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École des Hautes Études Industrielles - Département Automatique Cours de régulation industrielle CHAPITRE 5 Analyse des systèmes linéaires types.

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1 École des Hautes Études Industrielles - Département Automatique Cours de régulation industrielle CHAPITRE 5 Analyse des systèmes linéaires types

2 École des Hautes Études Industrielles - Département Automatique Cours de régulation industrielle Analyse des systèmes linéaires types Ordre dun système : Un système est dit du n ième ordre si léquation différentielle qui régit ses paramètres est de degré n. Nous allons étudier en détail les systèmes du premier et du second ordre. Tout système complexe peut être décomposé en plusieurs « petits » systèmes.

3 École des Hautes Études Industrielles - Département Automatique Cours de régulation industrielle Analyse des systèmes linéaires types Système du premier ordre : Un four est modélisé de la manière suivante : FOUR p(t) (t) p = puissance fournie pour le four = température C = capacité calorifique du four k = coefficient de perte de chaleur par rayonnement

4 École des Hautes Études Industrielles - Département Automatique Cours de régulation industrielle Analyse des systèmes linéaires types Système du premier ordre : Bilan énergétique : C d = P dt – k dt Doù : SYSTEME DU PREMIER ORDRE

5 École des Hautes Études Industrielles - Département Automatique Cours de régulation industrielle Analyse des systèmes linéaires types Système du premier ordre : Un système du premier ordre sécrit de la façon suivante : Doù : Avec : K = gain statique T = constante de temps (en s)

6 École des Hautes Études Industrielles - Département Automatique Cours de régulation industrielle Analyse des systèmes linéaires types Réponses temporelles des systèmes du 1 er ordre : Réponse à une impulsion (réponse impulsionnelle) : En entrée, nous appliquons un dirac : E(p) = 1 On a donc : Et :

7 École des Hautes Études Industrielles - Département Automatique Cours de régulation industrielle Analyse des systèmes linéaires types Réponse à une impulsion (réponse impulsionnelle) : Tangente en (0, K/T) :

8 École des Hautes Études Industrielles - Département Automatique Cours de régulation industrielle Analyse des systèmes linéaires types Réponse à un échelon (réponse indicielle) : En entrée, nous appliquons un échelon : E(p) = 1 / p On a donc : Théorème de la valeur finale : Et :

9 École des Hautes Études Industrielles - Département Automatique Cours de régulation industrielle Analyse des systèmes linéaires types Réponse à un échelon (réponse indicielle) : Tangente en (0, 0) :

10 École des Hautes Études Industrielles - Département Automatique Cours de régulation industrielle Analyse des systèmes linéaires types Réponse à un échelon (réponse indicielle) : Aucun point dinflexion pour la réponse Pas doscillations( s(t) > 0 ) Lerreur statique est finie et nulle si K = 1 avec e(t) = 1 en entrée. Temps de montée : Le temps de montée est entre 10 et 90 % de la valeur maximale. t m = t 2 – t 1 = 2.2 T

11 École des Hautes Études Industrielles - Département Automatique Cours de régulation industrielle Analyse des systèmes linéaires types Réponse à une rampe : En entrée, nous appliquons une rampe : E(p) = 1 / p² On a donc : Tangente horizontale en t=0 Et : Asymptote :

12 École des Hautes Études Industrielles - Département Automatique Cours de régulation industrielle Analyse des systèmes linéaires types Réponse à une rampe : Calcul de lerreur de traînage (différence entre la sortie et lentrée) : doù sinon, il y a divergence

13 École des Hautes Études Industrielles - Département Automatique Cours de régulation industrielle Analyse des systèmes linéaires types Réponse à une rampe :

14 École des Hautes Études Industrielles - Département Automatique Cours de régulation industrielle Analyse des systèmes linéaires types Réponses fréquentielles des systèmes du 1 er ordre : 0 1/ K 0 0

15 École des Hautes Études Industrielles - Département Automatique Cours de régulation industrielle Analyse des systèmes linéaires types Lieu de Nyquist : Le lieu de Nyquist dun premier ordre est un demi-cercle

16 École des Hautes Études Industrielles - Département Automatique Cours de régulation industrielle Analyse des systèmes linéaires types Lieu de Bode : Pour représenter rapidement Bode, nous pouvons utiliser le diagramme asymptotique avec o = 1/, la pulsation naturelle ou pulsation propre. << O = O >> O

17 École des Hautes Études Industrielles - Département Automatique Cours de régulation industrielle Analyse des systèmes linéaires types Lieu de Bode : 20 log K

18 École des Hautes Études Industrielles - Département Automatique Cours de régulation industrielle Analyse des systèmes linéaires types Lieu de Black :

19 École des Hautes Études Industrielles - Département Automatique Cours de régulation industrielle Analyse des systèmes linéaires types Système du deuxième ordre : Un système est dit du second ordre sil est régi par une équation différentielle : Doù : que nous mettons sous la forme :

20 École des Hautes Études Industrielles - Département Automatique Cours de régulation industrielle Analyse des systèmes linéaires types Système du deuxième ordre : On définit : le gain statique : la pulsation naturelle : le facteur damortissement :

