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Grandeurs et mesures au cycle 2 et 3 Brigitte Bonnet-Philip et Mirène Larguier Groupe départemental de mathématiques (GDM) 1.

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1 Grandeurs et mesures au cycle 2 et 3 Brigitte Bonnet-Philip et Mirène Larguier Groupe départemental de mathématiques (GDM) 1

2 Présentation de la matinée Les formateurs membres du GDM Site du GDM http ://math34.ac-montpellier.fr/ sur le site de lIA http ://www.ac-montpellier.fr/http ://math34.ac-montpellier.fr/ Programmes ; Anciens documents en lien avec les programmes de 2002 : Document daccompagnement : « grandeurs et mesures » ; Documents dapplications du cycle 2 et du cycle 3. Ressources pour la classe ; Idées pour utiliser du matériel en classe … 2

3 Grandeurs et mesures : introduction Problème : Voici trois polygones, quel est le plus grand ? 3

4 Plusieurs réponses pour ce problème du plus grand Le plus grand : Si on considère la distance maximale dun sommet à la droite (D), cest le numéro 1 ; Si on considère le périmètre du polygone, cest le numéro 3 ; Si on considère laire du polygone cest le numéro 2. 4

5 À propos de la question : quel est le plus grand ? Réponse : dis moi quelle est la caractéristique des objets dont tu parles et je te dirai quel est le plus grand ! Pour répondre à la question il faut savoir ce qui peut être comparé. Enumérer toutes les caractéristiques des objets qui permettent de les comparer pour savoir quel est le plus grand. Comment sappellent ces caractéristiques ? 5

6 Le domaine « grandeurs et mesures » des programmes de cycle 2 et 3 Les différentes grandeurs dans les programmes (et leurs synonymes) : – Durée (intervalle de temps); – Longueur (distance, largeur, hauteur, taille, distance, profondeur, altitude, envergure, …) ; – Aire (étendue, superficie) ; – Masse ; – Volume ; – Capacité (contenance) ; – Angles ; – Quantité dobjets ; – Prix ; – Vitesse. 6

7 Une grandeur particulière : la quantité déléments dun ensemble Exemple : une collection de dessins Quelle est la quantité de dessins de la collection ? il y a 19 dessins ; 19 est le cardinal de lensemble ; cest la quantité dobjets de la collection ; cest la « taille » de la collection. Ne pas demander aux élèves : « Quel est le nombre de dessins ? » mais : « Quelle est la quantité de dessins ? » ou bien « Combien y a-t-il de dessins ? » 7

8 La grandeur longueur Quels types dactivités proposez-vous à vos élèves lorsque vous travaillez dans le domaine des longueurs ? 8

9 Regard sur les programmes de 2008 et sur le document daccompagnement « grandeurs et mesures » (prog. de 2002) 9

10 La grandeur longueur Comparaison directe de longueurs : – Ranger les livres de la bibliothèque en fonction de leur hauteur ; – Ranger les élèves de la classe du plus grand au plus petit ou du plus petit au plus grand par rapport à leur taille ; – Ranger des crayons de couleur dans une boîte en fonction de leur longueur ; – Ranger des bandes de papier de même largeur en fonction de leur longueur. 10

11 La grandeur longueur Comparaison de longueurs de façon indirecte : – Comparer les périmètres de polygones tracés (avec une bande de papier, avec un compas, avec un calque, avec une ficelle) ; – Comparer les périmètres des tronc des arbres de la cour ; – Choisir un étalon de longueur pour comparer des longueurs en les référant à cet étalon ; – Fabriquer des couronnes des rois ayant la taille exacte du tour de tête pour chaque élève. Utilité de savoir reporter une longueur : – Une unité étant donnée, construire une droite graduée pour y placer les nombres entiers puis les nombres décimaux à partir du CM1. 11

12 Histoire de toise 12

13 Résolution de problème : quel est le triangle qui a le plus grand périmètre ? Consignes : 1°) Devinez par la vue quel est le triangle qui a le plus grand périmètre (ou le plus long pourtour). 2°) Trouver un moyen de prouver la réponse à la première question sans utiliser la règle graduée. 13

14 Quel est le triangle qui a le plus grand périmètre ? Une technique à favoriser : « faire rouler » lobjet tout droit

15 Comparaison directe 15

16 Comparaison indirecte Comparer les périmètres de ces figures : 16

17 Comparaison indirecte de longueurs 17

18 Compte-rendu dexpérimentation (groupe premier degré IREM) Un problème posé en cycle 3 : Quel est le plus grand verre ? 18 Comparer des objets en fonction de différentes grandeurs

