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Problèmes doptimisation Illustration de quelques catégorisations possibles Pierre Henrotay, Maggy Schneider Ladimath, ULg Version initiale : Université.

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1 Problèmes doptimisation Illustration de quelques catégorisations possibles Pierre Henrotay, Maggy Schneider Ladimath, ULg Version initiale : Université dété du CIFEN, 26/8/11 1

2 Des problèmes qui suscitent le désarroi Quelques réflexions entendues parmi les élèves Y a pas de recette, cest toujours différent, cest imprévisible, on ne sait pas se préparer Y a pas de recette, cest toujours différent, cest imprévisible, on ne sait pas se préparer Cest pas que des maths Cest pas que des maths Plus jen fais, plus je my perds Plus jen fais, plus je my perds On ne voit pas par où commencer On ne voit pas par où commencer Il faut se souvenir de tout car beaucoup de choses, beaucoup de formules interviennent Il faut se souvenir de tout car beaucoup de choses, beaucoup de formules interviennent Cest compliqué Cest compliqué Les énoncés, cest compliqué Les énoncés, cest compliqué Inconnues, variables, grandeurs, relation, fonction, contrainte … tout ça cest du pareil au même Inconnues, variables, grandeurs, relation, fonction, contrainte … tout ça cest du pareil au même Pouvez-vous nous traduire lénoncé svp ? Pouvez-vous nous traduire lénoncé svp ? 2

3 Les auteurs confirment la complexité On a bien affaire ici à des problèmes « inédits et complexes » Ces problèmes (doptimisation) sont souvent assez compliqués… (Espace Math 5/6) Ces problèmes (doptimisation) sont souvent assez compliqués… (Espace Math 5/6) Il n'y a pas à proprement parler de règles strictes et rapides qui permettent à coup sûr de résoudre des problèmes (Stewart, Analyse 1) Il n'y a pas à proprement parler de règles strictes et rapides qui permettent à coup sûr de résoudre des problèmes (Stewart, Analyse 1) La variété des problèmes d'optimisation est telle qu'il est bien difficile d'établir une méthode précise de résolution (Swokowski, Analyse) La variété des problèmes d'optimisation est telle qu'il est bien difficile d'établir une méthode précise de résolution (Swokowski, Analyse) 3

4 Des pistes selon les auteurs? En faire plus ? En faire plus ? Ce nest qu'au prix de beaucoup d'efforts et d'entraînement que vous arriverez à une certaine aisance dans la résolution de ces problèmes (Swokowski, Analyse) Mais pour les élèves : Mais pour les élèves : Cela aide certains : ceux qui analysent ce qui a été fait et pourquoi Cela aide certains : ceux qui analysent ce qui a été fait et pourquoi Les autres : Plus jen fais, plus je my perds Les autres : Plus jen fais, plus je my perds 4

5 Des pistes selon les auteurs? Rechercher une « recette miracle » ? Rechercher une « recette miracle » ? Trouver une méthode générale qui permet daborder progressivement un problème nouveau est illusoire Une piste possible : classifier, catégoriser, identifier des similitudes Une piste possible : classifier, catégoriser, identifier des similitudes Essayer de reconnaître quelque chose de familier : relier la situation donnée à vos connaissances antérieures… Essayer de reconnaître quelque chose de familier : relier la situation donnée à vos connaissances antérieures… Essayer de reconnaître une structure … Essayer de reconnaître une structure … Un des principes les plus importants de la résolution de problèmes est l'analogie… Un des principes les plus importants de la résolution de problèmes est l'analogie… (Stewart, Analyse 1) 5

6 La piste de la catégorisation Le contexte de l« Approche par compétences » nous interpelle ici L'élève compétent n'est pas celui qui sait seulement accomplir une opération stéréotypée en réponse à un signal préétabli. Il doit savoir choisir les procédures à mettre en oeuvre dans des situations toujours nouvelles, il doit savoir élaborer une démarche originale. (B. Rey) La piste « classifier » ou « catégoriser » mérite dêtre suivie Certains de ces énoncés se ressemblent beaucoup et pourraient être mis ensemble. Nous aurions ainsi moins de catégories et de problèmes-types à apprendre. Cherchez des problèmes qui se résolvent ou s'expliquent de la même façon. Nous discuterons ensemble les regroupements. En même temps, nous chercherons ce qui peut les rendre différents. (G. et N. Brousseau) 6

