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1 Recherche du plus long chemin dans un réseau. Outil de gestion de projet : algorithme de Ford pour la recherche dun chemin critique et le calcul de la.

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1 1 Recherche du plus long chemin dans un réseau. Outil de gestion de projet : algorithme de Ford pour la recherche dun chemin critique et le calcul de la durée minimale dun projet. Méthodes permettant de comprimer la durée dun projet au moindre coût. La méthode PERT : durée aléatoire des tâches. Le contrôle des coûts vs le respect des délais imposés. Exemples.

2 2 Introduction Linstinct et le geste impulsif ont fréquemment cédé le pas à laction réfléchie et au geste planifié. La planification ne date pas de la vie moderne : la construction de lArche de Noé : réussite. lédification de la tour de Babel : non menée à terme. Pour les projets complexes exigeant de grands moyens, faisant intervenir un grand nombre de personnes, et dont le caractère est non répétitif, on doit penser à : - préciser l'objectif; - déterminer les opérations ou les tâches nécessaires à réaliser; - estimer la durée et les ressources exigées par chaque tâche; - estimer les risques et prévoir les marges nécessaires pour les pallier; - calculer la durée totale et le coût total du projet; - dresser un calendrier d'échelonnement des tâches.

3 3 1 er problème On sintéresse à la recherche du plus long chemin dans un réseau. chemin critique Voici un exemple dapplication : Une compagnie désire mettre en exploitation un nouveau gisement minier. Les opérations suivantes doivent être réalisées : a.Obtention dun permis dexploitation180 b.Construction dune piste entre route et site120 c.Installation de deux sondeuses 7 d.Érection de baraques provisoires 21 e.Asphaltage de la piste 30 f.Adduction deau 60 Durée (jours) Dans la planification dun projet impliquant plusieurs tâches, exigeant chacune un temps dexécution et reliées entre elles selon un ordre de précédence, on cherche le temps minimum dachèvement du projet.

4 4 g.Campagne de sondages210 h.Fonçage et équipement des puits120 i.Installation au fond du matériel dexploitation 42 j.Construction de logements pour le personnel 150 k.Traçage et aménagement du fond 330 l.Construction dune laverie 210 Relations dantériorité : b doit être précédée de a et suivie des opérations c, d, e, f. c et d précèdent g. e, f et g précèdent h et j. h et j précèdent i, k et l. Durée (jours)

5 5 Construction dun graphe simple appelé diagramme PERT Les arcs seront les opérations et les sommets seront des événements (lachèvement de certaines tâches) liés à ces opérations. D F a, 180 b, 120 c, 7 d, 21 e, 30 f, 60 g, 210 h, 120 j, 150 i, 42 l, 210 k, 330 D début des opérations F fin des opérations Note : Ce diagramme nest pas un graphe simple à cause des opérations parallèles c, d et e,f et i, k, l resp. Graphe simple : graphe tel quil ny a jamais plus dun arc allant dun sommet à un autre.

6 6 Pourquoi un graphe simple ? Les algorithmes connus pour trouver un chemin critique nécessitent un graphe simple. Comment convertir ce graphe en un graphe simple ? Prenons par exemple les opérations parallèles c et d. Le moyen le plus simple est de créer un événement fictif et une opération fictive de durée nulle comme ceci : c d e f g 0 n opérations parallèles nécessitent n - 1 sommets fictifs et n-1 opérations fictives de durée nulle.

7 a, 180 b, 120 c, 7 d, 21 e, 30 f, 60 g, 210 h, 120 j, 150 i, 42 l, 210 k, 330 On obtient donc pour le graphe au complet le diagramme PERT suivant :

8 8 Prise en compte de différents types dopérations : Opérations composées Soit une opération a, constituée des 3 opérations élémentaires successives a 1, a 2 et a 3 de telle sorte que lopération c suive a 1, d suive a 2 et b suive a 3. Sous forme graphique, on obtient : a1a1 a2a2 a3a3 b c d Cela peut arriver lorsquon demande que c ne commence quune fois le premier tiers de a effectué et que d ne commence quune fois les deux premiers tiers de a effectués. De plus, a précède b. Lopération a est divisée en 3 sous-opérations de durée égale au tiers de celle de a.

