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Une brève introduction au CHAOS. Les deux séries de données suivantes se ressemblent beaucoup sur l l la moyenne l l laspect irrégulier l l le spectre.

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1 Une brève introduction au CHAOS

2 Les deux séries de données suivantes se ressemblent beaucoup sur l l la moyenne l l laspect irrégulier l l le spectre dintensité

3

4 Données 1 Hasard x(n) = RND (random)

5 CHAOS Déterministe x(n+1) = 3,95 x(n) [1-x(n)] Données 2

6 etc.

7

8 Données 1 générées par le Hasard x(n) = RND (random)

9 Données 2 générées par un CHAOS déterministe x(n+1) = 3,95 x(n) [1-x(n)] x(n+1) x(n)

10 Définition CHAOS Déterministe on prédit cette valeur avec ces valeurs

11 CHAOS Petit nombre de Variables x(n+1) = f(x(n), x(n-1), x(n-2)) Définition

12 CHAOS Résultat Complexe

13 Propriétés CHAOS Espace des phases de basse dimension espace des phases d, hasard d = 1, chaos

14 Propriétés CHAOS Sensibilité aux conditions initiales Valeurs initiales très proches Valeurs finales très différentes

15 Propriétés CHAOS Bifurcations Petit changement pour un paramètre Un pattern Un pattern différent

16 Séries temporelles X(t) Y(t) Z(t) enchassées

17 Espace des phases X(t) Z(t) Y(t)

18 Attracteurs dans lespace des phases Equation logistique X(n+1) X(n) X(n+1) = 3,95 X(n) [1-X(n)]

19 Attracteurs dans lespace des phases Equations de Lorenz X(t) Z(t) Y(t)

20 X(n+1) X(n) Equation logistique espace des phases Séries fonction du temps d<1 Le nombre de variables indépendantes est la valeur entière juste supérieure à la dimension fractale d de lattracteur Ici d < 1, donc léquation des séries f(t) qui ont généré cet attracteur depend d1 variable indépendante.

21 Equations de Lorenz espace des phasesséries f(t) d =2.03 Le nombre de variables indépendantes est le nombre entier juste supérieur à la dimension fractale d de lattracteur Ici d = 2.03, donc léquation des séries f(t) qui ont généré cet attracteur depend de 3 variables indépendantes.. X(t) Z(t) Y(t) X(n+1) n

22 Données 1 Séries temporelles Espace des phases avec attracteur dont la dimension fractale tend vers linfini Quand, Les séries temporelles ont été générées par un mécanisme aléatoire. d

23 Données 2 séries temporelles espace des phases d = 1 Quand d = 1, les séries ont été générées par un mécanisme déterministe.

24 Construit par des mesures directes: Espace des phases Chaque point dans lespace des phases a des coordonnées X(t), Y(t), Z(t) Mesures X(t), Y(t), Z(t) Z(t) X(t) Y(t)

25 Construit à partir dune seule variable Espace des phases Théorème de Takens Takens 1981 In Dynamical Systems and Turbulence Ed. Rand & Young, Springer-Verlag, pp X(t+ t) X(t+2 t) X(t) chaque point dans lespace des phases a des coordonnées X(t), X(t + t), X(t+2 t)

26 vitesse (cm/sec) Position et vitesse de déplacement de la membrane dune cellule ciliée de loreille interne Teich et al Acta Otolaryngol (Stockh), Suppl. 467 ; x déplacement (cm) stimulus = 171 Hz Rappel physiologique :

27 vitesse (cm/sec) Position et vitesse de déplacement de la membrane dune cellule ciliée de loreille interne Teich et al Acta Otolaryngol (Stockh), Suppl. 467 ; x déplacement (cm) stimulus = 610 Hz -3 x x x 10 -5

28 micro-électrode cellule cardiaque de poussin source électrique voltmètre Cellules myocardiques de poussin v Glass, Guevara, Bélair & Shrier Phys. Rev. A29:

