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Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Déterminants.

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1 Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Déterminants

2 Introduction Il est souvent intéressant demployer des lettres au lieu des nombres lorsquon applique une procédure. Cela permet de découvrir des aspects qui sont cachés par les nombres. Cest ce que nous nous proposons de faire pour introduire la notion de déterminant et la méthode de Cramer pour un système de deux équations linéaires à deux inconnues. Nous allons dabord résoudre un tel système dont les coefficients et les constantes sont des lettres en utilisant la méthode de Gauss. Les expressions obtenues par cette méthode vont nous permettre de présenter la notion de déterminant dordre 2 et la méthode de résolution de Cramer. Par la suite, nous verrons comment généraliser la notion de déterminant.

3 Mise en situation Considérons le système déquations : Résolvons par la méthode de Gauss. ax + by = e cx + dy = f abe cdf L1L1 ab e 0ad – cbaf – ce aL 2 – cL1cL1 Si ad – cb 0, on peut isoler y et, en substituant dans la première équation, on trouve : ed – fb ad – cb af – ce ad – cb x = et y = Le dénominateur de chacune de ces expressions est ad – cb et cette différence de produits est formée des coefficients du système déquations. ab cd = ad–cb Le nombre obtenu en effectuant le calcul de cette différence de produits est appelé déterminant de la matrice A des coefficients.

4 Déterminant dordre 2 On remarquera que la matrice est notée avec des parenthèses alors que le déterminant est noté avec des barres verticales. DÉFINITION a 11 a 21 a 12 a 22 Soit A =, une matrice carrée dordre 2. Le déterminant de la matrice A est défini par : a 11 a 21 a 12 a 22 det A = = a 11 a 22 – a 21 a 12 Notation

5 Mise en situation (suite) On constate facilement que le numérateur de chacune des expressions donnant la solution du système déquations linéaires ci-contre peut également sexprimer comme un déterminant. ax + by = e cx + dy = f Si ad – cb 0, on peut trouver la solution dun système de deux équations à deux inconnues en calculant ces déterminants. Cette méthode de résolution est appelée Méthode de Cramer en hommage au mathématicien Gabriel Cramer (voir note historique p.77 du volume). eb fd ab cd ab cd ae cf ed – fb ad – cb x = = af – ce ad – cb et y == Si ad – cb = 0, cette méthode nest pas utilisable et il faut prendre la méthode de Gauss-Jordan.

6 Méthode de Cramer Procédure pour résoudre un système de 2 équations à 2 inconnues par la méthode de Cramer. 1.Calculer le déterminant de la matrice des coefficients pour sassurer que le système a une solution unique : det A 0, où A est la matrice des coefficients. 2.Construire et calculer le déterminant associé à la i e inconnue en substituant la colonne des constantes à la colonne des coefficients de cette inconnue : det A i, où i = 1, 2. 3.Calculer le quotient du déterminant associé à linconnue sur le déterminant de la matrice des coefficients : x i = (det A i )/(det A). 4.Répéter les étapes 2 et 3 pour la deuxième inconnue.

7 Le déterminant est non nul, le système a donc une solution unique et la méthode de Cramer est utilisable. On trouve alors : Exemple Résoudre le système déquations ci-contre par la méthode de Cramer, si elle est utilisable. 2x + 3y = 5 ( 1 ) 3x + 4y = 8 ( 2 ) 20 – 24 –1 16 – 15 –1 x = y = Solution = = = 2 4 – 3 3 = 8 – 9 = –1 0 Calculons dabord le déterminant : = 4 = –1 La solution est donc (4; –1). 2 1 (4; –1) 23 34

8 Exercice Résoudre le système déquations ci-contre par la méthode de Cramer, si elle est utilisable. 2x – 5y = 5 ( 1 ) 3x – 6y = 9 ( 2 ) – – 15 3 x = y = Solution Le déterminant est non nul, le système a donc une solution unique et la méthode de Cramer est utilisable. On trouve alors : 5–5 9–6 2–5 3–6 2–5 3– = = 2–5 3–6 = 2 (–6) – 3 (–5) = – = 3 0 Calculons dabord le déterminant : = 5 = 1 La solution est donc (5; 1). S 1 2 (5; 1)

