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ASSERVISSEMENTS SECOND ORDRE

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Présentation au sujet: "ASSERVISSEMENTS SECOND ORDRE"— Transcription de la présentation:

1 ASSERVISSEMENTS SECOND ORDRE
Réponse à l'échelon unitaire en fonction du coefficient d'amortissement z

2 Exprimer H(p) pour un gain statique unitaire et une pulsation propre 0 = 1rad.s-1 en fonction de la variable z 1 H(p) = 1+ 2zp+ p2

3 Réseau de courbes réponses en fonction de z
s(t) 2.0 1.5 e(t)=1 1.0 0.5 t(s) 2 4 6 8 10 12 14 16

4 Réponse à l'échelon pour z=0
s(t) 2.0 1.5 e(t)=1 1.0 0.5 t(s) 2 4 6 8 10 12 14 16

5 1 H(p) = p2+1 1 1 S(p) = p p2+1 S(p) = Si z=0 Et la sortie:
. S(p) = p p2+1 Mise sous forme d’éléments simples S(p) =

6 1 H(p) = p2+1 1 1 S(p) = p p2+1 p 1 S(p) =  s(t) = 1- cos(t) p p2+1
Si z=0 H(p) = p2+1 Et la sortie: 1 1 . S(p) = p p2+1 Expression en temporel : p 1 S(p) =  s(t) = 1- cos(t) p p2+1

7 Réponse à l'échelon pour z=0
Période des oscillations ? s(t) 2.0 1.5 e(t)=1 1.0 0.5 t(s) 2 4 6 8 10 12 14 16 T0 = 2 s

8 Réponse à l'échelon pour z=0.25
2.0 s(t) 1.5 e(t)=1 1.0 0.5 t(s) 2 4 6 8 10 12 14 16

9 Si z=0.25 la fonction de transfert devient:
1 -z0 H(p) = p2+0.5p+1 Et la sortie: (voir la formule donnée dans le cours) e (-0.25t) 1 sin( t + 1.32) S(t) = a= 0 1-z2  (en rad) tel que cos = z

10 Réponse à l'échelon pour z=0.25
Premier dépassement D1% ? 2.0 s(t) - 0.25 1.5 e D1 = 0,44 = D1%= e(t)=1 1.0 - z 0.5 e D1%= 1- z2 t(s) e(t)=1 2 4 6 8 10 12 14 16

11 Réponse à l'échelon pour z=0.25
Deuxième dépassement D2% ? 2.0 s(t) 1.5 e(t)=1 1.0 D2 = 0.442= 0.20 0.5 t(s) 2 4 6 8 10 12 14 16

12 Réponse à l'échelon pour z=0.25
Troisième dépassement D3% ? 2.0 s(t) 1.5 D3 = 0.443= 0.085 e(t)=1 1.0 0.5 t(s) 2 4 6 8 10 12 14 16

13 Réponse à l'échelon pour z=0.25
Période des oscillations ? 2.0 s(t) 1.5 e(t)=1 1.0 Ta 2 0.5 Ta = 6.48 s = t(s) 2 4 6 8 10 12 14 16

14 Réponse à l'échelon pour z=0.25
Temps de réponse à 5% 2.0 s(t) z 3 Tr.0  1.5 1.05 e(t)=1 1.0  Tr  12 s 0.5 10.8s t(s) 2 4 6 8 10 12 14 16 Trexact = 10.8s

15 Réponse à l'échelon pour z=0.707
1.5 s(t) e(t)=1 1.05 1.0 0.5 t(s) 2 4 6 8 10 12 14 16

16 Si z=0.707 la fonction de transfert devient:
1 H(p) = p p+1 Et la sortie: (voir la formule donnée dans le cours) e -0.707t 1 sin(0.707 t ) S(t) = 0.707

17 Réponse à l'échelon pour z=0.707
Premier dépassement D1% ? 1.5 s(t) 0.043 1.0 - 0.707 D1 % = 0.5  D1%= 0.043 = D1 t(s) 2 4 6 8 10 12 14 16

18 Réponse à l'échelon pour z=0.707
Temps de réponse à 5% 1.5 s(t) Tr.0 = 3 1.0 0.95 Tr = 3s 0.5 Tr5%=3s t(s) 2 4 6 8 10 12 14 16

19 Réponse à l'échelon pour z=1
s(t) e(t)=1 1.0 0.5 t(s) 2 4 5 6 8 10 12 14 16

20 Si z=1 la fonction de transfert devient:
H(p) = Et la sortie: (p+1)2 1 1 1  s(t) = 1-(1+ t)e-t S(p) = p p+1 (p+1)2

21 Réponse à l'échelon pour z=1
Temps de réponse à 5% s(t) e(t)=1 Tr.0 = 1.0 5 0.95 Tr = 5s 0.5 t(s) Tr5%=5s 2 4 6 8 10 12 14 16

