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Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Matrices 27 36 39 43 68 55 33 58 49.

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1 Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Matrices

2 Nous présentons ici la notion de matrice, les opérations daddition et de multiplication par un scalaire ainsi que la transposition des matrices. Introduction Les mises en situation utilisées dans cette présentation sont du domaine de ladministration. Elles ont le mérite dêtre simples, car elles visent à donner un sens concret aux notions présentées sans surcharger ce premier contact avec des notions trop complexes.

3 Mise en situation Deux marchands ambulants vendent des jus de fruits dans les parcs de la municipalité durant les fins de semaine. Dans les tableaux suivants, on a compilé les ventes dans chaque parc pour les trois jours dune fin de semaine PARC BEAUSÉJOUR Jours Vendredi Samedi Dimanche OrangeRaisinPomme Jus PARC DE LA MAIRIE Jours Vendredi Samedi Dimanche OrangeRaisinPomme Jus

4 Représentation par des matrices Ces tableaux donnent une information que lon peut véhiculer sans tenir compte des en-têtes si on conserve la même structure, cest-à-dire la même disposition des nombres. Ces nouveaux tableaux sont appelés des matrices. Les matrices sont notre premier objet détudes en algèbre linéaire, donnons de ce nouvel objet une définition précise

5 Matrice On appelle matrice tout tableau rectangulaire de la forme : où les a ij sont les éléments de la matrice. Lindice i indique la ligne de lélément et lindice j, sa colonne. Ces indices donnent ladresse de lélément. On dit quune matrice qui comporte m lignes et n colonnes est une matrice de dimension mxn (ce qui se lit m par n). a 12 est lélément «a un deux» et non pas «a douze». DÉFINITION a 11 a 21 a m a 12 a 22 a m a 1n a 2n a mn m n a ij...

6 Notations On représente normalement une matrice par une lettre majuscule, A, B, C, …. Pour des matrices dont les éléments sont inconnus, on emploiera les majuscules X, Y et Z. Lorsquil est nécessaire de préciser la dimension dune matrice, on écrit A m n pour représenter une matrice A de dimension m n. Lensemble des matrices de dimension mxn sera noté M m n. Ainsi, on notera M 2 3 lensemble de toutes les matrices de dimension 2 3. On peut également représenter par (a ij ) ou (a ij ) m n une matrice de dimension m par n dont les éléments sont les a ij.

7 Égalité de matrices Deux matrices A m n et B p q sont égales si et seulement si : les matrices ont la même dimension (m = p et n = q); les éléments de même adresse sont égaux (a ij = b ij, pour tout i et pour tout j). On emploiera le signe dégalité usuel pour légalité des matrices = DÉFINITION

8 Opérations sur les matrices On peut définir différentes opérations sur les matrices. Laddition et la multiplication par un scalaire sont les deux premières que nous verrons. Considérons à nouveau les matrices des ventes dans les parcs de la municipalité. En additionnant les éléments de même adresse entre eux, on obtient la somme des ventes par jour pour chaque sorte de jus durant la fin de semaine considérée. Mise en situation On doit donc additionner les éléments de même adresse entre eux. Cela nous indique comment définir laddition B + M = +=

9 Addition de matrices Soit A = (a ij ) et B = (b ij ), deux matrices de même dimension m n. DÉFINITION A + B = (a ij ) + (b ij ) = (a ij + b ij ) Cette définition signifie que la somme des matrices est obtenue en additionnant les éléments de même adresse entre eux. Cela respecte la structure de linformation véhiculée par les matrices –3 – –2 1 = La somme de ces matrices, notée A + B, est une matrice de dimension m n définie par :

10 Multiplication par un scalaire Supposons que le tableau ci-contre donne les prix de vente et les coûts unitaires des jus de nos marchands ambulants. Mise en situation Supposons que le propriétaire de lentreprise envisage de majorer ses prix de 20 %. On peut déterminer la nouvelle matrice des prix par une opération sur la matrice ,00 1,40 1, = 1,2 1,2 1,00 1,2 1,40 1,2 1,20 P = 3 1 = 1,20 1,68 1,44 À partir de ce tableau, on peut écrire la matrice des prix. 1,00 1,40 1,20 0,40 0,60 0,50 Jus Orange Raisin Pomme PrixCoût 1,2

11 Multiplication par un scalaire Soit A = (a ij ), une matrice de dimension m n et k, un scalaire (nombre réel). DÉFINITION kA = k(a ij ) = (ka ij ) Cette définition signifie que chaque élément de la matrice A est multiplié par le scalaire k –3 – k –3 k –2 k 5 k 6k4k6k4k = La multiplication de la matrice A par le scalaire k donne une matrice notée kA kA = k et définie par légalité :

12 Transposition dune matrice Considérons à nouveau le tableau donnant les prix de vente et les coûts unitaires des jus de nos marchands ambulants et la matrice véhiculant cette même information. On peut également transmettre cette information par le tableau et la matrice ci-dessous ,00 1,40 1,20 0,40 0,60 0,50 C = 1,00 1,40 1,20 0,40 0,60 0,50 Orange Raisin Pomme PrixCoût 1,00 0,40 1,40 0,60 Prix Coût OrangeRaisinPomme 1,20 0, ,00 0,40 D = 1,40 0,60 1,20 0,50 Les matrices C et D sont dites matrices transposées lune de lautre.