9 9 Opérations dépendantes et indépendantes Soit, a b c d c et d sont des opérations dépendantes de a et de b. Effectuons le changement suivant :c doit succéder à a, d est dépendante de a et b. Il faut créer un état fictif et une opération fictive de durée nulle : a b c d

10 10 Limites de démarrage : 1 er cas Soit le graphe partiel suivant, D a b c Suite à des imprévus, lopération c ne pourra commencer avant t 0 unités de temps écoulées depuis le début des travaux. Il faudra donc créer une opération fictive de durée t 0 allant du début des travaux au début de c. Puisque b nest pas astreinte à cette contrainte de démarrage, on doit introduire un sommet fictif libérant b de cette limite de démarrage tout en tenant compte du fait que b et c suivent a. Finalement, on doit prévoir une opération fictive de durée nulle indiquant la dépendance de c envers a.

11 11 D a b c 0 t0t0 Limites de démarrage : 2 ième cas Pour quune tâche i puisse débuter, il est nécessaire que la durée écoulée depuis le début dune autre tâche k soit au moins égale à une durée donnée t ki. On doit ajouter larc (k, i) représentant une opération fictive de durée t ki.

12 12 Problème de la recherche du chemin critique (les tâches qui sy trouvent sont critiques pour la durée du projet) Il sagit de trouver la date de réalisation de la fin des travaux i.e. la date la plus proche qui permette que toutes les opérations soient réalisées et la séquence de tâches qui réalise cette durée. Cela consiste à déterminer le chemin le plus défavorable du début à la fin des travaux i.e. le chemin de longueur maximale Exemple : La fin des travaux aura lieu à la date 9. Lopération (1, 3) aura 2 unités de temps supplémentaires pour être réalisée. Convention : Le temps de début des travaux sera toujours le temps 0.

13 13 Résolution du problème de la recherche du chemin critique Un diagramme PERT est connexe et sans circuit. Autrement, nous serions en présence de plusieurs projets. Une opération ne peut se succéder à elle-même. Considérons une légère adaptation de lalgorithme de Bellman-Kalaba sur le diagramme précédent. Soitt i,j la durée de lopération qui va du sommet i à j, t i le temps de réalisation au plus tôt ou temps attendu, (par convention, t 1 = 0)

14 a, 180 b, 120 c, 7 d, 21 e, 30 f, 60 g, 210 h, 120 j, 150 i, 42 l, 210 k, t 2 = t 1 + t 1,2 = 180 t 3 = t 2 + t 2,3 = 300 t 4 = t 3 + t 3,4 = 300 Pour le sommet 5, il y a 2 possibilités : t 3 + t 3,5 = 321 ou t 4 + t 4,5 = 307. Vu quon cherche le chemin le plus long, on prendra : t 5 = 321.

15 15 t 6 = t 3 + t 3,6 = 300 t 7 = max {t 3 + t 3,7, t 6 + t 6,7, t 5 + t 5,7 } = 531. Et ainsi de suite, jusquà t 12 = a, 180 b, 120 c, 7 d, 21 e, 30 f, 60 g, 210 h, 120 j, 150 i, 42 l, 210 k, temps de réalisation au plus tôt

16 16 Notion de chemin critique Un ensemble dopérations dites critiques en ce sens quon ne peut tolérer aucun retard dans leur mise en exécution et dans leur exécution sans retarder le temps t n de la fin des travaux (ici t 12 = 1011) a, 180 b, 120 c, 7 d, 21 e, 30 f, 60 g, 210 h, 120 j, 150 i, 42 l, 210 k, Ex. : (1, 2, 3, 5, 7, 8, 9, 12) Le chemin critique est indiqué en traits doubles.

17 17 Temps de réalisation au plus tard ou temps limite Les opérations non critiques peuvent sans doute être retardées dans leur mise à exécution sans retarder le temps final des travaux. Soit t i le temps limite de réalisation à laquelle peut se faire lévénement i sans retarder le temps t n de la fin des travaux. Note :t n = t n t i = t i i dans le chemin critique. et Comment obtenir les temps de réalisation au plus tard : t i = t n -le temps minimal nécessaire pour réaliser les opérations entre i et n t i = t n -somme des temps opératoires sur le chemin le plus long de i à n. Cependant, il est possible de les obtenir très rapidement.