29 Battement spontané, pas de stlimulation externe Cellules myocardiques de poussin voltage temps

30 Stimulées périodiquement 2 stimulations - 1 battement Cellules myocardiques de poussin 2:1

31 Cellules myocardiques de poussin 1:1 Stimulées périodiquement 1 stimulation - 1 battement

32 Cellules myocardiques de poussin 2:3 Stimulées périodiquement 2 stimulations - 3 battements

33 Stimulation périodique - réponse chaotique Le Pattern de battement des cellules myocardiques de poussin Glass, Guevara, Bélair & Shrier.1984 Phys. Rev. A29:

34 Le Pattern de battement des cellules myocardiques de poussin Glass, Guevara, Belair & Shrier.1984 Phys. Rev. A29: Tant que la courbe dans lespace des phases est de dimension 1, la synchronisation entre les battements de ces cellules peut être décrite par une relation déterministe.

35 Procédure 1 Séries temporelles Par ex. le voltage en fonction du temps 2 Représenter les séries temporelles en un objet géométrique. Cette opération sappelle enchassement (embedding )

36 Procédure 3 Déterminer les propriétés topologiques de cet objet et particulièrement, et particulièrement, sa dimension fractale sa dimension fractale 4 Dimension fractale élevée = hasard = hasard Dimension fractale basse Dimension fractale basse = Chaos déterministe = Chaos déterministe

37 Dimension fractale d: combien de nouveaux détails de la série temporelle apparaissent quand ils sont observés à une échelle de résolution temporelle plus fine. X temps

38 Dimension fractale: La dimension d de lattracteur dans lespace des phases est corrélé au nombre de variables indépendantes X temps d x(t) x(t+ t) x(t+2 t)

39 Mécanisme qui génère les données Chance d(espace des phases) Déterminisme d(espace des phases) = faible Données x(t) t ?

40 Air froid Lorenz 1963 J. Atmos. Sci. 20: Modéle Air Chaud (Rayleigh, Saltzman)

41 Lorenz 1963 J. Atmos. Sci. 20: Equations

42 X = vitesse de la circulation convective X > 0 sens horaire, X 0 sens horaire, X < 0 sens anti-horaire Y = différence de température entre les flux montants et descendants température entre les flux montants et descendants Equations Lorenz 1963 J. Atmos. Sci. 20:13-141

43 Z = température du bas vers le haut moins le gradient linéaire Equations Lorenz 1963 J. Atmos. Sci. 20:13-141

44 Espace des phases Lorenz 1963 J. Atmos. Sci. 20: Z X Y

45 Attracteur de Lorenz X < 0 X > 0 Cylindre dair tournant dans le sens anti- horaire cylindre dair tournant dans le sens horaire

46 Déterministe non-chaotique X(n+1) = f {X(n)} Précision des valeurs calculées pour X(n): 1,736 2,345 3,254 5,455 4,876 4,234 3,212

47 Déterministe chaotique X(n+1) = f {X(n)} Précision des valeurs calculées pour X(n): 3,455 3.,45? 3,4?? 3.??? ? ? ?

48 Conditions initiales X(t 0 ), Y(t 0 ), Z(t 0 )... Univers horlogerie détermimiste non-chaotique (paradigme Newtonien) Calcul possible de toutes les valeurs futures X(t), Y(t), Z(t)... Equations

49 Conditions initiales X(t 0 ), Y(t 0 ), Z(t 0 )... Univers Chaotique détermimiste chaotique sensibilité aux conditions initiales Impossibilité de calculer à long terme X(t), Y(t), Z(t)... Equations

50 Attracteur Etrange de Lorenz Les trajectoires venant du dehors sont attirées VERS lui doù son nom dattracteur! En partant de loin:

51 Attracteur Etrange de Lorenz Des trajectoires proches sur lattracteur sont poussées vers la séparation lune de lautre: BIFURCATION (sensitibilité aux conditions initiales) En partant dedans:

52 Lattracteur Etrange est fractal espace des phases ordinaireétrange

53 Chaotique sensibilité aux conditions initiales Séries temporelles non chaotiquechaotique X(t) t t

54 Shadowing Theorem Si les erreurs à chaque étape dintégration sont petites, il existe une trajectoire EXACTE qui arrive à une petite distance de la trajectoire erronée que nous avons calculée