21 École des Hautes Études Industrielles - Département Automatique Cours de régulation industrielle Analyse des systèmes linéaires types Réponses temporelles des systèmes du second ordre : On appelle POLES les racines du dénominateur On appelle ZEROS les racines du numérateur On recherche la valeur des pôles de H(p) afin décrire s(t) :

22 École des Hautes Études Industrielles - Département Automatique Cours de régulation industrielle Analyse des systèmes linéaires types On obtient alors : Le signe des racines dépend donc de ² - 1 > 1: nous avons deux pôles réels p 1 et p 2 : à partir de cette écriture, nous pouvons facilement écrire la fonction sous la forme : doù :

23 École des Hautes Études Industrielles - Département Automatique Cours de régulation industrielle Analyse des systèmes linéaires types = 1: Dans ce cas, nous avons : < 1: Dans ce cas, nous avons deux pôles imaginaires :

24 École des Hautes Études Industrielles - Département Automatique Cours de régulation industrielle Analyse des systèmes linéaires types Réponse à un échelon (réponse indicielle ) : E(p) = 1/p Si > 1 : On a : En posant :Avec :et On obtient :

25 École des Hautes Études Industrielles - Département Automatique Cours de régulation industrielle Analyse des systèmes linéaires types Réponse à un échelon (réponse indicielle ) : Si > 1 : En étudiant s(t), nous obtenons : En calculant la dérivée, nous avons s(t) = 0 uniquement pour t=0. t 0 K 0 0 +

26 École des Hautes Études Industrielles - Département Automatique Cours de régulation industrielle Analyse des systèmes linéaires types Nous obtenons bien une réponse apériodique

27 École des Hautes Études Industrielles - Département Automatique Cours de régulation industrielle Analyse des systèmes linéaires types Réponse à un échelon (réponse indicielle ) : Si = 1 : Nous avons : On obtient : En calculant la dérivée, nous avons s(t) = 0 uniquement pour t=0.

28 École des Hautes Études Industrielles - Département Automatique Cours de régulation industrielle Analyse des systèmes linéaires types Nous obtenons une réponse apériodique critique

29 École des Hautes Études Industrielles - Département Automatique Cours de régulation industrielle Analyse des systèmes linéaires types Réponse à un échelon (réponse indicielle ) : Si < 1 : Après beaucoup de calculs, on obtient : Autre écriture possible :

30 École des Hautes Études Industrielles - Département Automatique Cours de régulation industrielle Analyse des systèmes linéaires types Si < 1 : La réponse indicielle est la superposition dun régime forcé (K) et dun régime transitoire oscillatoire amortie. La pulsation des oscillations se déduit des calculs précédent :

31 École des Hautes Études Industrielles - Département Automatique Cours de régulation industrielle Analyse des systèmes linéaires types Réponse à un échelon (réponse indicielle ) : Si < 1 : En recherchant des expressions approximatives de lenveloppe de la réponse, nous obtenons pour le temps de réponse : Les dépassements sont obtenus en calculant les instants où la dérivée est nulle. Ces instants sont appelés temps de pics : t pic. Le dépassement principal (première dérivée) se produit à linstant t 1 : doù :

32 École des Hautes Études Industrielles - Département Automatique Cours de régulation industrielle Analyse des systèmes linéaires types t pic D%D%

33 École des Hautes Études Industrielles - Département Automatique Cours de régulation industrielle Analyse des systèmes linéaires types Réponses fréquentielles des systèmes du second ordre : On en déduit les valeurs du gain et de la phase :

34 École des Hautes Études Industrielles - Département Automatique Cours de régulation industrielle Analyse des systèmes linéaires types Étude du Gain : En développant, nous obtenons : Nous avons donc 2 cas à envisager :

35 École des Hautes Études Industrielles - Département Automatique Cours de régulation industrielle Analyse des systèmes linéaires types Si 0 K 0 Si 0 K 0 Pulsation de résonnance Coefficient de surtension

36 École des Hautes Études Industrielles - Département Automatique Cours de régulation industrielle Analyse des systèmes linéaires types Étude de la Phase : 0 0 -

37 École des Hautes Études Industrielles - Département Automatique Cours de régulation industrielle Analyse des systèmes linéaires types Représentation fréquentielle dun système du second ordre : Lieu de Nyquist

38 École des Hautes Études Industrielles - Département Automatique Cours de régulation industrielle Analyse des systèmes linéaires types Lieu de Bode

39 École des Hautes Études Industrielles - Département Automatique Cours de régulation industrielle Analyse des systèmes linéaires types Lieu de Black

40 École des Hautes Études Industrielles - Département Automatique Cours de régulation industrielle Analyse des systèmes linéaires types Système à retard Définition : un système linéaire est dit avec retard si le signal de sortie est décalé dun temps par rapport à celui dentrée. Ce retard est provoqué par linertie thermique du processus, le jeu mécanique, le temps de propagation de linformation, etc…. La fonction de transfert est :


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