18 a, 180 b, 120 c, 7 d, 21 e, 30 f, 60 g, 210 h, 120 j, 150 i, 42 l, 210 k, temps de réalisation au plus tard t 10 = t 12 – t 10,12 = 969t 11 = t 12 – t 11,12 = 801 t 9 = temps minimal nécessaire = min{ t 12 – t 9,12, t 11 – t 9,11, t 10 – t 9,10 } = min{681,801,969} = 681 etc.

19 19 Traçons maintenant le chemin critique à partir des t i et des t i : Le sommet i fait partie du chemin critique si t i = t i. Si les sommets i et j font partie du chemin critique, lopération de i à j sera critique si t j - t i,j = t i.

20 20 Intervalle de flottement dun événement i [t i, t i ]est lintervalle de temps où peut se réaliser lévénement i sans retarder le temps de fin des travaux. Note :Les événements du chemin critique auront un intervalle de flottement réduit à un seul point. Si lintervalle de flottement de lévénement k est réduit à un seul point, lévénement k appartiendra à un des chemins critiques (sil y en a plusieurs). Exemple : [300, 314] [300, 501] [681, 962] 11 [681, 801]

21 21 Marge libre dune opération de i à j Le délai qui peut être apporté à la mise à exécution de lopération (i, j) sans pour autant retarder le temps de réalisation au plus tôt de lévénement j. Il sagit de :t j - t i,j - t i. Exemple : (1,2) (2,3) (3,4) (3,5) (3,6) (3,7) (4,5) (5,7) (6,7) (7,8) (7,9) (9,10) (9,11) (9,12) (10,12) (11,12) Note : Une opération critique entraîne une marge libre nulle. Linverse nest pas vrai. Ex. : larc (3,4) nest pas une opération critique.

22 22 La marge libre est un concept local qui ne tient pas compte dune suite dopérations non critiques. Marge totale dune opération de i à j Or, ce qui nous importe le plus en général est de ne pas retarder la fin des travaux même si on doit faire des réaménagements sur quelques opérations non critiques. Exemple : On peut retarder le début de lopération (3, 4) de 14 unités sans retarder la fin des travaux. La marge totale indique le délai maximal qui peut sécouler avant le début de lopération (i, j) sans retarder la fin des travaux mais en retardant peut-être celui de j sans dépasser son temps de réalisation au plus tard : t j - t i,j - t i.

23 23 Exemple : (1,2) (2,3) (3,4) (3,5) (3,6) (3,7) (4,5) (5,7) (6,7) (7,8) (7,9) (9,10) (9,11) (9,12) (10,12) (11,12)

24 24 Diagramme à barres de de Gantt Construit à laide de la marge totale et du diagramme PERT, il nous indique les opérations critiques en 1 ière rangée avec léchéancier à respecter. Sous les opérations critiques se placent les opérations non critiques dans les cases où elles peuvent varier librement. Exemple : Lopération c précède lopération d, toutes 2 non critiques; c peut varier de 10 à 20 étant dune durée de 3; d peut varier de 17 à 24 étant dune durée de c 3 d

25 25 Diagramme de Gantt tiré de notre exemple : ab 300 dgjk c 7 f 60 e 30 h 120i 42 l 210 Cela indique bien visuellement ce quon peut faire sans toucher au temps de fin des travaux. Note : Le diagramme devrait être tracé à léchelle.

26 26 Algorithme de Ford pour calculer les temps au plus tôt t i. Étape 0. Poser t i = 0 i = 1, 2, …, n. Poser i = 1, j = 2. Étape 1. Si larc (i, j) nexiste pas dans le diagramme alorsaller à létape 4. Étape 2. Si t ij > t j - t i, faire t j = t ij + t i et aller à létape 3. sinon aller à létape 4. Étape 3. Si i > j, faire i = j, j = 2 et aller à létape 5 sinon aller à létape 4. Étape 4. Faire j = j + 1. Étape 5. Si j n aller à létape 1 sinon faire j = 2, i = i +1 et aller à létape 6. Étape 6. Si i n aller à létape 1 sinon Fin.