13 Transposition dune matrice Soit A = (a ij ), une matrice de dimension m n. DÉFINITION La matrice transposée de la matrice A = (a ij ) m n est donc la matrice définie par A t = (b ij ) n m, où b ij = a ji –3 – –2 6 –3 5 4 On appelle matrice transposée de A, notée A t, la matrice de dimension n m dont la i e colonne est la i e ligne de la matrice A pour i = 1, 2,..., m. A =A t =

14 Exercices Trouver les éléments de la matrice a + b 2c – d c a – b A =, sachant que : acac bdbd = A = Soit B = et C = 2121 – –3 2 1 – Calculer 2B = –3C = Cliquer pour la réponse – –6 –3 6 –3 –9 Cliquer pour les réponses. Calculer 4B – 2C = ; B t + C t = 14 0 – – Cliquer pour les réponses.

15 Vocabulaire Avec les matrices, on utilise un vocabulaire descriptif. Matrice nulle : matrice dont tous les éléments sont nuls. Matrice carrée : matrice dont le nombre de lignes est égal au nombre de colonnes. On dit quelle est dordre n, où n est le nombre de lignes et de colonnes Lautre diagonale est appelée diagonale secondaire. 2 1 – –3 5 Dans une matrice carrée, les éléments a 11 a 22 a 33 …a nn forment la diagonale principale a 11 a 21 a n a 12 a 22 a n a 1n a 2n a nn n a ii...

16 Matrices particulières Matrice triangulaire supérieure : matrice carrée dont tous les éléments sous la diagonale principale sont nuls –3 5 Matrice triangulaire inférieure : matrice carrée dont tous les éléments au-dessus de la diagonale principale sont nuls Matrice diagonale : matrice carrée dont tous les éléments hors de la diagonale principale sont nuls –2 Matrice scalaire : matrice diagonale dont tous les éléments non nuls sont égaux Matrice identité : matrice scalaire dont le scalaire est 1. On la représente par I

17 Matrices particulières Matrice symétrique : matrice carrée qui est sa propre transposée; A t = A 2 –3 4 –3 6 –2 4 –2 4 Matrice antisymétrique : matrice carrée A dont la transposée est – A; A t = –A –6 0 –2 –5 2 0

18 Propriétés des opérations Pour toute matrice A, B et C M m n et pour tout scalaire p et q R, les propriétés suivantes sappliquent : 1.Fermeture de laddition sur lensemble des matrices 2. Commutativité de laddition 3. Associativité de laddition des matrices 4.Existence dun élément neutre pour laddition des matrices 5.Existence dun élément inverse pour laddition A + B M m n A + B = B + A A + (B + C) = (A + B) + C Il existe, dans M m n, une matrice nulle, notée 0, telle que : A + 0 = 0 + A = A Pour toute matrice A M m n, il existe, dans M m n, une matrice opposée, notée –A, telle que : A + (–A) = (–A) + A = 0

19 Propriétés des opérations 6.Fermeture de la multiplication par un scalaire sur lensemble des matrices 7.Distributivité de la multiplication dune matrice sur une somme de scalaires 8.Distributivité de la multiplication par un scalaire sur une somme de matrices 9.Associativité de la multiplication dune matrice avec le produit de scalaires 10.Élément neutre pour la multiplication dune matrice par un scalaire Pour toute matrice A, B et C M m n et pour tout scalaire p et q R, les propriétés suivantes sappliquent : pA M m n (p + q)A = pA + qA p(A + B) = pA + pB (pq)A = p(qA) 1A = A

20 Conclusion À partir des matrices véhiculant de linformation, comme les ventes par jour de la mise en situation, nous avons vu quil est possible, par les opérations daddition et de multiplication par un scalaire, de tirer des informations supplémentaires des données de départ. Les matrices sont de nouveaux objets mathématiques et lusage lorsquon aborde létude de nouveaux objets est : de définir à quelles conditions deux tels objets sont égaux; de définir les opérations sur ces objets; de déterminer les propriétés de ces opérations. Les propriétés des opérations sont données en page 7 du volume.

21 Exercices Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 10.2, p. 304 et 305. Lecture Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 10.1, p. 297 à 303.


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