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Écart moyen et écart type. Lécart moyen et lécart type sont des mesures statistiques servant à mesurer la dispersion ou la concentration des données dune.

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Présentation au sujet: "Écart moyen et écart type. Lécart moyen et lécart type sont des mesures statistiques servant à mesurer la dispersion ou la concentration des données dune."— Transcription de la présentation:

1 Écart moyen et écart type

2 Lécart moyen et lécart type sont des mesures statistiques servant à mesurer la dispersion ou la concentration des données dune distribution statistique. Les deux expriment lécart des données par rapport à la moyenne dune distribution. Lécart moyen noté EM se calcule par: EM = x i – μ n Lécart type noté σ se calcule par: σ = (x i – μ ) 2 n Regardons comment calculer chacun.

3 Lécart moyen Prenons une distribution représentant les résultats dun groupe de 14 étudiants à un examen. La première étape consiste à déterminer la moyenne de cette distribution. μ = x i n μ signifie la moyenne; x i signifie chacune des données; signifie additionner toutes les données, cest le symbole de sommation; n signifie le nombre de données. Dans cette distribution, μ = 616 14 = 44 Individus 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Notes 41 57 41 30 24 32 90 40 42 29 64 42 47 37

4 x i – μ Individus 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Notes 41 57 41 30 24 32 90 40 42 29 64 42 47 37 La deuxième étape consiste à calculer en valeur absolue, lécart entre chacune des données et la moyenne. Exemple: x i – μ Individu 1 : 41 – 44 = - 3 = 3 3 Individu 2 : 57 – 44 = 13 = 13 13 et ainsi de suite. 3 14 20 12 46 4 2 15 20 2 3 7

5 Individus 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Notes 41 57 41 30 24 32 90 40 42 29 64 42 47 37 x i – μ 3 13 3 14 20 12 46 4 2 15 20 2 3 7 La dernière étape consiste à additionner tous ces écarts et à diviser par le nombre de données. x i – μ n ( 3 + 13 + 3 + 14 + 20 + 12 + 46 + 4 + 2 + 15 + 20 + 2 + 3 + 7 ) = 164 x i – μ : 11,71 x i – μ n 164 14 = EM = x i – μ n Lécart moyen est donc la moyenne des valeurs absolues des écarts à la moyenne. 11,71

6 x i – μ Individus 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Notes 55 60 72 64 71 58 63 66 65 62 59 60 71 67 8,8 3,8 8,2 0,2 7,2 5,8 0,8 2,2 1,2 1,8 4,8 3,8 7,2 3,2 Voici une distribution représentant les notes au deuxième examen du même groupe. μ 63,8 EM 4,2

7 Individus 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Notes 55 60 72 64 71 58 63 66 65 62 59 60 71 67 x i – μ 8,8 3,8 8,2 0,2 7,2 5,8 0,8 2,2 1,2 1,8 4,8 3,8 7,2 3,2 Individus 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Notes 41 57 41 30 24 32 90 40 42 29 64 42 47 37 x i – μ 3 13 3 14 20 12 46 4 2 15 20 2 3 7 EM 4,2 EM 11,71. Plus EM est petit et plus les données sont concentrées autour de la moyenne.

8 Lécart type Lécart type est un procédé qui ressemble à celui de lécart moyen. Au lieu de calculer lécart de chaque donnée à la moyenne en utilisant la valeur absolue, on le fait en indiquant lécart au carré. Individus 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Notes 41 57 41 30 24 32 90 40 42 29 64 42 47 37 ( x i – μ ) 2 9 169 9 196 400 144 2 116 16 4 225 400 4 9 49 Exemple: Reprenons la distribution représentant les résultats du groupe de 14 étudiants au premier examen. µ = 44 ( x i – μ ) 2 Exemple: Individu 1 : ( 41 – 44 ) 2 = ( -3 ) 2 = 9 Individu 2 : ( 57 – 44 ) 2 = ( 13 ) 2 = 169 et ainsi de suite.

9 La prochaine étape consiste à faire la somme des ces écarts au carré et à diviser par le nombre de données. Individus 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Notes 41 57 41 30 24 32 90 40 42 29 64 42 47 37 ( x i – μ ) 2 9 169 9 196 400 144 2 116 16 4 225 400 4 9 49 (x i – μ ) 2 n ( 9 + 169 + 9 + 196 + 400 + 144 + 2 116 + 16 + 4 + 225 + 400 + 4 + 9 + 49 ) = 3 750 3 750 14 = 267,86 La dernière étape consiste à extraire la racine carrée de ce total. σ = (x i – μ ) 2 n 267, 86 16,4 Remarque: En statistique, la somme des écarts au carré ( avant lextraction de la racine carrée ) sappelle la variance.

10 Individus 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Notes 41 57 41 30 24 32 90 40 42 29 64 42 47 37 ( x i – μ ) 2 9 169 9 196 400 144 2 116 16 4 225 400 4 9 49 Le fait de calculer au carré les écarts à la moyenne de chaque donnée, nous assure pour chaque calcul un résultat positif. Individu 1 : ( 41 – 44 ) 2 = ( -3 ) 2 =9 Exemple: Cependant, le résultat nest plus dans la même unité de mesure. Dans lexemple ci-contre, chaque écart ne représente par une différence de notes avec la moyenne mais une différence de notes au carré. Cest pourquoi, une fois la moyenne des écarts au carré calculée, on extrait la racine carré pour revenir à la même unité de mesure.

11 Lécart type est donc la racine carrée de la moyenne des valeurs au carré des écarts à la moyenne. ( x i – μ ) 2 Individus 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Notes 55 60 72 64 71 58 63 66 65 62 59 60 71 67 77,44 14,44 67,24 0,04 51,84 33,64 0,64 4,84 1,44 3,24 23,04 14,44 51,84 10,24 μ 63,8 σ 5,03 Reprenons la distribution représentant les résultats du groupe de 14 étudiants au deuxième examen.

12 Individus 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Notes 41 57 41 30 24 32 90 40 42 29 64 42 47 37 ( x i – μ ) 2 9 169 9 196 400 144 2 116 16 4 225 400 4 9 49 Individus 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Notes 55 60 72 64 71 58 63 66 65 62 59 60 71 67 ( x i – μ ) 2 77,44 14,44 67,24 0,04 51,84 33,64 0,64 4,84 1,44 3,24 23,04 14,44 51,84 10,24 σ 16,4 σ 5,03 Plus σ est petit et plus les données sont concentrées autour de la moyenne.

13 Remarque: Ce sont surtout des raisons de facilité de calcul qui ont amené les statisticiens et statisticiennes à utiliser lécart type. Lanalyse dune fonction du second degré est plus simple que celle dune valeur absolue.

14 Le tableau ci-dessous indique le nombre de points en saison régulière de 5 équipes de la Ligue nationale de hockey. A)Classe ces équipes par ordre croissant de leur moyenne de points en saison régulière. Équipe: μ Canadiens 91,4 Maple Leafs 93 Avalanche 98 Sénateurs 105,4 Red Wings 114,2

15 Laquelle de ces équipes a été la plus constante au cours de ces 5 saisons ? Pour répondre à cette question, il faut calculer lécart type. Équipe: σ Canadiens 8,64 Maple Leafs 6,9 Sénateurs 7,17 Red Wings 5,34 Avalanche 4 Léquipe la plus constante est lAvalanche car elle possède le plus petit écart type.


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