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ASSERVISSEMENTS SECOND ORDRE Réponse à l'échelon unitaire en fonction du coefficient d'amortissement z.

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1 ASSERVISSEMENTS SECOND ORDRE Réponse à l'échelon unitaire en fonction du coefficient d'amortissement z

2 Exprimer H(p) pour un gain statique unitaire et une pulsation propre 0 = 1rad.s -1 en fonction de la variable z H(p) = 1 1+2zp+p2p2

3 Réseau de courbes réponses en fonction de z 02 46810121416 0 0.5 1.0 1.5 2.0 t(s) e(t)=1 s(t)

4 Réponse à l'échelon pour z=0 02 46810121416 0 0.5 1.0 1.5 2.0 t(s) e(t)=1 s(t)

5 Et la sortie: Et la sortie: H(p) = 1 p 2 +1 S(p) = 1 p 1 p 2 +1. Si z=0 S(p) = Mise sous forme déléments simples

6 Et la sortie: Et la sortie: H(p) = 1 p 2 +1 S(p) = 1 p 1 p 2 +1. Si z=0 S(p) = 1 p p p 2 +1 1- cos(t) Expression en temporel : s(t) =

7 Réponse à l'échelon pour z=0 02 46810121416 0 0.5 1.0 1.5 2.0 t(s) e(t)=1 s(t) Période des oscillations ? T 0 = 2 s

8 Réponse à l'échelon pour z=0.25 02 46810121416 0.5 1.0 1.5 2.0 0 t(s) e(t)=1 s(t)

9 S(t) = 1 e 1-0.25 2 sin ( (-0.25t) H(p) = 1 p 2 +0.5p+1 Si z=0.25 la fonction de transfert devient: Et la Et la sortie: (voir la formule donnée dans le cours) sortie: (voir la formule donnée dans le cours) 1-z 2 0 a = 1- 0.25 2 t + (en rad) tel que cos = z 1.32 ) -z 0

10 Réponse à l'échelon pour z=0.25 0 2 1416 0.5 1.0 1.5 2.0 0 t(s) e(t)=1 s(t) Premier dépassement D 1 % ? - 0.25 1- 0.25 2 e D 1 = 0,44 =D 1 %= 46810 12 e(t)=1 - z 1- z 2 e D 1 %=

11 Réponse à l'échelon pour z=0.25 02 46810121416 0.5 1.0 1.5 2.0 0 t(s) e(t)=1 s(t) Deuxième dépassement D 2 % ? D 2 = 0.44 2 = 0.20

12 Réponse à l'échelon pour z=0.25 02 46810121416 0.5 1.0 1.5 2.0 0 t(s) e(t)=1 s(t) Troisième dépassement D 3 % ? 0.085 D 3 = 0.44 3 =

13 Réponse à l'échelon pour z=0.25 02 46810121416 0.5 1.0 1.5 2.0 0 t(s) e(t)=1 s(t) Période des oscillations ? T a = 6.48 s = 1-0.25 2 2 TaTa

14 Réponse à l'échelon pour z=0.25 02 46810121416 0.5 1.0 1.5 2.0 0 t(s) e(t)=1 s(t) Temps de réponse à 5% Tr. 0 z 3 Tr 12 s Tr exact = 10.8s 1.05

15 Réponse à l'échelon pour z=0.707 02 46810121416 0 0.5 1.0 1.5 t(s) e(t)=1 s(t) 1.05

16 Si z=0.707 la fonction de transfert devient: H(p) = 1 p 2 +1.414p+1 S(t) = 1 e 0.707 sin ( 0.707 t + 0.786) -0.707t Et la Et la sortie: (voir la formule donnée dans le cours) sortie: (voir la formule donnée dans le cours)

17 Réponse à l'échelon pour z=0.707 02 46810121416 0 0.5 1.0 1.5 t(s) s(t) Premier dépassement D 1 % ? - 0.707 1- 0.707 2 D 1 % = 0.043 = 0.043 D 1

18 Réponse à l'échelon pour z=0.707 02 46810121416 0 0.5 1.0 1.5 t(s) s(t) Tr5%=3s Temps de réponse à 5% Tr. 0 = 3 0.95 Tr = 3s

19 Réponse à l'échelon pour z=1 02 46810121416 0 0.5 1.0 t(s) e(t)=1 s(t) 5

20 Si z=1 la fonction de transfert devient: Et la sortie: Et la sortie: H(p) = 1 (p+1) 2 S(p) = 1 p 1 p+1 s(t) = 1 (p+1) 2 1-(1+ t)e -t

21 Réponse à l'échelon pour z=1 02 46810121416 0 0.5 1.0 t(s) e(t)=1 s(t) Tr5%=5s Temps de réponse à 5% Tr. 0 = 5 0.95 Tr = 5s

22 Réponse à l'échelon pour z=1.25 02 46810121416 0 0.5 1.0 t(s) e(t)=1 s(t)

23 Si z=1.25 la fonction de transfert devient: Et la sortie: Et la sortie: H(p) = 1 (p+2)(p+ ) 1 2 S(p) = s(t) = 3(p+ ) 1 p + 1 3(p+2) - 4 1 2 e -2t 3 - 4e - 3 t 2 1+