55 Il existe un nombre INFINI de trajectoires dans un attracteur. Quand nous sortons de lattracteur, nous sommes aspirés vers larrière à une vitesse exponentielle. Nous sommes sur une trajectoire exacte, pas juste sur celle où nous croyons être. Shadowing Theorem

56 4. Nous sommes sur une trajectoire réelle 3. puis nous sommes attirés vers lattracteur 2. Lerreur nous fait sortir de lattracteur 1. Nous démarrons ici Trajectoire que nous calculons en réalité Trajectoire que nous essayons de calculer

57 La sensibilité aux conditions initiales signifie que les conditions de lexpérience peuvent être très semblables, mais que les résultats peuvent être assez différents.

58 Mardi + 10 µl ArT

59 10 µl Vendredi ArT +

60 A = 3,22 X(n) n X(n + 1) = A X(n) [1 -X (n)]

61 A = 3,42 X(n) n X(n + 1) = A X(n) [1 -X (n)]

62 A = 3,62 X(n) n Bifurcation

63 Des changements soudains dans le pattern indiquent la présence de bifurcations x(n)

64 Transitions de phase Haken 1983 Synergetics: An Introduction Springer-Verlag Kelso 1995 Dynamic Patterns MIT Press Faites battre lindex gauche au rythme (en phase) avec le métronome. Essayez de faire battre lindex droit hors du rythme du métronome.

65 Transitions de phase Haken 1983 Synergetics: An Introduction Springer-Verlag Kelso 1995 Dynamic Patterns MIT Press Pendant que la fréquence du métronome augmente, lindex droit passe dune oscillation hors- phase (décalé / métronome) à une oscillation en phase.

66 Position de lindex droit Position de lindex gauche A. Séries temporelles Transitions de phase Haken 1983 Synergetics: An Introduction Springer-Verlag Kelso 1995 Dynamic Patterns MIT Press ADD ABD

67 Position de lindex droit 360 o 0o0o B. Évaluation du point de phase relative 180 o Transitions de phase auto-organisées Haken 1983 Synergetics: An Introduction Springer-Verlag Kelso 1995 Dynamic Patterns MIT Press 2 sec

68 De petits changements dans les paramètres peuvent produire de gros changements dans le comportement. + 10cc ArT + 9cc ArT

69 Les bifurcations peuvent servir à tester si le système est déterministe Modèle mathématique déterministe Expérience Bifurcations observées Bifurcations prédites correspondance ?

70 La dimension fractale de lespace des phases nous dit si les données étaient générées par le hasard ou par un mécanisme déterministe. Données expérimentales x(t) t

71 X(t+ t) Espace des phases X(t) La dimension fractale de lespace des phases nous dit si les données étaient générées par le hasard ou par un mécanisme déterministe.

72 Mécanisme qui a généré les données expérimentales DéterministeHasard d = bas d La dimension fractale de lespace des phases nous dit si les données étaient générées par le hasard ou par un mécanisme déterministe.

73 Epidémies Schaffer and Kot 1986 Chaos ed. Holden, Princeton Univ. Press rougeole New York Séries temporelles: Espace des phases: varicelle

74 Epidémies Olsen and Schaffer 1990 Science 249: dimension de lattracteur dans lespace des phases rougeole varicelle Kobenhavn 3,1 3,4 Milwaukee 2,6 3,2 St. Louis 2,2 2,7 New York 2,7 3,3

75 Epidémies Olsen and Schaffer 1990 Science 249: Modèles SEIR: 4 variables indépendantes S susceptible = prédisposé E exposé, mais pas encore infecté I infecté R recovered = convalescent

76 Epidémies Olsen and Schaffer 1990 Science 249: Conclusion: rougeole: chaotique varicelle: quasi – cyclique annuel

77 Séries temporelles: voltage Kaplan and Cohen 1990 Circ. Res. 67: normal Fibrillation ventriculaire mort D = 1 chaos D = hasard Espace des phases V(t), V(t+ t) Electrocardiogramme: enregistrement électrique de lactivité musculaire cardiaque 8

78 Séries temporelles: voltage Babloyantz and Destexhe 1988 Biol. Cybern. 58: normal D = 6 chaos Electrocardiogramme: enregistrement électrique de lactivité musculaire cardiaque