7 Une classification apparemment naïve Première proposition des élèves : que cherche-t-on à optimiser ? Première proposition des élèves : que cherche-t-on à optimiser ? (apparemment) naïf : tout ce qui est longueur, aire, volume… puis temps, puis coût, puis… puis… Symptômatique dune progression dans la résistance/difficulté à traiter : Symptômatique dune progression dans la résistance/difficulté à traiter : quantité simple (somme, produit…), explicite dans lénoncé quantité simple (somme, produit…), explicite dans lénoncé longueur, aire, volume longueur, aire, volume temps temps coût coût débit débit résistance à la traction, à la torsion… résistance à la traction, à la torsion… frottement frottement dissipation, déperdition calorifique dissipation, déperdition calorifique autres (éclairement…) autres (éclairement…) 7

8 Une classification apparemment naïve Les élèves abordent de bon gré les 2 premières « classes » mais sont déconcertés par les suivantes : ce nest plus des maths, cest de la physique Les élèves abordent de bon gré les 2 premières « classes » mais sont déconcertés par les suivantes : ce nest plus des maths, cest de la physique Le professeur a limpression davoir violé une règle du jeu implicite (rupture du contrat) Le professeur a limpression davoir violé une règle du jeu implicite (rupture du contrat) Signe de linconfort de lélève, qui est censé aussi faire des liens, ou (pire) appliquer des lois supposées « évidentes » Signe de linconfort de lélève, qui est censé aussi faire des liens, ou (pire) appliquer des lois supposées « évidentes » Or … un problème peut en cacher un autre : Or … un problème peut en cacher un autre : temps lié à longueur via vitesse temps lié à longueur via vitesse coût lié à longueur, aire, volume coût lié à longueur, aire, volume débit lié à aire débit lié à aire résistance liée à longueur ou aire résistance liée à longueur ou aire frottement lié à aire frottement lié à aire dissipation, déperdition liée à aire dissipation, déperdition liée à aire éclairement lié à longueur ou aire éclairement lié à longueur ou aire 8

9 Une classification apparemment naïve Une piste pour surmonter lobstacle : Une piste pour surmonter lobstacle : proposer aux élèves de transformer un problème de longueur, aire, volume en un autre Exemple problème de dimensions optimales à donner à un solide de volume fixé : une optimisation daire se transforme en optimisation dun coût (peinture des faces) ou dune perte calorifique (isolation des faces) Conclusion : Conclusion : Classification naïve, guère utilisable en pratique mais révélatrice de malaises et donc à creuser avec les élèves Classification naïve, guère utilisable en pratique mais révélatrice de malaises et donc à creuser avec les élèves Permet de jouer avec lénoncé (traduction langage français/mathématique) Permet de jouer avec lénoncé (traduction langage français/mathématique) 9

10 Une classification basée sur le nombre de variables Deuxième proposition des élèves, largement induite car un classique des premières étapes de la résolution Deuxième proposition des élèves, largement induite car un classique des premières étapes de la résolution Ré-exploration des exercices faits : « comment a-t-on procédé ? » Ré-exploration des exercices faits : « comment a-t-on procédé ? » Fil rouge : quelles stratégies, combien de variables et lesquelles ? 10

11 Une classification basée sur le nombre de variables Exemple 1 : De tous les triangles rectangles de même hypoténuse, quel est celui dont laire est maximale ? Enoncé volontairement général (pas de « de côté », pas de dessin, pas de littéraux) 11

12 Une classification basée sur le nombre de variables Tous les élèves commencent par une représentation graphique : un triangle rectangle 12

13 Pour quelques-uns : Problème à 1 variable, car un côté suffit, lautre étant déterminé par Pythagore Problème à 1 variable, car un côté suffit, lautre étant déterminé par Pythagore Cette réflexion est faite avant même décrire une quelconque formule pour laire Cette réflexion est faite avant même décrire une quelconque formule pour laire Ensuite, écriture de laire : Ensuite, écriture de laire : certains voient immédiatement comme celle du demi-rectangle certains voient immédiatement comme celle du demi-rectangle dautres cherchent à exprimer en tant que demi- produit de la base (hypoténuse) par une hauteur qui leur échappe dautres cherchent à exprimer en tant que demi- produit de la base (hypoténuse) par une hauteur qui leur échappe Une classification basée sur le nombre de variables 13