24 Réponse à l'échelon pour z=1.25 02 46810121416 0 0.5 1.0 t(s) e(t)=1 s(t) Tr5%=6.3s 0.95 Tr = 6.3s Temps de réponse à 5% Z=1.25 Tr. 0 = 6.3 Tr = 6.3s

25 Les racines du dénominateur z = 0 z = 0 r i = -z 0 j 0 1-z 2 p = + j et p = - j p = + j et p = - j

26 -2.0-1.8-1.6-1.4-1.2-0.8-0.6-0.4-0.20.0 -1.5 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 REEL(poles) IMAG(poles) Le lieu des pôles p = + j p = + j p = - j z = 0 z = 0

27 Les racines du dénominateur z = 0 p = + j et p = - j z = 0 p = + j et p = - j z = 0.25 z = 0.25 p = -0.25 j 1- 0.25 2 r i = -z 0 j 0 1-z 2

28 -2.0-1.8-1.6-1.4-1.2-0.8-0.6-0.4-0.20.0 -1.5 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 REEL(poles) IMAG(poles) z = 0.25 z = 0.25 j 1- 0.25 2 j 1- 0.25 2 - j 1- 0.25 2 - j 1- 0.25 2 -0.25 Le lieu des pôles

29 z = 0 p = + j et p = - j z = 0 p = + j et p = - j z = 0.25 p = -0.25 j 1- 0.25 2 z = 0.25 p = -0.25 j 1- 0.25 2 z = 0.707 z = 0.707 Les racines du dénominateur p = -0.707 (1 j) r i = -z 0 j 0 1-z 2

30 -2.0-1.8-1.6-1.4-1.2-0.8-0.6-0.4-0.20.0 -1.5 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 REEL(poles) IMAG(poles) 0.25 0.7 z = 0.707 0.707 j 0.707 j -0.707j -0.707j -0.707 Le lieu des pôles

31 Les racines du dénominateur z = 0 p = + j et p = - j z = 0 p = + j et p = - j z = 0.25 p = -0.25 j 1- 0.25 2 z = 0.25 p = -0.25 j 1- 0.25 2 z = 0.707 p = -0.707 (1 j) z = 0.707 p = -0.707 (1 j) z = 1 z = 1 racine double p = - 1 r i = -z 0 j 0 1-z 2

32 -2.0-1.8-1.6-1.4-1.2-0.8-0.6-0.4-0.20.0 -1.5 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 REEL(poles) IMAG(poles) 0.7 0.25 0.7 0.25 z = 1 z = 1 Le lieu des pôles

33 Les racines du dénominateur z = 0 p = + j et p = - j z = 0 p = + j et p = - j z = 0.25 p = -0.25 j 1- 0.25 2 z = 0.25 p = -0.25 j 1- 0.25 2 z = 0.707 p = -0.707 (1 j) z = 0.707 p = -0.707 (1 j) z = 1 racine double p = - 1 z = 1 racine double p = - 1 z = 1.25 z = 1.25 p = - 2 et p = - 0.5 r i = -z 0 0 z 2 -1

34 -2.0-1.8-1.6-1.4-1.2-0.8-0.6-0.4-0.20.0 -1.5 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 REEL(poles) IMAG(poles) 0.7 0.25 0.7 0.25 -0,5-2 z = 1.25 Le lieu des pôles

35 -2.0-1.8-1.6-1.4-1.2-0.8-0.6-0.4-0.20.0 -1.5 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 REEL(poles) IMAG(poles) 0.8 0.7 0.6 0.25 Z=1 0.8 0.7 0.6 0.25 Z=1.25 Le lieu des pôles

36 -2.0-1.8-1.6-1.4-1.2-0.8-0.6-0.4-0.20.0 -1.5 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 REEL(poles) IMAG(poles) Le lieu des pôles z 0 1-z 2 0 ?

37 -2.0-1.8-1.6-1.4-1.2-0.8-0.6-0.4-0.20.0 -1.5 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 REEL(poles) IMAG(poles) Le lieu des pôles z 0 1-z 2 0 0 Le lieu des pôles cos = z si z = c ste = c ste Cette droite est une « isoZ »

38 -2.0-1.8-1.6-1.4-1.2-0.8-0.6-0.4-0.20.0 -1.5 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 REEL(poles) IMAG(poles) 0.8 0.7 0.6 0.25 Z=1 0.8 0.7 0.6 0.25 1.25 On observe des droites « iso z » pour z<1 Le lieu des pôles

39 -2.00.0 -1.5 -0.5 0.0 0.5 1.5 REEL(poles) IMAG(poles) Dans un repère orthonormé, on observe des cercles « iso 0 » cercle de rayon 0 =1 1.0 pour z1 Le lieu des pôles

40 POUR TERMINER ( Et pour information ) ANNEXE 1: La réponse à une rampe unitaire ANNEXE 1: La réponse à une rampe unitaire

41 La réponse à une rampe unitaire

42 POUR EN FINIR VRAIMENT ( En liaison avec le cours de physique ) ANNEXE 2 : La réponse harmonique ANNEXE 2 : La réponse harmonique

43 La réponse harmonique


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