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C ULTURE M ATHÉMATIQUE ET E NSEIGNEMENT DES M ATHÉMATIQUES EN H ONGRIE AU XX e S IECLE K ATALIN G OSZTONYI Université de Szeged, Université Paris 7 Problèmes.

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1 C ULTURE M ATHÉMATIQUE ET E NSEIGNEMENT DES M ATHÉMATIQUES EN H ONGRIE AU XX e S IECLE K ATALIN G OSZTONYI Université de Szeged, Université Paris 7 Problèmes et énigmes au carrefour des cultures, mardi 6 novembre 2012, après-midi

2 L E C ONTEXTE S OCIO- E CONOMIQUE ET C ULTUREL

3 R ÉFORMES DU S YSTÈME É DUCATIF ère loi sur l'enseignement général: école primaire obligatoire de 6 à 12 ans -Plusieurs réformes concernant l'enseignement secondaire et la formation des enseignants (1883, 1890, 1924 etc.) -L'enseignement secondaire en mathématiques: Manó Beke, Gyula Kőnig -L'enseignement supérieur en mathématiques: Université de Budapest, l'Université Technique de Budapest et à partir de 1872, l'Université de Kolozsvár (plus tard à Szeged) Eötvös Collegium à lexample de lENS de Paris (formation des enseignants- chercheurs) Mathematikai és Physikai Társulat [Société des Mathématiques et de la Physique] Concours Eötvös (en mathématiques pour lycéens) Mathematikai és Physikai Lapok [Journal mathématique et physique] KÖMAL [Journal pour lycéens en mathématiques] (hongrois) ou (francais)http://www.komal.huhttp://www.komal.fr/

4 George Pólya « Pourquoi la Hongrie a-t-elle produit tant de mathématiciens de notre temps? Beaucoup de gens ont posé cette question à laquelle, à mon avis, personne ne peut répondre entièrement. Toutefois, il y avait deux facteurs dont l'influence est manifeste et indéniable sur les mathématiques hongroises. L'un d'entre eux était Léopold Fejér, son travail et sa personnalité. L'autre facteur est la combinaison d'un concours en mathématiques avec un périodique. » G. Pólya: Leopold Fejér, J. London Math. Soc. 36 (1961), L ipót F EJÉR ( ) -Chercheur important en analyse mathématique -Autour de sa personne, la première école cohérente en recherche mathématique était organisée -un professeur charismatique, exercant un influence remarquable sur ses étudiants

5 S ándor K ARÁCSONY ( ) - Pasteur calviniste - Pédagogue, psychologue, philosophe, linguiste… - Dans les années 1940, cercle autour de lui réfléchissant sur les questions de léducation - Plusieurs mathématiciens y participent (L. Kalmár, R. Péter, A. Rényi, T. Varga)

6 László KALMÁR ( ) Rózsa PÉTER ( ) Alfréd RÉNYI ( ) Tamás VARGA ( ) -Logique, linguistique mathématique, informatique etc -Professeur passionné, ayant eu beaucoup dinfluence -Rédaction de longues lettres mathématiques dun style très suggestif - recherches sur les fonctions récursives -Expérience dans l'enseignement public -Jeux avec l'infini (livre de vulgarisation, 1943) - Manuels scolaires pour les lycées avec T. Gallai (à partir de 1949) -Théorie des probabilités -Fondation et direction de l'Institut de Mathématiques - Soutien au mouvement de réforme de T. Varga - Dialogues sur les mathématiques, Lettres sur la probabilité ( oeuvres de vulgarisation pastichant Platon, Galilée Pascal) Prof. de maths, chercheur sur lenseignement des mathématiques Le chef des expérimentations à lécole primaire et le mouvement de réforme complex éducation des mathématiques

7 L E M OUVEMENT DE R ÉFORME DE T AMÁS V ARGA congrès international de lUNESCO sur lenseignement des mathématiques à Budapest -À partir de 1963: direction dexpérimentations à lécole primaire (élèves de 6-10 ans, plus tard des ans) -Années 1970 : le cercle des enseignants participants à lexpérimentation sélargit; programme du primaire élaboré à partir des éxpériences nouveau programme officiel -Effets importants jusquà aujourdhui -Mémoire de T. Varga: conférence, compétition, prix etc. portent son nom Tamás VARGA ( )