14 Une classification basée sur le nombre de variables Pour beaucoup : Problème à 2 variables, car on a un triangle et on connaît un seul côté Problème à 2 variables, car on a un triangle et on connaît un seul côté Très rapidement, ils écrivent la relation liant les 2 variables, car on donne lhypoténuse (ils ne font pas vraiment référence à Pythagore, même si cest bien cette relation quils écrivent) Très rapidement, ils écrivent la relation liant les 2 variables, car on donne lhypoténuse (ils ne font pas vraiment référence à Pythagore, même si cest bien cette relation quils écrivent) A nouveau, le fait de devoir exprimer laire nintervient pas directement A nouveau, le fait de devoir exprimer laire nintervient pas directement Suite : comme pour le premier cas Suite : comme pour le premier cas 14

15 Une classification basée sur le nombre de variables Pour certains : Problème à 1 variable car on a besoin de la seule hauteur pour calculer laire puisquon connaît la base Problème à 1 variable car on a besoin de la seule hauteur pour calculer laire puisquon connaît la base Donc ici, le focus sest déplacé de la modélisation du problème (comment représenter un triangle rectangle dhypoténuse donnée) à ce quil faut optimiser – laire Donc ici, le focus sest déplacé de la modélisation du problème (comment représenter un triangle rectangle dhypoténuse donnée) à ce quil faut optimiser – laire Mais tous ou quasi oublient que le triangle est rectangle Mais tous ou quasi oublient que le triangle est rectangle La suite de leur calcul, cest de dériver une fonction linéaire de la hauteur, ce qui conduit bien sûr à une aberration. Les élèves sont désemparés La suite de leur calcul, cest de dériver une fonction linéaire de la hauteur, ce qui conduit bien sûr à une aberration. Les élèves sont désemparés 15

16 Une classification basée sur le nombre de variables Pour peu délèves: Problème à 1 variable, car il suffit de connaître un angle, le triangle étant rectangle Problème à 1 variable, car il suffit de connaître un angle, le triangle étant rectangle La difficulté est ici de calculer laire : il faut se souvenir des relations dans un triangle rectangle La difficulté est ici de calculer laire : il faut se souvenir des relations dans un triangle rectangle Mais ces élèves sont justement ceux qui maîtrisent bien les triangles rectangles (sinon, ils nauraient pas songé à une solution basée sur un angle) Mais ces élèves sont justement ceux qui maîtrisent bien les triangles rectangles (sinon, ils nauraient pas songé à une solution basée sur un angle) La suite est intéressante également : La suite est intéressante également : Soit effectuer mécaniquement le calcul de la dérivée puis résoudre léquation trigonométrique résultante Soit effectuer mécaniquement le calcul de la dérivée puis résoudre léquation trigonométrique résultante Soit utiliser le sinus de langle double pour déduire immédiatement le résultat. La solution est triviale et on voit directement apparaître le triangle rectangle comme étant isocèle Soit utiliser le sinus de langle double pour déduire immédiatement le résultat. La solution est triviale et on voit directement apparaître le triangle rectangle comme étant isocèle 16

17 Une classification basée sur le nombre de variables La façon de poser le problème nest pas neutre ! Même problème, mais une illustration est fournie, où le triangle rectangle est inscrit dans un cercle 17

18 Une classification basée sur le nombre de variables Avant dentamer la résolution, les élèves imaginent correctement la solution optimale : ils font mentalement évoluer le sommet opposé à lhypoténuse et tous ou presque sont convaincus que la solution est celle pour laquelle « les angles sont de 45° » Avant dentamer la résolution, les élèves imaginent correctement la solution optimale : ils font mentalement évoluer le sommet opposé à lhypoténuse et tous ou presque sont convaincus que la solution est celle pour laquelle « les angles sont de 45° » Cette fois, lapproche « 1 variable : langle » est choisie par une majorité des élèves Cette fois, lapproche « 1 variable : langle » est choisie par une majorité des élèves 18

