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ASSERVISSEMENTS SECOND ORDRE Réponse à l'échelon unitaire en fonction du coefficient d'amortissement z.

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1 ASSERVISSEMENTS SECOND ORDRE Réponse à l'échelon unitaire en fonction du coefficient d'amortissement z

2 Exprimer H(p) pour un gain statique unitaire et une pulsation propre 0 = 1rad.s -1 en fonction de la variable z H(p) = 1 1+2zp+p2p2

3 Réseau de courbes réponses en fonction de z t(s) e(t)=1 s(t)

4 Réponse à l'échelon pour z= t(s) e(t)=1 s(t)

5 Et la sortie: Et la sortie: H(p) = 1 p 2 +1 S(p) = 1 p 1 p Si z=0 S(p) = Mise sous forme déléments simples

6 Et la sortie: Et la sortie: H(p) = 1 p 2 +1 S(p) = 1 p 1 p Si z=0 S(p) = 1 p p p cos(t) Expression en temporel : s(t) =

7 Réponse à l'échelon pour z= t(s) e(t)=1 s(t) Période des oscillations ? T 0 = 2 s

8 Réponse à l'échelon pour z= t(s) e(t)=1 s(t)

9 S(t) = 1 e sin ( (-0.25t) H(p) = 1 p p+1 Si z=0.25 la fonction de transfert devient: Et la Et la sortie: (voir la formule donnée dans le cours) sortie: (voir la formule donnée dans le cours) 1-z 2 0 a = t + (en rad) tel que cos = z 1.32 ) -z 0

10 Réponse à l'échelon pour z= t(s) e(t)=1 s(t) Premier dépassement D 1 % ? e D 1 = 0,44 =D 1 %= e(t)=1 - z 1- z 2 e D 1 %=

11 Réponse à l'échelon pour z= t(s) e(t)=1 s(t) Deuxième dépassement D 2 % ? D 2 = = 0.20

12 Réponse à l'échelon pour z= t(s) e(t)=1 s(t) Troisième dépassement D 3 % ? D 3 = =

13 Réponse à l'échelon pour z= t(s) e(t)=1 s(t) Période des oscillations ? T a = 6.48 s = TaTa

14 Réponse à l'échelon pour z= t(s) e(t)=1 s(t) Temps de réponse à 5% Tr. 0 z 3 Tr 12 s Tr exact = 10.8s 1.05

15 Réponse à l'échelon pour z= t(s) e(t)=1 s(t) 1.05

16 Si z=0.707 la fonction de transfert devient: H(p) = 1 p p+1 S(t) = 1 e sin ( t ) t Et la Et la sortie: (voir la formule donnée dans le cours) sortie: (voir la formule donnée dans le cours)

17 Réponse à l'échelon pour z= t(s) s(t) Premier dépassement D 1 % ? D 1 % = = D 1

18 Réponse à l'échelon pour z= t(s) s(t) Tr5%=3s Temps de réponse à 5% Tr. 0 = Tr = 3s

19 Réponse à l'échelon pour z= t(s) e(t)=1 s(t) 5

20 Si z=1 la fonction de transfert devient: Et la sortie: Et la sortie: H(p) = 1 (p+1) 2 S(p) = 1 p 1 p+1 s(t) = 1 (p+1) 2 1-(1+ t)e -t

21 Réponse à l'échelon pour z= t(s) e(t)=1 s(t) Tr5%=5s Temps de réponse à 5% Tr. 0 = Tr = 5s

22 Réponse à l'échelon pour z= t(s) e(t)=1 s(t)

23 Si z=1.25 la fonction de transfert devient: Et la sortie: Et la sortie: H(p) = 1 (p+2)(p+ ) 1 2 S(p) = s(t) = 3(p+ ) 1 p + 1 3(p+2) e -2t 3 - 4e - 3 t 2 1+

24 Réponse à l'échelon pour z= t(s) e(t)=1 s(t) Tr5%=6.3s 0.95 Tr = 6.3s Temps de réponse à 5% Z=1.25 Tr. 0 = 6.3 Tr = 6.3s

25 Les racines du dénominateur z = 0 z = 0 r i = -z 0 j 0 1-z 2 p = + j et p = - j p = + j et p = - j

26 REEL(poles) IMAG(poles) Le lieu des pôles p = + j p = + j p = - j z = 0 z = 0

27 Les racines du dénominateur z = 0 p = + j et p = - j z = 0 p = + j et p = - j z = 0.25 z = 0.25 p = j r i = -z 0 j 0 1-z 2

28 REEL(poles) IMAG(poles) z = 0.25 z = 0.25 j j j j Le lieu des pôles

29 z = 0 p = + j et p = - j z = 0 p = + j et p = - j z = 0.25 p = j z = 0.25 p = j z = z = Les racines du dénominateur p = (1 j) r i = -z 0 j 0 1-z 2

30 REEL(poles) IMAG(poles) z = j j j j Le lieu des pôles

31 Les racines du dénominateur z = 0 p = + j et p = - j z = 0 p = + j et p = - j z = 0.25 p = j z = 0.25 p = j z = p = (1 j) z = p = (1 j) z = 1 z = 1 racine double p = - 1 r i = -z 0 j 0 1-z 2

32 REEL(poles) IMAG(poles) z = 1 z = 1 Le lieu des pôles

33 Les racines du dénominateur z = 0 p = + j et p = - j z = 0 p = + j et p = - j z = 0.25 p = j z = 0.25 p = j z = p = (1 j) z = p = (1 j) z = 1 racine double p = - 1 z = 1 racine double p = - 1 z = 1.25 z = 1.25 p = - 2 et p = r i = -z 0 0 z 2 -1

34 REEL(poles) IMAG(poles) ,5-2 z = 1.25 Le lieu des pôles

35 REEL(poles) IMAG(poles) Z= Z=1.25 Le lieu des pôles

36 REEL(poles) IMAG(poles) Le lieu des pôles z 0 1-z 2 0 ?

37 REEL(poles) IMAG(poles) Le lieu des pôles z 0 1-z Le lieu des pôles cos = z si z = c ste = c ste Cette droite est une « isoZ »

38 REEL(poles) IMAG(poles) Z= On observe des droites « iso z » pour z<1 Le lieu des pôles

39 REEL(poles) IMAG(poles) Dans un repère orthonormé, on observe des cercles « iso 0 » cercle de rayon 0 =1 1.0 pour z1 Le lieu des pôles

40 POUR TERMINER ( Et pour information ) ANNEXE 1: La réponse à une rampe unitaire ANNEXE 1: La réponse à une rampe unitaire

41 La réponse à une rampe unitaire

42 POUR EN FINIR VRAIMENT ( En liaison avec le cours de physique ) ANNEXE 2 : La réponse harmonique ANNEXE 2 : La réponse harmonique

43 La réponse harmonique


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