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Géométrie analytique Distance dun point à une droite.

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1 Géométrie analytique Distance dun point à une droite

2 La formule calculant la distance dun point à une droite nous permet de déterminer la longueur du segment qui relie ce point à la droite. Cette distance doit être la plus courte possible. Cest donc le segment perpendiculaire à la droite qui est le plus court chemin. La formule calculant la distance dun point à une droite tient donc compte de ce principe.

3 d1d1 d2d2 ( 6, 4 ) Soit la droite d 1 ayant comme équation y 1 = - 2x + 6 ; on cherche la distance entre le point ( 6, 4 ) et cette droite. 1)Déterminons la pente de la droite d 2 : m d 1 = - 2 d 1 d 2 donc m d 2 = 1 2 2)Déterminons léquation de la droite d 2 : y = mx + b 1 2 y = x + bavec ( 6, 4 )4 = X 6 + b = 3 + b 1 = b Équation d 2 : y = 0,5 x + 1 Distance dun point à une droite oblique.

4 d1d1 d2d2 ( 6, 4 ) 3)Déterminons les coordonnées du point dintersection des droites d 1 et d 2 : En utilisant la méthode de comparaison : y = - 2x + 6y = 0,5 x x + 6 = 0,5x = 2,5x 2 = x y = 0,5 x + 1 y = 0,5 X = 2 Coordonnées du point dintersection ( 2, 2 )

5 d1d1 d2d2 ( 6, 4 ) 4)Calculons la distance entre le point dintersection des deux droites et le point ( 6, 4 ) : P1P1 P2P2 ( x1x1 x2x2 - ) 2 ( y1y1 y2y2 - ) 2 + d (P 1, P 2 ) = P 1 ( 2, 2 ) P 2 ( 6, 4 ) ( ) 2 ( ) 2 + d (P 1, P 2 ) = ,472 Distance du point P 2 à la droite d 1 4,472

6 d1d1 d2d2 ( 6, 4 ) P1P1 P2P2 Il existe des formules construites à partir de ce raisonnement. Elles permettent de calculer la distance dun point à une droite, plus rapidement. Avec une équation écrite sous la forme fonctionnelle: d ( P, d )= ax 1 -y1y1 + b a a : la pente de la droite; b : lordonnée à lorigine de la droite x 1 et y 1 : les coordonnées du point Remarque :Le numérateur est en absolu pour sassurer dune réponse positive. y = ax + b

7 Soit la droite d 1 ayant comme équation y = - 2x + 6 ; on cherche la distance entre le point ( 6, 4 ) et cette droite d1d1 d2d2 ( 6, 4 ) P1P1 P2P2 d ( P, d )= ax 1 -y1y1 + b a a = - 2b = 6x 1 = 6y 1 = 4 d ( P, d )= -2 X (-2) d ( P, d )= d ( P, d )= = = ,472 Remarque: Attention aux priorités dopérations et aux signes. Problème

8 d1d1 d2d2 ( 6, 4 ) P1P1 P2P2 Il existe une formule similaire quand léquation est écrite sous la forme générale : d ( P, d )= Ax 1 +By 1 + C A 2 + B 2 A, B et C sont les paramètres de léquation écrite sous la forme générale. x 1 et y 1 sont les coordonnées du point. Ax + By + C = 0

9 Soit la droite d 1 ayant comme équation y = - 2x + 6 ; on cherche la distance entre le point ( 6, 4 ) et cette droite. Problème d1d1 d2d2 ( 6, 4 ) P1P1 P2P2 Ramenons léquation, forme fonctionnelle, sous la forme générale : y = - 2x + 62x + y - 6 = 0 d ( P, d )= Ax 1 +By 1 + C A 2 + B 2 A = 2B = 1C = - 6x 1 = 6y 1 = = = ,472 d ( P, d )= 2 X 6+1 X = Remarque:La formule de la distance dun point à une droite permet de mesurer la longueur dun segment. Intéressant, entre autre, pour trouver la mesure dune hauteur.

10 Distance dun point à une droite parallèle à laxe des ordonnées. Une droite parallèle à laxe des ordonnées possède toujours la même abscisse; | x 2 – x 1 | | 6 – 2 | = d ( P, d 1 ) : on calcule simplement la différence des abscisses entre le point et la droite en valeur absolue; x y P ( 6, 3 ) d1d1 4 Cas particuliers

11 Distance dun point à une droite parallèle à laxe des abscisses. Une droite parallèle à laxe des abscisses possède toujours la même ordonnée; | y 2 – y 1 | | 6 – 1 | = d ( P, d 1 ) : on calcule simplement la différence des ordonnées entre le point et la droite en valeur absolue; 5 x y P1P1 ( 2, 6 ) d1d1


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