22 Réponse à l'échelon pour z=1.25
s(t) e(t)=1 1.0 0.5 t(s) 2 4 6 8 10 12 14 16

23 Si z=1.25 la fonction de transfert devient:
H(p) = 1 (p+2)(p+ ) Et la sortie: 2 1 p + 3(p+2) - 4 2 e-2t 4e-  s(t) = t S(p) = 1+ - 2 3(p+ ) 3 3

24 Réponse à l'échelon pour z=1.25
Temps de réponse à 5% s(t) e(t)=1 1.0 0.95 Tr = 6.3s 0.5 Tr.0 = 6.3 t(s) Tr5%=6.3s Tr = 6.3s 2 4 6 8 10 12 14 16 Z=1.25

25 Les racines du dénominateur
ri = -z0  j0 1-z2 z = 0  p = + j et p = - j

26 Le lieu des pôles z = 0 p = + j p = - j IMAG(poles) REEL(poles) 1.5
1.0 0.5 0.0 -0.5 p = - j -1.0 -1.5 -2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 REEL(poles)

27 Les racines du dénominateur
ri = -z0  j0 1-z2 z = 0  p = + j et p = - j z = 0.25  p =  j

28 Le lieu des pôles z = 0.25 j 1- 0.252 - j 1- 0.252 -0.25 IMAG(poles)
1.5 z = 0.25 1.0 j 0.5 0.0 -0.5 - j -1.0 -0.25 -1.5 -2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 REEL(poles)

29 Les racines du dénominateur
ri = -z0  j0 1-z2 z = 0  p = + j et p = - j z = 0.25  p =  j z =  p = (1  j)

30 Le lieu des pôles z = 0.707 0.707 j -0.707j -0.707 0.25 0.7
IMAG(poles) 1.5 z = 0.707 0.25 1.0 0.707 j 0.5 0.0 -0.5 -0.707j -1.0 -0.707 0.7 -1.5 -2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 REEL(poles)

31 Les racines du dénominateur
ri = -z0  j0 1-z2 z = 0  p = + j et p = - j z = 0.25  p =  j z =  p = (1  j) z = 1  racine double p = - 1

32 Le lieu des pôles z = 1 -1 0.7 0.25 0.7 0.25 IMAG(poles) REEL(poles)
1.5 0.7 0.25 1.0 0.5 z = 1 0.0 -0.5 -1.0 0.7 -1 0.25 -1.5 -2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 REEL(poles)

33 Les racines du dénominateur
ri = -z0  0 z2-1 z = 0  p = + j et p = - j z = 0.25  p =  j z =  p = (1  j) z = 1  racine double p = - 1 z = 1.25  p = - 2 et p = - 0.5

34 Le lieu des pôles z = 1.25 -2 -0,5 0.7 0.25 0.7 0.25 IMAG(poles)
1.5 0.7 0.25 1.0 z = 1.25 0.5 0.0 -0.5 -1.0 -2 0.7 -0,5 0.25 -1.5 -2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 REEL(poles)

35 Le lieu des pôles 0.7 0.25 0.8 0.6 Z=1.25 Z=1 Z=1.25 0.8 0.7 0.6 0.25
IMAG(poles) 1.5 0.7 0.25 0.8 0.6 1.0 0.5 Z=1.25 Z=1 Z=1.25 0.0 -0.5 -1.0 0.8 0.7 0.6 0.25 -1.5 -2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 REEL(poles)

36 0 Le lieu des pôles 1-z2 ? z0 IMAG(poles) REEL(poles) 1.5 1.0 0.5
0.0 0 ? 1-z2 -0.5 z0 -1.0 -1.5 -2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 REEL(poles)

37  0 0 Le lieu des pôles Le lieu des pôles cos = z
IMAG(poles) 1.5 cos = z 1.0  si z = cste   = 0.5 cste 0.0 0 0 1-z2 -0.5  Cette droite est une « isoZ » z0 -1.0 -1.5 -2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 REEL(poles)

38 Le lieu des pôles IMAG(poles) 1.5 0.7 0.25 0.8 0.6 1.0 On observe des droites « iso z » pour z<1 0.5 1.25 Z=1 1.25 0.0 -0.5 -1.0 0.8 0.7 0.6 0.25 -1.5 -2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 REEL(poles)

39 Le lieu des pôles IMAG(poles) Dans un repère orthonormé, on observe des cercles « iso 0 » 1.5 1.0 pour z1 0.5 0.0 cercle de rayon 0 =1 -0.5 -1.0 -1.5 -2.0 -1.0 0.0 REEL(poles)

40 POUR TERMINER ( Et pour information )
ANNEXE 1: La réponse à une rampe unitaire

41 La réponse à une rampe unitaire

42 POUR EN FINIR VRAIMENT ( En liaison avec le cours de physique )
ANNEXE 2 : La réponse harmonique

43 La réponse harmonique


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