψ> 0 qui transforme le repère de départ 1 en repère 2. Exemple : x1x1 x2x2 y1y1 y2y2 ψ La matrice de passage A1 possède en première colonne les cosinus directeurs du vecteur i2 de la base 2 dans la base 1. La deuxième colonne est formée à partir des cosinus directeurs du vecteurj2. Notation : s =sinus et c =cosinus

23 23 Modélisation BG : Changement de base par rotation se représente en BG par un transformateur modulé alimenté par un signal ayant pour composantes les termes de A12. Noter la causalité Ce signal « transporte » donc une matrice à 9 composantes. r1v = A12.r2V 1: r2VMTF: A12 Signal = matrice 1: r1V Remarque :il y a conservation de puissance, car : r1V=A12.r2V r2F=A12 T.r1F r2F T. r2V = r1F T. A12. r2V = r1F T. r1V

24 24 Représentation dun solide par BG, on effectue trois étapes: Représenter les vitesses (étude cinématique). Connecter les vitesses par des liens, des jonctions et des MTF exprimer les relations entre les vitesses absolues de deux points dun même solide (indéformable) représenter la cinématique du solide Étudier la dynamique en incluant les sources deffort (inerties et forces extérieures) introduction des équations dEuler. SOLIDE INDEFORMABLE en Mouvement


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