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Aristote, du concept au raisonnement Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Logique.

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1 Aristote, du concept au raisonnement Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Logique

2 Linvention de lalphabet grec a eu un impact majeur sur la construction et lorganisation du savoir. Introduction Le savoir écrit est devenu un objet détude, on peut le relire, lapprofondir, le critiquer, déceler les contradictions, les paradoxes, les incohérences. Cette dynamique de la construction du savoir se manifeste dans les paradoxes de Zénon, les démonstrations des pythagoriciens en géométrie, les propriétés des nombres obtenus par induction ainsi que dans la démonstration de lincommensurabilité de la diagonale et du côté du carré. Cependant, le développement de la logique comme science autonome devait avoir comme assise une philosophie prenant en compte lobservation du monde sensible. Cette prise en compte de la nature dans la philosophie et la construction dun savoir comme représentation mentale du réel débute avec Aristote.

3 Aristote est un philosophe grec, né à Stagire en Macédoine en 384 avant J.C. Il entre à lAcadémie de Platon en 367 et quitte celle-ci à la mort du Maître en 348. Il devient précepteur dAlexandre en 343 à la cour de Philippe II de Macédoine. Après le meurtre de son neveu Callisthène par Alexandre, il quitte la cour de celui-ci et revient à Athènes. Déçu de lévolution de lAcadémie, il fonde sa propre école, le Lycée, où il enseigne pendant 12 ans. À la mort dAlexandre en 323, un fort mouvement anti- macédonien se développe à Athènes et Aristote se réfugie à Chalcis en Eubée où il meurt lannée suivante. Éléments biographiques

4 Stagire en Macédoine 384 av. J.-C. Chalcis en Eubée 322 av. J.-C. Carte de la Grèce

5 Lœuvre dAristote en logique est regroupée sous le titre dOrganon et comprend les textes suivants : a)a)Les Catégories (théorie des catégories). b)b)De linterprétation (théorie des oppositions et des syllogismes modaux). c)c)Premiers Analytiques (théorie du syllogisme). d)d)Seconds analytiques (théorie de la démonstration). e)e)Les Topiques (théorie de la dialectique et du syllogisme éristique). Réfutation des sophistes (dernière partie des Topiques). Traités dAristote

6 Le concept est la base du système logique dAristote. Cest le résultat de la perception intellectuelle de la forme par lesprit. Concept et terme Le terme est lexpression verbale du concept, il représente lidée dans le langage. Le mot « triangle » est la représentation dans le langage du concept, ou de lidée, dune forme géométrique particulière. Les mots « homme », « animal », « raison » sont la représentation de concepts dans le langage. Les mots « nombre carré », « rang » et « nombre entier sont également la représentation de concepts dans le langage.

7 Lextension dun terme, ou dun concept, est lensemble des objets auxquels sapplique ce terme, ou désignés par ce terme. Extension et compréhension La compréhension dun terme, ou dun concept, est lensemble des propriétés communes aux objets désignés par ce terme. En augmentant le nombre de propriétés que doivent partager les objets désignés par un terme, on diminue le nombre dobjets représentés par le terme et réciproquement.

8 Jugement et proposition Le jugement est une relation formelle entre concepts. Il se traduit dans le langage par une proposition. « Lhomme est un animal raisonnable » est une proposition qui traduit une relation entre concepts. « Le nombre carré de rang n est la somme des n premiers entiers impairs » est une proposition qui traduit une relation entre concepts.

9 Proposition attributive Pour Aristote, le jugement par excellence est le jugement attributif, ou prédicatif, qui se traduit par une proposition attributive. Elle est composée : dun terme-sujet formé de tous les mots qui constituent le sujet; dune copule (normalement le verbe être) dont le rôle, comme son nom lindique, est de mettre en relation le terme-sujet et le terme-attribut; dun terme-attribut formé de tous les mots qui constituent lattribut, qualité ou propriété du terme-sujet.

