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ASI 3 Méthodes numériques pour lingénieur Performance des solutions numériques : complexité, erreur, précision et stabilité.

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1 ASI 3 Méthodes numériques pour lingénieur Performance des solutions numériques : complexité, erreur, précision et stabilité

2 Les enjeux de lanalyse numérique Résoudre des problèmes –que lon ne sait pas résoudre autrement –« mieux » quon ne le faisait avant plus précisément, moins cher... Étique de lanalyse numérique –plus vite : complexité des algorithmes (et des problèmes) –plus précis erreur darrondi (liées à la machine) erreur dapproximation (liées à lalgorithme) –plus fiable stabilité dun algorithme –facile à programmer : comprendre pour mieux réutiliser

3 Définition : la fonction T(n) est dite « grand O » de f(n) que lon note T(n)= O (f(n)), sil existe deux constantes C et n 0 telles que Exemple : Temps de calcul Taille dun problème : n Temps de calcul : –aspects liés au programme et à la machine –aspects liés au problème –Complexité dun algorithme Complexité dun problème

4 Exemples Fusionner(x,y) n = taille(x)+taille(y) pour i=1:n …. v(i) = ….. ….. fin Résoudre(P(n)) Si n = 1,...cest fini Sinon A=Résoudre(P(1:n/2)) B=Résoudre(P(n/2+1:n)) Fusionner(A,B) pour i=1:n s = 0; pour j=i:n s =s+A(i,j)*b(i) Fin c(i)=s fin O(nlog 2 n) O(n)O(n) O(n2)O(n2) Ab=c

5 Règles de calcul Algorithmes : –; –si-alors-sinon –Pour i=1:n faire – fait –Appeler un sous programme T : Ensemble des algorithmes R –T(A;B)= T(A) + T(B) –T(si C alors A sinon B) = T(C)+max(T(A),T(B)) –T(pour i = 1,n faire A(i) fait) = somme T(A(i)) –T(appeler A) = T(A)

6 Complexité dun algorithme, complexité dun problème Complexité dun algorithme : –temps : ordre du temps de calcul –taille : place mémoire nécessaire complexité dun problème de taille n –soit A un algorithme résolvant le problème Intéressant seulement lorsque n est grand

7 Un calcul simple n = ; s = 0; for i=1:n s = s+1/3; end » s-n/3 ans = e-008 ? Représentation des nombres Précision : log([ eps realmax realmin ]) Maths de la continuité maths calculables

8 Erreur de codage (binaire) n = ; s = 0; for i=1:n s = s+1/3; end » s-n/3 ans = e-008 Représentation des nombres Précision : log([ eps realmax realmin ]) Maths de la continuité / calculables eps nest pas realmin

9 Arithmétique calculatoire (décimale) Nombre en virgule flottante (décimale pour simplifier) normalisée (normalisation IEEE, 1985) Définition : Exercice : montez que :

10 Forme normalisée x = 1, y = 2, y-x ??? z=10^30; (z+x)-(z+y) ??? Il faut faire attention à lordre suivant lequel sont effectuées des opérations Exercice : écrire un programme résolvant léquation suivante (avec 4 chiffres significatifs)

11 Erreur de troncature (indépendante de la machine) (ou tabulation) propagation des erreurs Stabilité dun algorithme Erreur dapproximation Définition : soit (n) lerreur dun algorithme après n étapes avec | (n)|= O (f(n)), la croissance de lerreur est dite polynomiale si f est un polynôme. Elle est dite exponentielle si f(n)=K n. (f est appelée le taux de convergence de lalgorithme)

12 Conclusion Complexité : pour comparer les algorithmes O (f(n)) : polynomial vs exponentiel erreur darrondi précision - ordre de grandeur erreur dapproximation algorithmique : ordre de lapproximation procédures stables propagation des erreurs

13 Exercices pratiques : complexité et erreur darrondi Quelle est la complexité des programmes de la semaine dernière ? Quel algorithme choisir ? –Vérifier que les trois programmes donnent le bon résultat –étudier la stabilité de ces algorithmes vis à vis des conditions initiales comment évaluer efficacement un polynôme ? –Le problème vient du calcul de x n

14 Un problème de base n équations et m+1 inconnues Xa=y Une nouvelle expérience (individu) Une nouvelle variable explicative

15 Illustration : système de 2 équations à 2 inconnues – une solution unique – pas de solution – une infinité de solution – solution « triviale » : x 1 = x 2 = 0 Les différents cas

16 Que se passe til si… ? On dispose dun nouvel individu on dispose dune nouvelle variable m=n mm on recopie deux individus on duplique une variable Xy a =


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