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JEAN-MARC GINOUX Maître de Conférences en Mathématiques Appliquées Laboratoire P.R.O.T.E.E., I.U.T. de Toulon,

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1 JEAN-MARC GINOUX Maître de Conférences en Mathématiques Appliquées Laboratoire P.R.O.T.E.E., I.U.T. de Toulon, Université du Sud, B.P , 83957, LA GARDE Cedex, France Le Chaos en quelques mots…

2 Chaos en quelques mots2 Chaos originel Le Chaos en quelques mots… Théorie du Chaos Non-linéarité Déterminisme Rétroaction Systèmes Sensibilité aux Conditions Initiales (S.C.I.) Chaos Déterministe ? Attracteur Etrange Dimension Fractale Effet Papillon

3 Chaos en quelques mots3 Le Chaos en quelques mots…

4 Chaos en quelques mots4 Le Chaos en quelques mots…

5 Chaos en quelques mots5 Le Chaos en quelques mots… Chaos : du grec ( χάος ) khaos : « état de confusion des éléments ayant précédé l'organisation du monde » « toute sorte de confusion, de désordre »

6 Chaos en quelques mots6 Le Chaos en quelques mots… Système Dynamique : Représentation mathématique dun phénomène observé en terme déquations différentielles décrivant son évolution temporelle. Système Conservatif : Conservation de lénergie (pendule non-amorti) Système Dissipatif : Non-conservation de lénergie (pendule amorti)

7 Chaos en quelques mots7 Le Chaos en quelques mots… Système Conservatif : Le pendule non-amorti

8 Chaos en quelques mots8 Le Chaos en quelques mots… Système Dissipatif : Le pendule amorti

9 Chaos en quelques mots9 Le Chaos en quelques mots… Système Dynamique Intégrable : Solution analytique Solution analytique Système Dynamique Intégrable : Pas de solution analytique Pas de solution analytique Solution numérique (ordinateur) Solution numérique (ordinateur)

10 Chaos en quelques mots10 Le Chaos en quelques mots… Equation Algébrique : représentation analytique de léquation dune courbe Résoudre une équation algébrique cest chercher le ou les points dintersection de cette courbe avec laxe horizontal dans un repère cartésien.

11 Chaos en quelques mots11 Le Chaos en quelques mots… Résoudre : x – 1 = 0

12 Chaos en quelques mots12 Le Chaos en quelques mots… Résoudre : x 2 + x – 1 = 0

13 Chaos en quelques mots13 Le Chaos en quelques mots… Résoudre : x 5 - 5x 3 + 4x = 0

14 Chaos en quelques mots14 Le Chaos en quelques mots… A toute courbe correspond-il une équation analytique ? A toute équation analytique correspond-il une courbe ? Non, comme le démontra Poincaré en 1881 il existe des « courbes définies une équation différentielle » Ainsi, les solutions, i.e., les intégrales de systèmes dynamiques sont des courbes.

15 Chaos en quelques mots15 Le Chaos en quelques mots… Système dynamique intégrable : La solution est une courbe dont on peut expliciter léquation analytique. Système dynamique non-intégrable : La solution est toujours une courbe MAIS dont on NE peut PLUS expliciter léquation analytique.

16 Chaos en quelques mots16 Le Chaos en quelques mots… Le pendule non-amorti angle vitesse

17 Chaos en quelques mots17 Le Chaos en quelques mots… Le modèle de Vito Volterra sardines thons (AB) : S et T (BC) : T et S (CA) : S et T (AC) : T et T ……. A B C

18 Chaos en quelques mots18 Le Chaos en quelques mots… Intégrable ou non Intégrable ? La présence dun terme non-linéaire est une condition nécessaire (mais pas suffisante) de non-intégrabilité dun système dynamique

19 Chaos en quelques mots19 Le Chaos en quelques mots… Déterminisme : Capacité à « prédire » le futur dun phénomène à partir dun évènement passé ou présent Déterminisme et intégrabilité Tout système dynamique intégrable est déterministe. Un système dynamique non-intégrable peut être ou ne pas être déterministe.

20 Chaos en quelques mots20 Le Chaos en quelques mots… Tout système dynamique déterministe est- il intégrable ?

21 Chaos en quelques mots21 Le Chaos en quelques mots… Poincaré et le problème des trois corps : Tout système déterministe nest pas intégrable. Tout système déterministe nest pas intégrable. La prédiction de lévolution de la trajectoire La prédiction de lévolution de la trajectoire de la Terre à long terme est impossible.

22 Chaos en quelques mots22 Le Chaos en quelques mots… Conditions dobtention du chaos : Un système dynamique déterministe déterministe non-intégrable non-intégrable trois variables trois variables termes non-linéaires termes non-linéaires peut être « chaotique ».

23 Chaos en quelques mots23 Le Chaos en quelques mots… La signature du chaos (H. Poincaré, 1908) La sensibilité aux conditions initiales « Une cause très petite, qui nous échappe, détermine un effet considérable que nous ne pouvons pas ne pas voir, et alors nous disons que cet effet est dû au hasard. (...). et alors nous disons que cet effet est dû au hasard. (...). Il peut arriver que de petites différences dans les conditions initiales en engendrent de très grandes dans les phénomènes finaux. Une petite erreur sur les premières produirait une erreur énorme sur les derniers. Il peut arriver que de petites différences dans les conditions initiales en engendrent de très grandes dans les phénomènes finaux. Une petite erreur sur les premières produirait une erreur énorme sur les derniers. La prédiction devient impossible et nous avons le phénomène fortuit. ».