79 Electrocardiogramme: enregistrement électrique de lactivité musculaire cardiaque Séries temporelles: intervalle de temps entre les battements cardiaques Babloyantz and Destexhe 1988 Biol. Cybern. 58: normal D = 6 chaos FV mort D = 4 chaos arythmies induites D = 3 chaos Evans, Khan, Garfinkel, Kass, Albano, and Diamond 1989 Circ. Suppl. 80:II-134 Zbilut, Mayer-Kress, Sobotka, OToole and Thomas 1989 Biol. Cybern, 61:

80 Electroencephalogramme: enregistrement électrique de lactivité cérébrale Mayer-Kress and Layne 1987 Ann. N.Y. Acad. Sci. 504:62-78 séries temporelles: V(t) Espace des phases: D=8 chaos V(t) V(t+ t)

81 Différents groupes de chercheurs trouvent différentes dimensions en appliquant les mêmes conditions expérimentales Electroencephalogramme: enregistrement électrique de lactivité cérébrale

82 tâche mentale Éveil calme, paupières fermées Sommeil virus: Creutzfeld -Jakob Epilepsie: petit mal Méditation, Qi-kong Electroencephalogramme: enregistrement électrique de lactivité cérébrale Peut-être que… dimension élevée dasse dimension

83 Ecroulement du pont de Tacoma Le 7 novembre 1940, le pont suspendu de Tacoma entre en oscillation sous l'action du vent. L'amplitude de torsion devient excessive et le pont s'écroule. Cest leffet de résonnance qui a détruit le pont. Pour la même raison, une troupe de soldats doit rompre le pas (se désynchroniser, revenir à une marche chaotique) au passage dun pont.

84 Analyse des données expérimentales En principe, vous pouvez savoir si les données ont été générées par un mécanisme aléatoire ou déterministe La bonne nouvelle:

85 Analyse des données expérimentales En pratique, ce nest pas facile. La mauvaise nouvelle:

86 Organisation des Vecteurs dans lespace des phases Kaplan and Glass 1992 Phys. Rev. Lett. 68: petite direction moyenne Hasard Pas de flux uniforme

87 Organisation des Vecteurs dans lespace des phases Kaplan and Glass 1992 Phys. Rev. Lett. 68: grande Déterministe direction moyenne Flux uniforme

88 Séries temporelles Espace des phases Expérience Dimension basse = déterministe élevée = hasard exemples: ECG, EEG FAIBLE

89 Faire varier un paramètre Expérience prédit par un modèle non-linéaire FORTE Voir le comportement stimulation électrique de cellules, réactions biochimiques exemples:

90 Contrôle des systèmes biologiques Lancienne manière dagir Un contrôle par la force brute GROSSE machine GROSSE puissance coeur Ampères

91 Contrôle des systèmes biologiques Nouvelle manière dagir: de délicates impulsions astucieusement rythmées petite machine petite puissance mA coeur

92 Ancienne façon de voir les choses: Des forces pilotent le système entre des états stables Comment concevons-nous les systèmes biologiques ?

93 Force DForce E état stable B état stable A état stable C

94 Comment concevons-nous les systèmes biologiques ? Nouvelle façon de voir: Se maintenir un bon moment dans une condition pousse le système dans une autre condition.

95 Dynamique de A Dynamique de B Comment concevons-nous les systèmes biologiques ? état instable B état instable A état instable C

96 Le Chaos en résumé PEU DE VARIABLES INDEPENDANTES Mais le comportement est si complexe quil mime un comportement aléatoire.

97 Le Chaos en résumé Les valeurs des variables à linstant suivant peuvent être calculées à partir de leurs valeurs à linstant précédent. x i (t+ t) = f (x i (t)) SYSTEME DYNAMIQUE DETERMINISTE

98 Le Chaos en résumé x 1 (t+ t) - x 2 (t+ t) = Ae t SENSIBILITE AUX CONDITIONS INITIALES NON PREDICTIBLE A LONG TERME

99 Le Chaos en résumé ATTRACTEUR ETRANGE Lespace des phases est de basse dimension (souvent fractale).


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