19 Situation du papier peint (Capmaths, Hatier) 19

20 Confronter les grandeurs aire et périmètre Une conception erronée à ébranler : - croire que des figures qui ont le même périmètre ont aussi la même aire - ou bien croire que des figures qui ont la même aire ont le même périmètre Polygone 1Polygone 2Polygone 3 Périmètre (unité un côté de carreau) 16 Aire (unité un carreau) Nombre de côtés du polygone

21 Exemple de comparaison : deux segments sont à comparer du point de vue de leur longueur : 1°) Comparaison directe en les mettant lun sur lautre sils sont dessinés sur deux calques ; 2°) Comparaison indirecte : lun est décalqué pour que sa longueur puisse être comparée à lautre ; ou bien la longueur de lun est « prise » avec un compas pour être reportée sur lautre ; 3°) La longueur dun troisième segment est prise comme étalon, chacun des segments est comparé à cet étalon, cela permet la comparaison des deux segments. De la grandeur à sa mesure en passant par une grandeur étalon 21

22 Quelques éléments théoriques sur les grandeurs Quest-ce quune grandeur ? Une grandeur est une qualité, une caractéristique dun objet ; Elle doit permettre des comparaisons : deux objets étant donnés, on peut toujours les comparer du point de vue de cette grandeur : Cest le plus lourd, le plus volumineux, celui qui dure le plus, le plus épais, le plus profond, etc. La grandeur existe indépendamment de toute unité. 22

23 Quelques éléments théoriques sur les grandeurs Concevoir une grandeur cest déjà une démarche dabstraction : il faut séparer, abstraire la grandeur de son objet support. La grandeur avant sa mesure : – Les comparaisons dobjets relativement à une grandeur sont essentielles dans le processus dapprentissage et de conceptualisation : Soit la comparaison est directe ; Soit la comparaison est indirecte et nécessite un intermédiaire (pour les longueurs : bande de papier, ficelle, compas, etc.) 23 Ecole/Doc_Ecole/Balances1.pdf

24 Quelques éléments théoriques sur les grandeurs La première rencontre avec la notion de grandeur passe par la manipulation dobjets et lélaboration de protocoles permettant les comparaisons. Document daccompagnement des programmes de 2002 sur « grandeurs et mesures à lécole élémentaire » : « Les premières activités visent à construire chez les élèves le sens de la grandeur, indépendamment de la mesure et avant que celle-ci nintervienne. Le concept sacquiert progressivement en résolvant des problèmes de comparaison, posés à partir de situations vécues par les élèves, suivis de moments dinstitutionnalisations organisés par le maître. » 24

25 Introduction de la mesure Introduction dun étalon, dune référence, cest-à-dire dune unité. Lunité est non conventionnelle : un passage nécessaire avant lintroduction du système métrique international. 25

26 Introduction de la mesure Fabrication dune règle avec une unité non conventionnelle : la longueur dun bâtonnet 26

27 Réaliser une règle avec une unité non conventionnelle 27 Japprends les maths CE1, Retz Est-ce pareil quutiliser une règle déjà dessinée avec une unité non conventionnelle ?

28 Introduction de la mesure « La fabrication dun instrument de mesure de longueurs soulève la question de sa graduation. Pour graduer une bande de papier, il faut déterminer une origine, lui attribuer le nombre 0, reporter régulièrement une même longueur, appelée unité. Chaque report est en général matérialisé par un trait, chaque trait est affecté dun nombre entier. » (Document daccompagnement des programmes de 2002, grandeurs et mesures) 28

29 Lintroduction des mesures Document daccompagnement des programmes de 2002 sur « grandeurs et mesures à lécole élémentaire » : « Les élèves doivent donc acquérir des connaissances et des compétences spécifiques relatives à différentes mesures. La construction de ces connaissances sappuie sur un travail préalable sur les grandeurs auxquelles ces mesures sont associées. » 29

30 Introduction de la mesure Document daccompagnement des programmes de 2002 sur « grandeurs et mesures à lécole élémentaire » : « Il est souvent commode, pour comparer toutes les grandeurs dun même domaine, de les comparer à une grandeur particulière, bien choisie, dite étalon. On dit alors que létalon mesure une unité. Il devient dès lors possible dassocier à chaque grandeur un nombre, appelé sa mesure relativement à cette unité. » 30

31 Récapitulatif : une démarche pour les longueurs à suivre pour les autres grandeurs 31

32 Exemple de résolution de problème : la gestation des animaux 32

33 33

34 Résolution de problème : travail relatif à la mesure de longueurs Un groupe délèves (A) dessine un triangle sur un papier calque et rédige un message pour un autre groupe qui doit dessiner exactement le même triangle. Le message doit indiquer toutes les mesures de longueurs qui sont nécessaires mais pas plus. Le groupe qui reçoit le message (B) réalise la figure Le groupe A vérifie le dessin du groupe B avec le calque Dautres situations de ce type peuvent être travaillées pour un triangle rectangle, un triangle isocèle, un rectangle, un parallélogramme. 34


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