19 Une classification basée sur le nombre de variables Exemple 2 : De tous les rectangles inscrits dans un cercle, quel est celui dont laire est maximale ? Tous les élèves commencent par une représentation graphique : un rectangle de longueur horizontale, son centre puis le cercle circonscrit 19

20 Une classification basée sur le nombre de variables Pour la plupart : Problème à 2 variables, car dans un rectangle, il y a une longueur et une largeur. Cest dailleurs ce quil faut pour déterminer laire Problème à 2 variables, car dans un rectangle, il y a une longueur et une largeur. Cest dailleurs ce quil faut pour déterminer laire Pour trouver la relation entre ces deux variables, la plupart identifient rapidement que chaque diagonale est diamètre du cercle, et utilisent Pythagore Pour trouver la relation entre ces deux variables, la plupart identifient rapidement que chaque diagonale est diamètre du cercle, et utilisent Pythagore 20

21 Une classification basée sur le nombre de variables Peu font le lien entre ce rectangle et les deux demi- triangles rectangles qui le composent, dont lhypoténuse est le diamètre du cercle Peu font le lien entre ce rectangle et les deux demi- triangles rectangles qui le composent, dont lhypoténuse est le diamètre du cercle Et aucun ne remarque que ce problème est en réalité identique à celui traité précédemment Et aucun ne remarque que ce problème est en réalité identique à celui traité précédemment 21

22 Une classification basée sur le nombre de variables Exemple 3 : De tous les triangles isocèles inscrits dans un cercle, quel est celui dont laire est maximale ? 22

23 Une classification basée sur le nombre de variables Plusieurs élèves estiment que le triangle optimal devrait être équilatéral, pour des raisons de symétrie Pour la majorité : Problème à 2 variables car dans un triangle, pour calculer une aire, on a besoin dune base et dune hauteur Problème à 2 variables car dans un triangle, pour calculer une aire, on a besoin dune base et dune hauteur Cest clairement la formulation de laire qui a induit la catégorisation et le choix des variables Cest clairement la formulation de laire qui a induit la catégorisation et le choix des variables La relation entre base et hauteur est cependant moins évidente La relation entre base et hauteur est cependant moins évidente 23

24 Une classification basée sur le nombre de variables Et pourquoi pas un problème à 1 variable ? Aucun ne pense à aborder le problème en introduisant une seule variable, comme un angle, qui caractériserait le triangle isocèle Aucun ne pense à aborder le problème en introduisant une seule variable, comme un angle, qui caractériserait le triangle isocèle La propriété liant angle au centre et angle inscrit, qui serait simplificatrice, nest pas non plus toujours fraîche en mémoire La propriété liant angle au centre et angle inscrit, qui serait simplificatrice, nest pas non plus toujours fraîche en mémoire 24

25 Une classification basée sur le nombre de variables Un guide pour choisir la ou les variables ? A élaborer avec les élèves Résultat : Si je devais demander à quelquun de construire lobjet, quelle information lui donner ? De quoi a-t-il besoin ? Si je devais demander à quelquun de construire lobjet, quelle information lui donner ? De quoi a-t-il besoin ? Si je devais expliquer à quelquun de quoi on parle, quelle information lui donner ? Comment le faire au mieux ? Si je devais expliquer à quelquun de quoi on parle, quelle information lui donner ? Comment le faire au mieux ? 25

26 Une ou deux variables, pourquoi sen soucier ? Réflexions délèves : Pourquoi se soucier de choisir ses variables ? On finit quand même par nen avoir plus quune, puisquon élimine les autres, il nen reste quune et cest la bonne Réflexions délèves : Pourquoi se soucier de choisir ses variables ? On finit quand même par nen avoir plus quune, puisquon élimine les autres, il nen reste quune et cest la bonne Oui… mais laquelle, y en a-t-il une « meilleure » que les autres ? Oui… mais laquelle, y en a-t-il une « meilleure » que les autres ? Autopsie dun exercice : Autopsie dun exercice : 26 Une rigole a pour section un trapèze. La petite base inférieure est de dimension donnée et chaque paroi oblique mesure autant que la petite base. Quelles dimensions donner à la grande base et à la hauteur pour que le débit de leau soit maximal ?