9 Mineur et cofacteur dun élément Pour voir comment calculer un déterminant dordre plus grand que 2, nous aurons besoin de quelques définitions.. Déterminer la sous-matrice A 23. Pour obtenir la sous-matrice A 23, il faut éliminer la ligne 2 et la colonne 3, cela donne : DÉFINITION Exemple –1 A 23 = On appelle sous-matrice A ij la matrice dordre n – 1 obtenue en supprimant la ie ie ligne et la je je colonne de la matrice A.A. S. Déterminer le mineur de a 12. En éliminant la ligne 1 et la colonne 2, on a la sous-matrice : –6 8 7 –4 A 12 =, le mineur est : –6 8 7 –4 M 12 == 24 – 56 = –32. S. Déterminer la signature de a 12. La signature de lélément a 12 est (–1) 1+2 = –1. La signature dun élément est positive lorsque i + j est pair et négative lorsque i + j est impair. S C 32 = (–1) 3+2 M 32 = (–1) 5 5 –6 –3 7 = –1 (35 – 18) = –17. Soit la matrice A = 5 – –1 –3 7 –4. Déterminer le cofacteur de a 32. Le cofacteur de lélément a 32 est le produit de son mineur et de sa signature, cela donne : Le mineur dun élément a ij est le déterminant de la sous-matrice A ij. On note M ij le mineur de lélément a ij. La signature dun élément a ij est donnée par (–1) i + j.j. Soit A, une matrice carrée dordre n 2. Le cofacteur dun élément a ij, noté C ij, est le produit de son mineur par sa signature, soit : C ij = (–1) i + j M ij.

10 Déterminant dordre n DÉFINITION Le déterminant dune matrice carrée dordre n est obtenu en effectuant la somme des produits de chaque élément dune ligne (ou dune colonne) quelconque par son cofacteur. Procédure pour calculer un déterminant par les cofacteurs. 1.Choisir une ligne ou une colonne pour développer le déterminant. 2.Multiplier chaque élément de la ligne ou de la colonne choisie par son cofacteur (ne pas oublier la signature). 3.Faire la somme des produits obtenus.

11 S Exemple Soit la matrice A = –2 –3 – Calculer det A, en développant selon la première ligne. det A = = 3C 11 + (–2)C C 13 = 3 (–1) 1+1 M 11 + (–2)(–1) 1+2 M 12 + (–1) 1+3 M 13 = 3 (–1) 2 M 11 + (–2)(–1) 3 M 12 + (–1) 4 M 13 = 3 –3 – –3 – –2 –3 – = 3(–6 + 4) + 2(4 – 20) +1(–2 + 15) = –6 – = –25. Calculer det A, en développant selon la deuxième colonne. det A = = –2C 12 – 3C 22 – 1C 32 = –2 (–1) 3 M 12 – 3(–1) 4 M 22 – 1 (–1) 5 M 32 = –3 = 2(4 – 20) – 3(6 – 5) +1(12 – 2) = – 32 – = – –2 –3 – –2 –3 –

12 S Exercice Soit la matrice A = –3 1 2 Calculer det A, en développant selon la deuxième ligne. det A == –4 1 5 – 1 – Calculer det A, en développant selon la troisième colonne. = –4(2 + 15) + 2(4 + 6) – 1(10 – 2) = –56. S det A == – – = –3(20 – 4) – 1(10 – 2) + 2(4 – 4) = –56.

13 + – + – + – + – + Développement de Laplace La signature des éléments dune matrice carrée de dimension 3 est donnée ci-contre. DÉFINITION Le déterminant dune matrice carrée A dordre n est défini symboliquement de la façon suivante : Pour un développement selon une ligne p quelconque : det A = a p1 C p1 + a p2 C p a pn C pn Pour un développement selon une colonne r quelconque : det A = a 1r C 1r + a 2r C 2r a nr C nr Cette définition symbolique est appelée développement de Laplace en hommage à Pierre-Simon, marquis de Laplace (voir note p. 67). Lorsque la signature dun élément est négative, on change le signe de son mineur pour obtenir son cofacteur. Lorsque la signature est positive, on conserve le même signe.