27 27 Algorithme de Ford pour calculer les temps au plus tard t i. Il sagit dutiliser lalgorithme de Ford précédent oùchaque sommet i a été remplacé par n – i + 1, chaque arc (i, j) du diagramme est remplacé par (j, i). Les résultats obtenus sont placés sur le diagramme original après avoir effectué le calcul suivant : t i = t n -somme des temps opératoires sur le chemin le plus long de i à n.

28 28 BREF Les notions précédentes ont une grande importance : Létablissement du diagramme PERT permet de préciser le déroulement des opérations avec les interactions des différentes tâches. La mise en évidence dun chemin critique détermine les opérations conditionnant la réalisation du projet. Elles devront être surveillées attentivement par le gestionnaire du projet. Les opérations non critiques sont moins rigides et peuvent tolérer certains retards quant à leur temps de mise en œuvre (intervalles de flottement, marges libre et totale).

29 29 En pratique, les durées t ij des opérations sont mal connues et incertaines. Deux cas se présentent : A On connaît les distributions des temps dopérations à partir de données statistiques obtenues dans la réalisation de projets semblables. Déterminer le temps moyen et la variance de chaque opération :t ij et 2 ij. Ce temps moyen de chaque opération servira comme durée de lopération. La variance interviendra plus tard dans lestimation du temps de fin des travaux.

30 30 B On suppose que les temps dopération sont distribués selon une loi Bêta pour des raisons de commodité de calculs. T ~ Bêta(a, b) T est une v.a. comprise dans lintervalle [a, b] où a et b sont des constantes positives. Laspect de la distribution Bêta en fonction des paramètres a, b et M est le suivant : a bM M désigne la valeur de T où sa fonction de densité est maximale.

31 31 Les paramètres de cette fonction de densité sont choisis de telle façon t ij = (a ij + 4M ij + b ij ) / 6 2 ij = (b ij - a ij ) 2 / 36. Pour déterminer les valeurs de t ij et 2 ij, il suffit de poser les questions suivantes aux spécialistes responsables de chaque opération : À combien estimez-vous la durée minimale de lopération (i, j) ? À combien estimez-vous la durée maximale de lopération (i, j) ? Quelle est la durée la plus probable de lopération (i, j) ? Note : Ces informations fort subjectives doivent être utilisées avec prudence.

32 32 Exemple : Les opérations fictives demeurent avec des durées nulles.

33 a, 180 b, 135 c, 6 d, 20 e, 28 f, 61 g, 205 h, 160 j, 140 i, 50 l, 215 k, Le chemin critique est indiqué en traits doubles. Le chemin critique est 1, 2, 3, 5, 7, 9, 12 et son espérance mathématique est égale à la somme des espérances des opérations qui le composent i.e. E(t 12 ) = 1015.

34 34 Si les opérations sont en nombre suffisant et les temps opératoires sont indépendants, le théorème central-limite sapplique.

35 35 Sous ces hypothèses, on obtient que : 2 t 12 = 2 1, , , , , ,12 = Calcul de la variance des dates au plus tôt des autres événements : Il sagit de considérer le chemin le plus long de 1 à 8 et, Ex. : E(t 8 ) = 540 = somme des temps moyens sur le chemin le plus long de 1 à 8. 2 t 8 = 2 1, , , , ,8 = Calcul de la variance des dates au plus tard des autres événements : Il sagit de considérer le chemin le plus long de 4 à 12 et, Ex. : E(t 4 ) = 329 = somme des temps moyens sur le chemin le plus long de 4 à t 4 = 2 4, , , ,12 =

36 36 Importance du calcul des variances pour la réalisation dun projet Supposons que le contracteur qui réalise les travaux sest engagé à les terminer avant 1100 jours et quaprès, il ait à payer des pénalités par jour de retard. Le contracteur est intéressé à connaître la probabilité quil respecte son engagement. t 12 – 1015 N(0, 1) Par conséquent, P(t ) = P( t 12 – ) 99% ce qui laisse une marge de manœuvre suffisante au contracteur. Note :Si le contracteur sétait engagé à terminer les travaux avant 1040 jours, on aurait trouvé P(t ) 75,8% Risque élevé. Le contracteur augmenterait alors le prix de sa soumission.