10 Proposition et définition Certaines propositions jouent un rôle précieux dans la construction du savoir, ce sont les définitions. Pour Aristote, la première opération de lesprit a pour but la définition du concept. Il est hasardeux de raisonner sur des concepts qui ne sont pas clairement définis. Une bonne définition doit respecter certaines règles qui ne sont pas des recettes mais des principes qui découlent de la nature de la définition. Lorsque les règles sont connues, on est conscient des dérogations et des raisons de celles-ci. Nous présentons ces règles en les illustrant à laide de définitions dont certaines sont tirées des Éléments DEuclide dans la version de Bernard Vitrac.

11 Une définition doit indiquer ce que lobjet défini possède en commun avec dautres objets et ce quil possède en propre. Première règle de la définition Un nombre entier pair est un nombre entier de la forme n = 2k, où k est un entier. Un point est ce dont il ny a aucune partie. Euclide, Les Éléments, Livre I, définition 1 Cette définition respecte la première règle. Lobjet est un nombre entier, cest ce quil possède en commun. Ce quil possède en propre cest de pouvoir sexprimer sous la forme n = 2k, où k est un entier. Pour expliquer ce quun objet possède en propre, une définition ne doit normalement pas être purement négative. Cette définition est entièrement négative, mais dans ce cas il est difficile de faire autrement.

12 Deuxième règle de la définition Une définition doit être plus claire que ce qui est défini. Existe-t-il des lignes avec largeur? Un triangle est une figure plane limitée par trois droites qui se rencontrent deux à deux. Un triangle équilatéral est un triangle dont les trois côtés sont égaux. Une ligne est une longueur sans largeur. Euclide, Les Éléments, Livre I définition 2 Les limites dune ligne sont des points. Euclide, Les Éléments, Livre I définition 3 Dans cette définition, Euclide tient compte de la critique des paradoxes de Zénon par Aristote. Ces deux dernières sont très claires.

13 Troisième règle de la définition La définition ne doit pas être circulaire, cest-à-dire elle ne doit pas se servir de ce qui doit être défini. Elle doit être équivalente à ce qui est défini. La définition de nombre entier pair donne une équivalence du terme défini. On peut toujours dans un énoncé remplacer le terme défini par lexpression équivalente. Ainsi, si n est un entier pair, on peut toujours le remplacer par 2k, où k est un entier. La définition de ligne droite est compliquée parce quil nest pas simple de définir cet objet sans faire intervenir lidée de rectitude, de direction ou dalignement. Une ligne droite est celle qui est placée de manière égale par rapport aux points qui sont sur elle. Euclide, Les Éléments, Livre I définition 4

14 Valeur de vérité dune proposition Les propositions sont des énoncés, ou phrases simples, qui peuvent être vraies ou fausses. Elles sont composées dun sujet et dun prédicat, propriété que lénoncé attribue au sujet. Tous les hommes sont immortels (proposition fausse). Un triangle isocèle est un triangle ayant deux côtés égaux (proposition vraie). Tout diamètre dun cercle divise celui-ci en deux parties égales (proposition vraie). Aucun entier impair nest divisible par 2 (proposition vraie). Tout nombre pair est divisible par 3 (proposition fausse). 11 est un nombre premier (proposition vraie).

15 Universelle et particulière Universelle affirmative, représentée par A Tous les triangles isocèles sont rectangles (fausse). Certains triangles isocèles sont rectangles (vraie). Certains triangles isocèles ne sont pas rectangles (vraie). Universelle négative, représentée par E Particulière affirmative, représentée par I Particulière négative, représentée par O Aucun triangle isocèle nest rectangle (fausse). La quantité du jugement correspond à lextension du sujet, elle peut être universelle ou particulière. La qualité du jugement est déterminée par la copule selon quelle est affirmative ou négative. Cela donne quatre types de propositions fondamentales, représentées par des voyelles. La valeur de vérité dépend de la quantité et de la qualité.

