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5. Les mouvements usuels - Mouvement rectiligne - mouvement 2D (circulaire, parabolique - exemple de mouvement 3D.

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1 5. Les mouvements usuels - Mouvement rectiligne - mouvement 2D (circulaire, parabolique - exemple de mouvement 3D

2 Mouvement rectiligne Mvt rectiligne uniforme (MRU) a = 0; v=v 0 ; équa. horaire : x(t) = v 0 t + x 0 (a n = 0, a = a t ) Mvt rectiligne uniformément varié a = a 0 ; v = a 0 t + v 0 ; équa. horaire : x(t) = ½ a 0 t² + v 0 t + x 0

3 Mouvement circulaire Rayon courbure = rayon du cercle R C =R Mvt circulaire uniforme (MCU) v = v 0 ; a t = 0 ; a n =v 0 ²/R ; a=v 0 ²/R a perpendiculaire à v acc. Centripète

4 Mouvement circulaire uniforme (2) a n = v 0 ²/R ou = R ² a t = 0 O v0v0 a (= a n )

5 Mouvement circulaire uniforme (3) En coordonnées polaires : r(t)=R; θ(t)= ? v(M)=rθ e θ = Rθ e θ v = Rθ ; v 0 = Rθ θ = v 0 /R = cste, notée vitesse angulaire (rd/s) dotée dun signe >0 si rotation sens trigo <0 si rotation horaire θ (t) = t + θ 0 croissante ou décroissante

6 Mouvement circulaire varié v = v(t) ; dv/dt 0 ; a t 0 a t 0 (v ) a n = v²/R nest plus cste Coordonnées polaires : r(t)=R θ = v(t)/R fonction de t (θ indique une cste ) θ(t) = θ(t)dt

7 Mouvement circulaire varié (2) O v0v0 anan atat

8 Mouvement circulaire varié (3) a(M) et v(M) non perpendiculaires (composante tangentielle a t ) α 0) α > pi/2 si le mvt est retardé (prod. scalaire a.v < 0) α

9 Mouvement uniformément accéléré 2D (parabolique) Se produit quand a 0 (cste) non perpendiculaire à v 0 a(M) = a 0 v(M) = v 0 + a 0 t OM = OM 0 + v 0 t + ½ a 0 t² M 0 M = v 0 t + ½ a 0 t² => le mvt est plan

10 Mouvement uniformément accéléré 2D (2) Prendre Oy (ou Ox) colinéaire à a 0 Projeter v 0 sur Ox et Oy a0a0 v 0X v 0y a x = 0 a y = a 0 v x = v 0x v y = v 0y + a 0 t x(t) = x 0 + v 0x t y(t) = y 0 + v 0y t + ½ a 0 t²

11 Mouvement uniformément accéléré 2D (3) Exemple: chute libre avec vitesse initiale v 0 inclinée dun angle α ….. x(t) = x 0 + (v 0 cos )t y(t) = y 0 + (v 0 sin )t – ½ gt²

12 Étude dun mouvement 3D Mouvement hélicoïdal uniforme – rotation uniforme dans 1 plan (MCU) – translation rectiligne uniforme à la verticale du même plan (MRU) + = P P

13 Mvt hélicoïdal uniforme La vitesse est uniforme (rotation + translation) Coordonnées cylindriques r(t) = R θ(t) = ωt z(t) = Ct (avec C = λω λ, en m, est appelé pas de lhélice )

14 Mvt hélicoïdal uniforme (2) Vecteur position : OM = R e r + λωt e z O M N z = λωt r = R

15 Mvt hélicoïdal uniforme (3) Vecteur position : OM = R e r + λωt e z de r /dt = ωe θ Vitesse : v(M) = Rω e θ + λω e z de θ /dt = – ωe r accélérat° : a(M) = – Rω² e r

16 O M N a(M) vθvθ vzvz v(M) Mvt hélicoïdal uniforme (4)

17 Mvt hélicoïdal uniforme (5) Norme de la vitesse : v = v θ ² + v z ² = (Rω)²+(λω)² v = ω R² + λ² (cste) Abscisse curviligne : s(t) = v dt s(t) = ωt R² + λ²

18 Mvt hélicoïdal uniforme (6) Vecteur tangent : à partir de v(M) – exprimer dans la base cylindrique – projeter en coordonnées cartésiennes

19 Mvt hélicoïdal uniforme (7) Vecteur normal : méthode classique …. Rem: a(M) purement normale (v=cste a t =0) N = a(M) / ||a(M)||

20 Mvt hélicoïdal uniforme (8) En coordonnées cartésiennes

21 Mvt hélicoïdal uniforme (9) Rayon de courbure : au choix 1. norme de (dT/dt/) / v … 2. v 3 / norme de (v^a) 3. par laccélération normale (cours pdf) …… R C = R + λ²/R

22 Mvt hélicoïdal uniforme (10) 0- Rω²00 v ^ a =Rω^0= - Rλω 3 = Rω 3 -λ λω0R²ω 3 R || v ^ a || = Rω 3 R² + λ² v = ω R² + λ² v 3 / || v ^ a || = (R² + λ² )/R R c = R + λ²/R

23 nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/Ci nematique/Helice.html nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/Ci nematique/Helice.html


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