27 Une ou deux variables, pourquoi sen soucier ? Les élèves démarrent sur une stratégie à deux variables, car un trapèze est déterminé par une grande base, une petite base (donnée) et une hauteur. La formule de laire du trapèze, à optimiser, les conforte dans ce choix Les élèves démarrent sur une stratégie à deux variables, car un trapèze est déterminé par une grande base, une petite base (donnée) et une hauteur. La formule de laire du trapèze, à optimiser, les conforte dans ce choix La plupart trouvent la relation entre grande base, hauteur et petite base via Pythagore La plupart trouvent la relation entre grande base, hauteur et petite base via Pythagore La substitution dans lexpression de laire à rendre optimale donne cependant un résultat un peu compliqué, qui en décourage certains. On a dû se tromper… La substitution dans lexpression de laire à rendre optimale donne cependant un résultat un peu compliqué, qui en décourage certains. On a dû se tromper… 27

28 Une ou deux variables, pourquoi sen soucier ? Une tout autre approche aurait été de choisir pour variable langle que fait une paroi oblique avec les bases. Les relations dans les triangles rectangles permettent de facilement relier hauteur et grande base à langle, et laire devient fonction de ce seul angle Une tout autre approche aurait été de choisir pour variable langle que fait une paroi oblique avec les bases. Les relations dans les triangles rectangles permettent de facilement relier hauteur et grande base à langle, et laire devient fonction de ce seul angle La difficulté est reportée dans le calcul de la dérivée de fonctions trigonométriques, et surtout dans létude du signe de cette dérivée La difficulté est reportée dans le calcul de la dérivée de fonctions trigonométriques, et surtout dans létude du signe de cette dérivée 28

29 Une variable peut en cacher une autre Le choix de la « bonne » variable nest pas toujours évident La partie supérieure droite dune feuille de papier de 30 cm sur 20 cm est repliée le long du bord inférieur. Comment choisir lendroit du pli pour minimiser la longueur du pli ? 29

30 Une variable peut en cacher une autre Une deuxième variable peut temporairement aider ABCD est un carré unitaire. D en est le coin inférieur gauche. On trace le cercle unitaire de centre D. T est un point de larc de cercle AC. On trace la tangente au cercle, passant par T. Cette tangente détermine M sur le segment AB et N sur le segment BC. Pour quelle position de T la distance MN est-elle minimale ? 30

31 Quelles relations entre variables ? Exemple de liste construite avec les élèves en balayant les exercices faits : 1. explicite dans lénoncé « dont la somme (ou : différence, produit, quotient…) est… » ; nécessité de traduire le français en mathématique « dont la somme (ou : différence, produit, quotient…) est… » ; nécessité de traduire le français en mathématique relation de proportionnalité :« … la longueur est trois fois la hauteur… » relation de proportionnalité :« … la longueur est trois fois la hauteur… » 2. relation algébrique, mesure géométrique souvent issue dune formule : périmètre, aire, volume... « Trouver le champ rectangulaire daire maximum et de périmètre donné » souvent issue dune formule : périmètre, aire, volume... « Trouver le champ rectangulaire daire maximum et de périmètre donné » 31

32 Quelles relations entre variables ? 3. relation géométrique Pythagore Pythagore De tous les triangles rectangles de même hypoténuse, quel est celui dont laire est maximum ? De tous les triangles rectangles de même hypoténuse, quel est celui dont laire est maximum ? Triangles semblables ou Thalès Triangles semblables ou Thalès Trouver la hauteur du cylindre de volume maximum qui peut être inscrit dans un cône donné Trouver la hauteur du cylindre de volume maximum qui peut être inscrit dans un cône donné 4. relations (tri)angulaires Une rigole a pour section un trapèze. La petite base inférieure est de dimension donnée et chaque paroi oblique mesure autant que la petite base. Quelles dimensions donner à la grande base et à la hauteur pour que le débit de leau soit maximal ? Une rigole a pour section un trapèze. La petite base inférieure est de dimension donnée et chaque paroi oblique mesure autant que la petite base. Quelles dimensions donner à la grande base et à la hauteur pour que le débit de leau soit maximal ? 32