16 Accès à la connaissance Linduction du particulier à luniversel afin de connaître les formes du réel et les relations quelles entretiennent entre elles; La déduction des formes plus générales aux formes plus particulières pour reproduire la complexité densemble de lorganisation des choses. Dans la philosophie aristotélicienne, lhomme dispose de trois outils pour accéder à la connaissance vraie : Lobservation de phénomènes particuliers; qui permet lélaboration des concepts et des termes.

17 Raisonnement et argumentation Une relation formelle entre jugements est un raisonnement qui se traduit dans la langage par une argumentation. La science est donc une adéquation entre le réel, la pensée et le langage. Cest la construction dune représentation mentale et verbale du réel, ou la transposition du réel dans la pensée et le langage. On distingue le raisonnement inductif et le raisonnement déductif. Par ces raisonnements, on construit une con- naissance qui est une représentation mentale du réel, représentation qui se traduit dans le langage par les termes, les propositions et largumentation. La recherche de cette adéquation devrait impliquer la vérification expérimentale, mais il sécoulera plusieurs siècles avant que cela devienne pratique courante.

18 Le raisonnement inductif est le raisonnement par lequel on adopte un principe général à partir de lobservation de cas particuliers. Raisonnement inductif Le cuivre est un conducteur électrique. Laluminium est un conducteur électrique. Le mercure est un conducteur électrique Tous les métaux sont des conducteurs électriques. Linduction est un mode de raisonnement important en sciences. À partir de lobservation de cas particuliers, on développe des concepts qui prennent la forme de principes généraux. Ces principes peuvent être modifiés ou rejetés à la lumière dobservations nouvelles.

19 Induction complète Pour pouvoir faire une induction complète, il faut que le nombres de cas particuliers soit fini sinon la vérification de tous les cas est impossible. Linduction complète, ou formelle, est linduction qui est faite après la vérification de tous les cas particuliers possibles. Le nombre de métaux est fini, il est donc possible de vérifier que tous les métaux sont conducteurs délectricité et tenir ainsi un raisonnement par induction complète. On remarque que la conclusion sur la conductivité des métaux est obtenue expérimentalement et non pas par un raisonnement déductif. Cependant, cette conclusion peut par la suite être utilisée dans un raisonnement déductif.

20 Induction incomplète Linduction incomplète, ou amplifiante, est celle qui est faite à partir de la vérification dun très grand nombre de cas sans quil soit possible de les vérifier tous. La proposition « tous les hommes sont mortels » est le résultat dune généralisation par induction incomplète. Personne na vérifié tous les cas et il nest pas possible de le faire. Pour tous ceux qui sont présentement vivants et ceux qui ne sont pas encore nés, la vérification nest pas encore possible. Dans un raisonnement par induction, la conclusion découle de façon plus ou moins probable des prémisses. Elle nen découle pas de façon nécessaire. Plus le nombre de cas vérifiés est important, plus la conclusion du raisonnement est plausible, mais elle nest pas une certitude.

21 Limites de linduction Dans leur étude des nombres, les pythagoriciens ont obtenu plusieurs résultats par induction incomplète. Ainsi, Le nombre carré de rang n est la somme du nombre triangulaire de même rang et du nombre triangulaire précédent. La vérification de tous les cas est impossible, la conclusion résulte dune induction incomplète. La conclusion du raisonnement par induction incomplète ne dépend seulement de la logique mais également, et surtout, de sa confirmation par les faits. Il suffit dun seul cas ne vérifiant pas le principe général pour infirmer celui-ci et conclure que le principe général est faux.