37 37 Analyse des coûts de réalisation des tâches dun projet Laccélération du temps de réalisation dune tâche se traduit par une augmentation de son coût. Dorénavant, chaque temps opératoire t ij peut varier entre deux bornes d ij et D ij. Limite supérieure ou durée normale (temps opérationnel normal) Limite inférieure ou durée accélérée (temps minimal nécessaire pour réaliser lopération P ij ) Terminologie : En optant pour la durée normale (accélérée) de chaque opération, le problème à résoudre est dit le programme normal (accéléré). Note : Habituellement, le programme accéléré est trop coûteux et le programme normal trop long.

38 38 Coût de réalisation c ij de lopération P ij La fonction de coût a généralement la forme suivante : t ij c ij d ij D ij Le coût de lopération est minimal si sa durée est normale et croît lorsquon sen éloigne. Si t ij > D ij on ne peut effectuer le travail quà des coûts beaucoup plus élevés ce qui correspond habituellement à des moyens insuffisants en main dœuvre et matériel. ****

39 39 Comment trouver des durées qui représentent un juste milieu entre nos possibilités temporelles et financières ? 1 ière approche : Diminution du coût total dun programme en augmentant la durée des opérations non critiques. On suppose ici quil nous est impossible de modifier la durée des opérations critiques et donc la date de fin des travaux. Par contre, on peut modifier la durée des opérations non critiques. La durée t ij de chaque opération P ij est contrainte comme suit : d ij t ij D ij Considérons un exemple où les durées t ij sont indiquées sur les arcs dans le diagramme PERT suivant :

40 40 Exemple :

41 41 Exemple (suite) : Laugmentation des coûts est proportionnelle à la diminution des temps opératoires, i.e. les fonctions de coût sont linéaires et décroissantes. Posons c ij coût marginal de lopération P ij ou encore, laugmentation dune unité dans la durée de lopération P ij implique une diminution de c ij dans le coût de cette opération. Dans le tableau suivant, on retrouve : - les durées normales, - les durées accélérées, - les temps opératoires, - les marges libres, - les marges totales, - les couts marginaux, - les coûts opératoires, - le coût total (la somme des coûts de toutes les opérations).

42 42 Exemple (suite) : c ij Coût total : 214,000$

43 43 Exemple (suite) : La durée du programme étant inchangée, il suffit de diminuer la marge libre des opérations non critiques pour diminuer le coût total. Les nouvelles durées des opérations non critiques ne pourront être supérieures à : t' ij = t ij + min(ml ij, D ij - t ij ) = min(D ij, t ij + ml ij ). Dans cet exemple, choisissons comme durées ces bornes supérieures.

44 44 Exemple (suite) : On obtient le nouveau diagramme PERT suivant : Cela crée un nouveau chemin critique (1, 2, 5, 3, 6, 8, 9). 4

45 45 Exemple (suite) : Pour chaque opération non critique, la diminution du coût sera égale à :c ij (t' ij - t ij ). On obtient alors pour les opérations non critiques indiquées, la diminution de coût suivante : Cela donne une diminution totale de 39, 400$ et le coût total sétablit maintenant à 214, 000 – 39,400 = 174, 600$. diminution de 18.6% env.

46 46 Il ne faut pas croire que lon soit parvenu pour une date de fin des travaux égale à 31 à un programme de coût minimal On pourrait tenir compte de la marge totale de P 24.

47 47 On peut augmenter la durée de P 24 de 2 unités (économie de 4600$) et laisser la durée de P 45 à 2 unités au lieu de 4. Nous aurions réalisé une économie supplémentaire de 2,700$.