33 Une classe particulière en détail (fonction irrationnelle) Quont en commun les problèmes suivants : Un messager se trouve sur la berge dun fleuve de 3 km de large. Il doit se rendre à un camp situé à 8 km en aval, sur lautre berge. Le messager marche à 5 km/h et nage à 4 km/h. Où doit-il aborder pour que son trajet soit le plus rapide possible ? Un messager se trouve sur la berge dun fleuve de 3 km de large. Il doit se rendre à un camp situé à 8 km en aval, sur lautre berge. Le messager marche à 5 km/h et nage à 4 km/h. Où doit-il aborder pour que son trajet soit le plus rapide possible ? On désire tirer une ligne téléphonique entre deux points A et B distants de 50 m. A est au niveau du sol et B se trouve à 30 m de profondeur. Poser un câble sur le sol revient à 400 EUR/m mais le câble enterré, cest 700 EUR/m. Pour un coût minimal, quelle est la longueur de la portion de câble à tirer au sol ? On désire tirer une ligne téléphonique entre deux points A et B distants de 50 m. A est au niveau du sol et B se trouve à 30 m de profondeur. Poser un câble sur le sol revient à 400 EUR/m mais le câble enterré, cest 700 EUR/m. Pour un coût minimal, quelle est la longueur de la portion de câble à tirer au sol ? 33

34 Une classe particulière en détail (fonction irrationnelle) Chacun de ces problèmes conduit à létude dune fonction irrationnelle Chacun de ces problèmes conduit à létude dune fonction irrationnelle Richesse en variables didactiques Richesse en variables didactiques La fonction peut être un temps, une distance, un coût… La fonction peut être un temps, une distance, un coût… Le comportement peut être différent selon certains paramètres (vitesses dans chaque milieu…) Le comportement peut être différent selon certains paramètres (vitesses dans chaque milieu…) Plus généralement, un prétexte à lévocation : Plus généralement, un prétexte à lévocation : Du principe de moindre effort Du principe de moindre effort Du principe doptimalité Du principe doptimalité 34

35 Une classe particulière en détail (fonction irrationnelle) Une difficulté technique inhérente à cette classe : Létude de la variation de la fonction nest pas toujours simple, à cause des racines carrées; ceci perturbe les élèves, pour qui létude du signe de la dérivée première (et seconde, encore plus pénible ici) est incontournable Or : considérer les asymptotes obliques donne lallure de la fonction considérer les asymptotes obliques donne lallure de la fonction la physique du problème fait que lextremum trouvé doit être un minimum (ou un maximum) la physique du problème fait que lextremum trouvé doit être un minimum (ou un maximum) 35

36 Une classe particulière en détail (fonction irrationnelle) Une recherche dun « minimum » qui traduit un principe général de moindre effort Une recherche dun « minimum » qui traduit un principe général de moindre effort Dans un chemin optimal, tout sous­-chemin est aussi optimal Dans un chemin optimal, tout sous­-chemin est aussi optimal Dans les problèmes de ce type, on a implicitement admis que dans chaque « milieu », le chemin optimal est la ligne droite Loi de Snell-Descartes pour la réfraction (1637), Principe de Fermat (1657), Principe de moindre action de Maupertuis (1744)… Loi de Snell-Descartes pour la réfraction (1637), Principe de Fermat (1657), Principe de moindre action de Maupertuis (1744)… 36

37 Des obstacles particuliers Des obstacles récurrents 1.La mise à échelle – une solution à un multiple près Lénoncé dit « proportionnel », sans dire quel est le rapport de proportionnalité, ou « fixée » sans dire quelle valeur serait imposée Lénoncé dit « proportionnel », sans dire quel est le rapport de proportionnalité, ou « fixée » sans dire quelle valeur serait imposée Entendu : Entendu : Il manque quelque chose On ne donne pas le rapport, cest impossible Disons 1 m³, OK ? Si une grandeur (fonction) est optimale, un multiple de celle-ci le sera aussi ; il sagit dun simple choix – arbitraire – dunités Si une grandeur (fonction) est optimale, un multiple de celle-ci le sera aussi ; il sagit dun simple choix – arbitraire – dunités 37