22 Piège de linduction La conclusion dun raisonnement inductif est fondée sur lobservation des cas observés. Une telle conclusion nest pas une nécessité logique et il faut être très critique lorsquon utilise ce type de raisonnement. Lêtre humain a naturellement tendance à généraliser et parfois à partir dun nombre de cas beaucoup trop restreint. Lusage inconsidéré de linduction amplifiante peut entraîner toutes sortes de préjugés. En effet, le préjugé consiste à généraliser à tout un groupe dindividus ce qui nest vrai que pour quelques individus dans le groupe.

23 Le raisonnement déductif est le raisonnement par lequel on dégage la conséquence qui découle de la prise en compte dun principe général et dun cas particulier. Le syllogisme est le modèle de raisonnement déductif étudié par Aristote. Syllogisme et raisonnement déductif Tous les hommes sont mortels, Socrate est un homme, donc Socrate est mortel. Dans un syllogisme, la dernière proposition découle logi- quement des deux autres. Dans ces deux exemples, la conclusion semble une évidence et ne nous apprend rien de nouveau. Ce nest pas toujours aussi simple. Tous les métaux sont conducteurs délectricité, le zinc est un métal, donc le zinc est conducteur délectricité.

24 Principe du tiers exclu Principes du raisonnement Une proposition est soit vrai soit fausse. Principe de non-contradiction Une proposition ne peut être à la fois vraie et fausse. Principe didentité En logique, comme en mathématiques, on reconnaît certains principes fondamentaux dans le raisonnement : Un concept est ce quil est. Il en est de même du terme qui le représente. Ce principe permet de substituer à un terme un autre terme qui lui est équivalent, dans une démonstration, par exemple.

25 Implication dune conclusion vraie Principes du raisonnement Le vrai est impliqué par tout car la vérité dun jugement se tient par elle-même et peut donc se tirer du vrai comme du faux. Implication dune prémisse fausse Le faux implique tout, autant le vrai que le faux. Du faux, on peut tirer nimporte quoi. Principe de double négation La négation dune négation équivaut à une affirmation.

26 Principe dexclusion Principes généraux de la déduction Ce qui nest vrai daucun nest pas vrai dune partie. Principe dinclusion Ce qui est vrai du tout est vrai dune partie. Deux principes spécifiques à la déduction sajoutent aux cinq principes du raisonnement. Tous les hommes sont mortels, les grecs sont des hommes, donc les grecs sont mortels. Aucun homme nest immortel, les grecs sont des hommes, donc aucun grec nest immortel.

27 La connaissance débute par lintuition dont dépend la formation de concepts dans lesprit. Ceux-ci sont le produit de lobservation et de lexpérience et se traduisent dans le langage par des mots. Conclusion Lintuition préside également à la formation de jugements, relations formelle entre concepts qui se traduisent dans le langage par des propositions, cest-à-dire des énoncés qui comportent un concept sujet, une copule et un concept attribut. Le raisonnement permet détablir des relations formelles entre jugements, cest-à-dire de nouveaux jugements à partir de jugements antérieurs dont ils sont des conséquences logiques. Dans le langage, le raisonnement se traduit par une argumentation.

28 Fin Bibliographie Devin, Keith, The language of Mathematics, New York, W.H. Freeman and compagny, 1998, 344 p. Doyon, Gilles, Talbot, Pierre, La logique du raisonnement, Théorie du syllogisme et applications, Collection philosophie, Ste-Foy, Éditions du Griffon dargile, 1985, 204 p. Doyon, Gilles, Talbot, Pierre, La logique du raisonnement, Théorie de linférence propositionnelle et applications, Collection philosophie, Ste-Foy, Éditions du Griffon dargile, 1986, 249 p. Robert Serge, La logique, son histoire, ses fondements, Collection Science et Théorie, Éditions Le préambule, 1978, 290 p. Smith, V.E. Éléments de logique, Traduit de laméricain, Montréal, Centre de psychologie et de pédagogie, 1966,296 p. Vitrac, Bernard, Euclide, Les Éléments, 4 vol. Paris, PUF, 1990, 1994, 1998,


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