8 R ÓZSA P ÉTER et la publication des « J EUX A VEC L I NFINI » - Née Rózsa Politzer en famille juive diplôme de mathématique-physique à lUniversité Péter Pázmány (Budapest) – amitié avec son camarade László Kalmár -Enseigne en collège jusquà la guerre -Recherches sur les fonctions recursives rédaction de Játék a végtelennel [Jeux avec linfini] – publié après la guerre -Après la guerre, enseigne à lInstitut de la Formation des Enseignants puis à lUniversité des Sciences de Budapest -De 1949, rédaction de manuels scolaires pour lycées avec T. Gallai -Membre de lAcadémie Scientifique à partir de 1973 Fort intérêt pour les arts, surtout pour la littérature. Conférences et articles pour léquilibre entre culture scientifique et littéraire, traduction dun poème de Rilke, critiques de films dans des journeaux… Suit et encourage le mouvement de réforme de T. Varga, le soutient dans la communauté mathématique ainsi quau niveau politique Rózsa PÉTER ( )

9 R ÓZSA P ÉTER et ses J EUX A VEC L I NFINI Traductions en 12 langues étrangères Édition française en 1977

10 R ÓZSA P ÉTER et son J EUX A VEC L I NFINI LIRE LES CHAPITRES 4 ET 5 COMME DES SÉRIES DES PROBLÈMES Identifier des problèmes dans le texte le motif et la solution de chaque problème Comment sont-ils organisés en série(s) ?

11 Introduction de la similitude : Borosay-Holenda-Korányi, 1939

12 Introduction de la similitude : Gallai-Péter, 1950

13 Gallai-Péter, 1950 : Les premières phrases du texte L OTIR UN TERRAIN POUR UN ASSOLEMENT AVEC HERBES. « En quoi diffère le rocher inféconde du sol fertile ? Cétait découvert par la biologie soviétique. Cest la science de la vie qui répond à cette ancienne question car le célèbre savant soviétique, Williams a démontré que seulement une végétation vivante peut transformer la roche en sol fertile. »

14 Introduction de la similitude : Gallai-Péter, 1950

15 1.Les mathématiques ne sont pas considérées comme statiques et éternelles, plutôt comme une création de lesprit humain, quelque chose qui change et évolue sans cesse. Les élèves doivent également être accompagnés selon le même processus évolutif de création. 2.La source des mathématiques est l'intuition et l'expérience (non limitée aux observations physiques réelles). Il est important de développer l'intuition à l'aide de nombreux expériences riches et diverses à tous les niveaux de l'éducation. 3.L'activité mathématique est essentiellement dialogique, il s'agit d'une série des questions, des problèmes et des tentatives pour y répondre. L'enseignement des mathématiques est une activité conjointe de l'élève et de l'enseignant. 4.Tout formalisme inutile est découragé, l'utilisation d'un langage formel ne doit être introduite quaprès une préparation appropriée. 5.Le but de l'enseignement des mathématiques n'est pas de transmettre de manière irréfléchie des recettes des calculs : il est de fournir une initiation au processus de la création mathématique, et par conséquent d'éduquer les gens à réfléchir. 6.Le processus de la création mathématique est en relation étroite avec le jeu, et dans cette aspect ludique, cest la nature artistique des mathématiques qui se manifeste. R ÉSUMÉ DES I DÉES P RINCIPALES

16 « Arrivée à ce point, je suis contrainte de marrêter, car je me heurte aux limites de la pensée mathématique contemporaine. Notre époque est celle des remises en cause : les mathématiques ont fait leur devoir dans ce domaine, puisquelles ont mis au jour leurs propres limites. Mais sagit-il de limites infranchissables ? Si lon considère lhistoire des mathématiques, on voit quelles ont réussi à sortir de toutes les impasses où elles semblaient enfermées. La démonstration de Church comporte également un point qui donne à réfléchir : il a dû formuler avec précision ce que nous devons entendre par « raisonnement mathématiques tels que nous les concevons aujourdhui », si lon veut traiter cette notion par des procédés mathématiques. Formuler une idée, cest la délimiter ; or, toutes les limites sont étroites et les problèmes indécidables les font éclater. Elles seront en tout cas repoussées par lévolution future des mathématiques, même si nous ne voyons pas encore comment et dans quels sens. La grande leçon que lon peut dégager dès maintenant est celle-ci : les mathématiques ne sont pas immuables et fermées sur elles-mêmes ; elles sont vivantes et mouvantes. Nous avons beau essayer de les figer en les enfermant dans des cadres préconçus, elles trouvent toujours une brèche pour sen échapper avec la violence qui caractérise les organismes vivants. » 1. Rózsa Péter: Jeux avec linfini (1943)