38 2.Passer de 2D en 3D et vice versa Malaise général avec la perception 3D Malaise général avec la perception 3D Représentation simple (vue en coupe) = aide Représentation simple (vue en coupe) = aide Trouver la hauteur du cône de volume maximum qui peut être inscrit dans une sphère donnée Risque : « aplatir » lensemble du problème (les volumes devenant des aires pour certains élèves) Risque : « aplatir » lensemble du problème (les volumes devenant des aires pour certains élèves) Des obstacles particuliers 38

39 Plus difficile car demande une opération de construction : Plus difficile car demande une opération de construction : A partir du disque en fer-blanc, on veut fabriquer un entonnoir conique : on y découpe un secteur et on plie le reste en joignant les deux bords de coupe de façon à former un cône. Quel doit être la partie du secteur découpé pour que la capacité du cône obtenu soit maximale ? Des obstacles particuliers 39

40 Des obstacles particuliers 3.Savoir représenter la réalité nest pas inné On souffle trop ? Faut-il limiter la guidance ? On souffle trop ? Faut-il limiter la guidance ? Comparer les énoncés suivants : Comparer les énoncés suivants : Trouver la hauteur du cylindre de volume maximum qui peut être inscrit dans une sphère donnée Trouver la hauteur du cylindre de volume maximum qui peut être inscrit dans une sphère donnée Dans une sphère de rayon R, on inscrit un cylindre de hauteur h et de base de rayon r. On demande pour quelle hauteur h le volume du cylindre est maximal Dans une sphère de rayon R, on inscrit un cylindre de hauteur h et de base de rayon r. On demande pour quelle hauteur h le volume du cylindre est maximal Dans une sphère de rayon R, on inscrit un cylindre de hauteur h et de base de rayon r comme illustré. On demande pour quelle hauteur h le volume du cylindre est maximal Dans une sphère de rayon R, on inscrit un cylindre de hauteur h et de base de rayon r comme illustré. On demande pour quelle hauteur h le volume du cylindre est maximal 40

41 Des obstacles particuliers 4.Confondre ce qui est à optimiser et les relations entre variables Confusion, inversion, mélanges… Confusion, inversion, mélanges… Partager une somme de 75 Euros en deux montants, de sorte que le produit de lun par le carré de lautre soit maximum. Que vaut ce maximum ? solution proposée par certains : x.y²=75 solution proposée par certains : x.y²=75 Expérience à tenter avec les élèves : modifier un énoncé pour que les rôles soient échangés (classiquement : optimiser une aire ou un volume avec contrainte sur un périmètre ou une aire et vice versa) Expérience à tenter avec les élèves : modifier un énoncé pour que les rôles soient échangés (classiquement : optimiser une aire ou un volume avec contrainte sur un périmètre ou une aire et vice versa) Adosser à un mur rectiligne un poulailler rectangulaire d'aire 50 m² de façon telle que la longueur du treillis nécessaire pour clôturer soit minimale 41

42 Il faut se souvenir de tout… De quoi au juste ? De quoi a-t-on souvent besoin ? Proposer aux élèves de réaliser un pense-bête, élaborer avec eux un formulaire : cest rassurant Résultat typique : Volume (parallélépipède, cylindre, sphère, cône), aire et périmètre (carré, rectangle, losange, parallélogramme, trapèze, cercle, secteur, arc) Volume (parallélépipède, cylindre, sphère, cône), aire et périmètre (carré, rectangle, losange, parallélogramme, trapèze, cercle, secteur, arc) Vocabulaire :somme, produit, quotient, terme, facteur Vocabulaire :somme, produit, quotient, terme, facteur Trigonométrie du triangle rectangle, triangles semblables Trigonométrie du triangle rectangle, triangles semblables Thalès Thalès Angle inscrit et au centre Angle inscrit et au centre Second degré (racines, sommet) Second degré (racines, sommet) Etude du signe Etude du signe 42