14 S Essayons de voir pourquoi on obtient toujours la même valeur quelle que soit la ligne ou la colonne selon laquelle on développe le déterminant. Pour ce faire, utilisons des lettres comme éléments et développons le déterminant selon la première ligne. Déterminant det A = = a e h + c f i d g f i d g e h – b = a(ei – hf) – b(di – gf) + c(dh – ge) = aei – ahf – bdi + bgf + cdh – cge, par distributivité; = bgf – cge – ahf + cdh + aei – bdi, par associativité et commutativité; = g(bf – ce) – h(af – cd) + i(ae – bd), par distributivité; = g b e + i c f a d c f a d b e – h adgadg behbeh cficfi adgadg behbeh cficfi = det A= On voit que ce déterminant est formé de six produits. Dans chacun de ces produits, il y a un élément de chaque ligne et un élément de chaque colonne. Il y a donc seulement six produits possibles. Regroupons ces six termes autrement pour mettre en évidence les éléments de la troisième ligne.

15 S Déterminant dordre 4 (exemple 3.1.5) Développons le déterminant selon la troisième colonne, les zéros faciliteront les calculs. = –3 – 2 = –3C C C C –5 – –1 6 = –3[2(46) – 3(35) + 4(32)] – 2[2(32) – 2(–2) + 3(–21)] Calculer det A = –5 – –1 6 8 Le déterminant est donc – 355. La définition de déterminant sapplique à toute matrice carrée quelle que soit sa dimension. = –3[92 – ] – 2[ – 63] = – 355.

16 S Matrice des cofacteurs et matrice adjointe Déterminer cof A –5 10 Soit A, une matrice carrée dordre n 2. La matrice des cofacteurs de A est la matrice, notée cof A, obtenue en remplaçant chaque élément de A par son cofacteur. DÉFINITION –2 6 –5 10 – –5 2 –2 3 –5 2 – S – – – – = S S Soit A, une matrice carrée dordre n 2. La matrice adjointe de A, notée adj A, est la transposée de la matrice des cofacteurs de A. adj A = (cof A) t cof A = 50 –4 –17 – – Exemple Déterminer adj A. 2 – –5 10 Soit la matrice A =. cof A = 50 –4 –17 – – adj A = 50 –10 –28 –4 2 – S Déterminer A adj A. S A adj A = –4 2 – = Intriguant! S Considérons lélément en position a 11 dans ce produit. Explication On constate facilement quil est obtenu en faisant la somme des produits des éléments de la première ligne par leur cofacteur. Cest donc le déterminant de A. Il en est de même pour les autres éléments de la diagonale de déterminants. On peut facilement montrer que cest une propriété générale. Pour les éléments hors diagonale, nous donnerons lexplication après avoir vu les propriétés des déterminants. 2 – – –10 –28

17 Conclusion Le déterminant est une fonction qui, à une matrice carrée, associe un nombre réel unique. On calcule celui-ci en faisant la somme des produits de chaque élément dune ligne (ou dune colonne) par son cofacteur. À laide des déterminants dordre 2, on peut résoudre un système de deux équations à deux inconnues (méthode de Cramer) lorsque le déterminant de la matrice des coefficients est non nul. À laide des déterminants, on peut construire la matrice des cofacteurs et la matrice adjointe dune matrice carrée. Le produit de la matrice A et de son adjointe donne une matrice scalaire dont les éléments de la diagonale sont égaux au déterminant de la matrice.

18 Exercices Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences de la nature, section 3.2, p. 67 et 68. Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences humaines, section 3.2, p. 67 et 68. Lecture Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences de la nature, section 3.1, p. 61 à 67. Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences humaines, section 3.1, p. 61 à 67.


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