17 2.a) « Le point de départ de notre voyage est l'intuition. Tout le monde admet que nos concepts géométriques – comme point, ligne, surface, direction, angle, longueur, aire, volume, etc – tirent leur orinine des contenus de l'intuition. Si l'on considère les choses de plus près, on se rend compte quil en est aussi de même pour les concepts de l'arithmétique : cinq craies, une demi-pomme désignent des contenus clairs de l'intuition. Mais il y a un accord général parmi les experts que certains concepts plutôt abstraits des mathématiques n'ont rien à voir avec l'intuition. La théorie des ensembles est peut-être la branche la plus abstraite des mathématiques; [...]; néanmoins, au niveau le plus rudimentaire de la formation du concept, on imagine les ensembles intuitivement, comme sils étaient des sacs dans lesquels quelqu'un a mis leurs éléments. » 2.b) « Dès que nous reconnaissons, en passant par des étapes logiques, une propriété quon ne pouvait pas tirer de l'image à l'origine, nous revenons à cette image pour la colorer avec la propriété qui vient d'être décelée. L'image devient ainsi de plus en plus vive et colorée, ce qui nous permet den lire à nouveau des propriétés nouvelles, jusqu'ici cachées. Par ce développement de l'intuition, le sentiment de perte occasionné par l'effet de décoloration du processus d'abstraction se trouve, pour les mathématiciens amplement compensés : ils se sentent même enhardis à effectuer un nouveau tour d'abstraction sur les concepts obtenus par labstraction et recolorés à nouveau. » László Kalmár: Le développement de lexactitude mathématique de lintuition à la méthode axiomatique (1942)

18 3.a) László Kalmár : Le développement de lexactitude mathématique de lintuition à la méthode axiomatique (1942) « Il me semble que le plus important motif qui nous pousse à nous détacher de l'intuition est le fait que les êtres humains, y compris des mathématiciens, sont des créatures sociales. Ils aiment à communiquer aux autres ce qui leur semble le plus saisissant et remarquable. C'est le moment des premiers déceptions. Il s'avère que ce qui est évident pour moi après mon intuition, peut provoquer un air dincompréhension chez les autres. [...] La meilleure façon de gérer cela est dénumérer, avant de présenter une certaine idée, les concepts ainsi que les propriétés auxquels je ferai référence comme évidemment donnés par mon intuition. Celui à qui je présente mes preuves peut les examiner une par une, les comparer à sa propre intuition, pour voir s'il trouve également clair ces «concepts fondamentaux» et ces «vérités fondamentales». [...] »

19 3.b) Alfréd Rényi: Dialogues sur les mathématuques. Postsface (1967) « Le dialogue socratique est dialectique, pas seulement à légard de sa forme mais aussi de son contenu : car il présente les idées en création, en développement, il dramatise les pensées abstraites. Ce faisant, il maintient lattention et facilite la compréhension. » « En choisissant Socrate comme personnage principal du dialogue, il se déroule à lépoque où les mathématiques, au sens moderne, sont nées. Je présente ainsi les mathématiques in statu nascendi. » 3.c) George Pólya: Comment poser et résoudre un problème? (1945) « Lorsque [le professeur] résoud un problème devant la classe, il doit un peu « mettre en scène » son idée, et se poser les questions même quil emploie lorsquil aide ses élèves. » (Professeur et élève. Imitation et pratique.)