24 Chaos en quelques mots24 Le Chaos en quelques mots… La signature du chaos (E. Poe, 1843) La sensibilité aux conditions initiales «... Car, relativement à la dernière partie de la supposition, on doit considérer que la plus légère variation dans les éléments des deux problèmes pourrait engendrer les plus graves erreurs de calcul, en faisant diverger absolument les deux courants dévènements ; à peu prés de la même manière quen arithmétique une erreur qui, prise individuellement, peut être inappréciable, produit à la longue, par la force accumulative de la multiplication, un résultat effroyablement distant de la vérité... »

25 Chaos en quelques mots25 Le Chaos en quelques mots… La signature du chaos (H. Poincaré, 1908) La sensibilité aux conditions initiales « Pourquoi les météorologistes ont-ils tant de peine à prédire le temps avec quelque certitude ? Pourquoi les chutes de pluie, les tempêtes elles-mêmes nous semblent-elles arriver au hasard, de sorte que bien des gens trouvent tout naturel de prier pour avoir de la pluie ou du beau temps, alors qu'ils jugeraient ridicule de demander une éclipse par une prière ? Nous voyons que les grandes perturbations se produisent généralement dans les régions où l'atmosphère est en équilibre instable. Les météorologistes voient bien que cet équilibre est instable, qu'un cyclone va naître quelque part ; mais où, ils sont hors d'état de le dire ; un dixième de degré en plus ou en moins en un point quelconque, le cyclone éclate ici et non pas là, et il étend ses ravages sur des contrées qu'il aurait épargnées. Si on avait connu ce dixième de degré, on aurait pu le savoir d'avance, mais les observations n'étaient ni assez serrées ni assez précises, et c'est pour cela que tout semble dû à l'intervention du hasard. »

26 Chaos en quelques mots26 Le Chaos en quelques mots… Leffet papillon (E. Lorenz, 1963) « Cela implique, que deux états qui ne diffèrent que par dinfimes quantités peuvent évoluer vers deux états totalement différents. Partant de là sil y la moindre erreur dans lobservation dun état au temps présent, et de telles erreurs semblent inévitables dans nimporte quel système réel, il se pourrait bien quil soit impossible de faire une prédiction valable de ce que deviendra cet état dans un futur lointain. »

27 Chaos en quelques mots27 Le Chaos en quelques mots… The Butterfly Effect Predictability: Does the Flap of a Butterflys Wings in Brazil Set off a Tornado in Texas ? Leffet papillon Prédictabilité: Le battement dailes dun papillon au Brésil peut-il déclencher une tornade au Texas ?

28 Chaos en quelques mots28 Le Chaos en quelques mots… « Attracteur étrange » Attracteur : quelle que soit la condition initiale choisie (dans un certain voisinage) la trajectoire aboutira inexorablement sur cette surface-papillon. Attracteur : quelle que soit la condition initiale choisie (dans un certain voisinage) la trajectoire aboutira inexorablement sur cette surface-papillon. Etrange : les trajectoires dessinent une surface dont la dimension nest pas entière et égale à 2 mais fractale, cest-à-dire non-entière. Etrange : les trajectoires dessinent une surface dont la dimension nest pas entière et égale à 2 mais fractale, cest-à-dire non-entière.

29 Chaos en quelques mots29 Le Chaos en quelques mots… Les fractales (B. Mandelbrot, 1975) Les fractales sont des objets de Dimension non-entière, fractale, i.e., possédant Dimension non-entière, fractale, i.e., possédant une dimension qui se situe par exemple entre une dimension qui se situe par exemple entre celle dune surface et celle dun volume. celle dune surface et celle dun volume. Auto-similaire, i.e., dont chacune des parties représente un motif qui est celui de lobjet lui-même. Auto-similaire, i.e., dont chacune des parties représente un motif qui est celui de lobjet lui-même.

30 Chaos en quelques mots30 Le Chaos en quelques mots… La biscotte fractale

31 Chaos en quelques mots31 Le Chaos en quelques mots… Lauto-similarité

32 Chaos en quelques mots32 Le Chaos en quelques mots… Le triangle de Sierpinski Le flocon de Koch

33 Chaos en quelques mots33 Le Chaos en quelques mots…

34 Chaos en quelques mots34 Le Chaos en quelques mots…

35 Chaos en quelques mots35 Le Chaos en quelques mots…

36 Chaos en quelques mots36 Le Chaos en quelques mots…

37 Chaos en quelques mots37 Le Chaos en quelques mots…

38 Chaos en quelques mots38 Le Chaos en quelques mots… Conclusion : Le terme « Chaos » fut introduit pour la première fois en 1975 dans un article intitulé : « Period three implies Chaos ». Le terme « Chaos » fut introduit pour la première fois en 1975 dans un article intitulé : « Period three implies Chaos ». Le concept « dattracteurs étranges » a été défini en 1971 par David Ruelle et Floris Takens. Le concept « dattracteurs étranges » a été défini en 1971 par David Ruelle et Floris Takens. Le premier exemple dattracteur chaotique a été découvert en 1963 par Edward Lorenz. Le premier exemple dattracteur chaotique a été découvert en 1963 par Edward Lorenz.

39 Chaos en quelques mots39 Le Chaos en quelques mots…


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