43 Loptimisation comme application des dérivées Demander aux élèves : « Est-ce toujours nécessaire ? Avons-nous rencontré des contre-exemples ? » Cas identifiés sur base des exercices faits : 1.Un maximum ou un minimum peut être réalisé aux bornes de lintervalle 2.Une fonction peut être non dérivable (même en étant continue) 3.La fonction à optimiser est un trinôme du deuxième degré, une vieille connaissance 4.La fonction à optimiser possède un extrémum évident 5.Fonctions irrationnelles : recours aux asymptotes 43

44 Retour vers les auteurs Pourquoi ne pas demander aux élèves leur avis sur les conseils des auteurs ? 1. On distingue dans lénoncé les données des inconnues. 2. Parmi les grandeurs inconnues, on choisit la variable et ses bornes de variation ; on exprime les autres grandeurs inconnues en fonction de cette variable. 3. On recherche une expression analytique de la fonction traduisant les données les valeurs de la variable qui maximisent ou minimisent cette fonction 4. On calcule la dérivée de cette fonction. 5. On recherche les racines de cette dérivée ; on les confronte avec les conditions exigées dans lénoncé. 6. On vérifie que pour la (ou les) valeur(s) retenue(s), la fonction est bien maximisée ou minimisée. 7. On conclut ! 44

45 Retour vers les auteurs Pourquoi ne pas demander aux élèves leur avis sur les conseils des auteurs ? 1. Exprimer a) la quantité Q à rendre optimale (maximale ou minimale) comme fonction dune ou plusieurs variables. b) toute relation entre les variables. 2. Utiliser ces relations pour exprimer Q comme fonction dune seule variable et déterminer lensemble D des valeurs admissibles de cette variable. 3. Rechercher les points critiques de cette fonction sans oublier de contrôler ce qui se passe aux bords de D. Il faut donc dériver Q par rapport à la variable, résoudre Q=0 et étudier le signe de Q. 4. Vérifier le résultat. 45

46 Retour vers les auteurs Pourquoi ne pas demander aux élèves leur avis sur les conseils des auteurs ? 1. Lisez le problème attentivement et plusieurs fois en faisant la distinction entre les données et les inconnues. 2. Faites un schéma ou un diagramme, si c'est possible, et profitez- en pour donner des noms aux variables inconnues. Les inconnues se repèrent dans l'énoncé aux termes « quel, chercher, combien, à quelle distance, ou quand ». 3. Mettez par écrit les éléments donnés du problème ainsi que toute relation entre les variables. 4. Déterminez quelle est la variable à maximiser ou minimiser et exprimez-la en fonction d'une seule des autres variables. 5. Cherchez les points critiques de la fonction obtenue au point Calculez les extremums à l'aide de la marche à suivre (…) ou des tests de la dérivée première ou seconde. Contrôlez ce qui se passe aux extrémités de l'intervalle le cas échéant. 46

47 Retour vers les auteurs Pourquoi ne pas demander aux élèves leur avis sur les conseils des auteurs ? Il n'y a pas à proprement parler de règles strictes et rapides qui permettent à coup sûr de résoudre des problèmes. 47

48 Retour sur lutilisation dune catégorisation Les élèves jouent collectivement le rôle d« analystes du savoir », en étudiant la manière dont les problèmes ont été appréhendés et résolus, en exprimant et analysant leurs obstacles, en explorant les types de tâches associées aux diverses classes de problèmes et les techniques les plus efficaces Les élèves jouent collectivement le rôle d« analystes du savoir », en étudiant la manière dont les problèmes ont été appréhendés et résolus, en exprimant et analysant leurs obstacles, en explorant les types de tâches associées aux diverses classes de problèmes et les techniques les plus efficaces Pas de quête dune recette miracle, mais une focalisation sur la reconnaissance de classes de problèmes identifiées et travaillées préalablement, comme observé chez les experts Pas de quête dune recette miracle, mais une focalisation sur la reconnaissance de classes de problèmes identifiées et travaillées préalablement, comme observé chez les experts A rapprocher du comportement du crisis manager : A rapprocher du comportement du crisis manager : Au fur et à mesure qu'il gère des crises, le crisis manager construit un savoir-faire d'expérience par lequel il se dote d'une classification des crises ainsi que d'un répertoire de procédures adaptées. Bref, au fur et mesure que le crisis manager acquiert de lexpertise, la notion de crise se dissout progressivement (M. Crahay) 48


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