48 48 2 ième approche : Accélération dun programme au moindre coût. Pour réduire le temps total dexécution dun programme, il faut réduire la durée dune ou de plusieurs opérations critiques. Si nous choisissons lopération critique qui, pour une même diminution de temps, propose la plus faible augmentation des coûts, nous dirons que nous avons accéléré le programme au moindre coût.

49 49 Exemple : g f h d c e i b a Les fonctions de coût des opérations sont de la forme ****. Ce diagramme PERT représente un programme normal admettant un coût total de 350 millions (voir tableau suivant). Nous avons aussi un programme accéléré dans ce tableau.

50 50 durées(mois) et coûts de chaque opération durées(mois) et coûts de chaque opération Coût total: 350 x 10 6 $523 x 10 6 $

51 51 Il nest pas nécessaire daugmenter la durée des opérations critiques : on dépenserait alors de largent inutilement. Attaquons-nous aux opérations critiques a, b, f et i. Puisque le coût daccélération par mois est : a :5 millions b :19 millions f :13 millions i :3 millions, pour accélérer le programme au moindre coût, il sagit de réduire le temps opératoire de 1 mois sur i ce qui va coûter le moins cher.

52 52 g f h d c e i b a Le diagramme PERT devient : 2 35 En gagnant 1 mois sur i, nous navons pas créé de nouveaux chemins critiques car, autrement, il aurait fallu tenir compte des nouvelles opérations critiques.

53 53 Essayons de gagner un autre mois. On ne peut le faire sur i puisquelle a déjà atteint sa durée accélérée. Parmi les autres opérations critiques (a, b et f), a coûte le moins cher à accélérer et puisquon peut laccélérer, gagnons un autre mois sur lopération a. g f h d c e i b a

54 54 Essayons de gagner un autre mois sur la tâche a, ce qui est possible. g f h d c e i b a Il nest maintenant plus possible daccélérer la tâche i ou la tâche a. Entre b et f, il faut choisir f.

55 55 On peut gagner 3 autres mois sans difficulté. g f d c i b a h ce qui fait apparaître un nouveau chemin critique. e

56 56 Pour réduire la durée totale dexécution, 3 possibilités soffrent à nous : gagner 1 mois sur b :coût de 19 millions, gagner 1 mois sur f :coût de 13 millions, et 1 mois sur e :coût de 5 millions, doù un coût de 18. gagner 1 mois sur f :coût de 13 millions, et 1 mois sur h :coût de 7 millions, doù un coût de 20. On choisit donc la 2 ième option.

57 57 g f d c i b a h e 9 On ne peut plus accélérer la tâche e. Il nous reste 2 alternatives : gagner 1 mois sur b :coût de 19 millions, gagner 1 mois sur f :coût de 13 millions, et 1 mois sur h :coût de 7 millions, doù un coût de 20.

58 58 g f d c i b a h e 9 Gagnons un mois sur b. 5 Finalement, il nous reste une possibilité : gagner 1 mois sur f :coût de 13 millions, et 1 mois sur h :coût de 7 millions, doù un coût de 20.

59 59 g f d c i b a h 9 18 e 9 5 Il nest maintenant plus possible daccélérer la date des travaux dans cet exemple.

60 60 En résumé, Durée du programme (mois) Coût (millions $) abcdefghi Durée des opérations (mois) Cest au gestionnaire de choisir lalternative la plus appropriée.

61 61 Généralisations possibles du problème : La fonction de coût avait jusquà maintenant la forme suivante : t ij c ij d ij D ij **** t ij c ij d ij D ij Voici des alternatives où le problème devient plus difficile : t ij c ij d ij D ij t*t*

62 62 Généralisation au programme à coût minimal si les coûts sont des fonctions quelconques des durées : Posons c ij (t ij ) le coût en fonction de la durée de la tâche P ij, d ij la durée accélérée de la tâche P ij, D ij la durée normale de la tâche P ij, d n et D n les durées accélérée et normale dexécution, t ij la durée de la tâche P ij, t la durée totale dexécution, U lensemble des arcs du programme, on cherche à minimiser le coût total de ce programme. MIN c ij (t ij ) (i,j) U Sujet à t ij t chemin allant du sommet 1 au sommet n. (i,j) d n t D n d ij t ij D ij tâche P ij


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