20 George Pólya: Comment poser et résoudre un problème? 5. a) « Les mathématiques, en plus d'être une voie nécessaire à des métiers d'ingénieurs et des connaissances scientifiques, peuvent être amusantes et peuvent aussi ouvrir la perspective de l'activité intellectuelle au plus haut niveau. » (Préface à la deuxième édition.) 5. b) « Grâce à de tels conseils, lélève découvrira sans doute la façon dutiliser les questions et les suggestions, et acquerra ainsi des connaissances plus importantes que celles dun simple fait mathématique. » (Professeur et élève. Imitation et pratique.) 5.c) Endre Czapáry «L'essentiel, c'est que ce quon enseigne, doit rendre lélève capable d'apprendre à penser. Je crois que la vraie valeur des mathématiques nest pas dans la capacité de résoudre des équations trigonométriques, mais que, pendant quon les résout ou pratique, et quon tire des idées de sa tête, on apprend à réfléchir logiquement. Quelquun qui peut réfléchir logiquement peut utiliser cela dans une carrière en droit, à l'usine, partout. Une personne pensante ne peut quêtre utile nimporte où. » (In Gordon-Halmos-Munkácsy-Pálfalvi 2007)

21 Tamás Varga 6.a) (Lettre à Kalmár 1946) « […] cest encore un résultat de Nyíregyháza quil y a deux matières. Il ne sagit pas de larithmétique et de la géométrie, bien sûr. Mais 1) Calculer le monde 2) Jouer avec les nombres (et avec des figures, des objets … cest aussi intimement lié aux sciences naturelles ici que 1).) 1) est le côté science > du moi et toi. 2) est le côté arts […] Jai toujours préféré la partie arts. Je lai remarqué comme cétait toujours ce genre des choses que javais envie de montrer à mes élèves de première année. » (In Szabó 2005) 6.b) ( Az egyszeregy körül 1987) «Les mathématiques, du plus bas au plus haut niveau, sortent toujours de l'expérience: des essais, des conjectures et de leur examen, de rejet ou de confirmation. Pourtant, elles sont une libre création de l'esprit humain, un pont entre les deux cultures. Elles sont imprégnées desprit ludique et esthétique: cest aussi un art. »

22 BIBLIOGRAPHIE Borosay-Holenda-Korányi: Mennyiségtan a gimnázium és leánygimnázium V. osztálya számára. Szt. István Társulat 1939 Frank Tibor: Teaching and Learning Science in Hungary, 1867–1945: Schools, Personalities, Inuences. Science and Education 21:(3) pp (2012) Gallai Tibor-Péter Rózsa: Matematika a gimnáziumok II. osztálya számára. Tankönyvkiadó, Bp Gordon-Halmos-Munkácsy-Pálfalvi: A matematikatanítás mestersége – mestertanárok a matematikatanításról. Gondolat, Budapest Gurka Dezső: Kalmár László szerepe Lakatos Imre matematikafilozófiájának alakulásában In. Recepció és kreativitás Kalmár László: Integrállevél. Gondolat, Budapest Kalmár László: The Development of Mathematical Rigor from Intuition to Axiomatic Method (trad. by Zsófia Zvolenszky) In. Der Wiener Kreis in Ungarn/The Vienna Circlein Hungary (Hrsg. A. Máté, M. Rédei, F.Stadler), Springer Wien-New York 2011,. Karácsony Sándor (ed.): A másik ember felé. Exodus, Debrecen Kontra György: Karácsony Sándor. Országos Pedagógiai Könyvtár és Múzeum Budapest 1992 Lakatos Imre : Bizonyítások és cáfolatok [Proofs and refutations]. Typotex, Budapest Lakatos, Imre (ed.): Problems in the Philosophy of Mathematics. North-Holland Publishing Co., Amsterdam Lakatos Imre: Mathematics, Science and Epistemology. Philosophical Papers vol. 2. Cambridge etc.: Cambridge University Press Máté András: Árpád Szabó and Imre Lakatos, Or the relation between history and philosophy of mathematics. Perspectives on Science 14.3 (2006): Péter Rózsa: Jeux avec linfini [Játék a végtelennel]. Éditions du Seuil Pólya György: Comment poser et résoudre un problème [How to solve it. Trad. C. Mesnage]. Dunod, Paris Pukánszky Béla – Németh András: Neveléstörténet Rényi Alfréd: Ars Mathematica. Rényi Alfréd összegyűjtött írásai. Typotex, Budapest Róka Sándor (ed.) : Matematikusok. Typotex, Budapest 2008 Szabó Péter Gábor (ed.): Kalmárium I. Polygon, Szeged 2005 Szabó Péter Gábor (ed.): Kalmárium II. Polygon, Szeged 2008 Varga Tamás : Az egyszeregy körül. Kritika décembre


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