La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Combinaisons.

Présentations similaires


Présentation au sujet: "Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Combinaisons."— Transcription de la présentation:

1 Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Combinaisons linéaires de vecteurs algébriques Combinaisons linéaires de vecteurs algébriques

2 Nous avons vu au chapitre précédent, qu’à partir de quelques vecteurs, il est possible, en utilisant les opérations d’addition et de multiplication par un scalaire, d’engendrer une multitude de vecteurs. Introduction Nous avons alors donné une interprétation géométrique des notions de combinaison linéaire, de dépendance linéaire, d’indépendance linéaire, de base et de repère d’une droite, d’un plan ou de l’espace. Nous développerons maintenant des procédures algébriques pour résoudre les problèmes portant sur ces notions sans avoir à utiliser une représentation géométrique. Les premiers exemples présentés comporteront quand même une représentation géométrique pour faciliter le transfert, mais les derniers exemples en seront exempts.

3 (2a – b; 3a + 3b) = (–7; 3) Exemple On veut montrer qu’il existe des scalaires a et b tels que : S Par substitution, on peut écrire : est une com- binaison linéaire de Soit vecteurs de R 2. Montrer que uv= (2; 3),= (–1; 3) etw= (–7; 3), trois w uetv. Représenter graphiquement. a+ buv=w a(2; 3) + b(–1; 3) = (–7; 3) En effectuant les opérations, on obtient : (2a; 3a) + (–b; 3b) = (–7; 3) Par l’égalité des vecteurs de R 2, on obtient le système d’équations qu’il faut résoudre pour savoir s’il existe des scalaires a et b satisfaisant à la condition, soit : 2a – b = –7 3a + 3b = 3 S Le déterminant de la matrice des coefficients est : 2–1 33 = 2  3 – 3  (–1) = 9 ≠ 0 Le déterminant est non nul et, par la métho- de de Cramer, on obtient : a =a = –7– = –18 9 = –2 On trouve : a = –2 et b = 3 b = 2– = 27 9 = 3 S a+ buv=w Cela signifie qu’il existe des scalaires a et b tels que : En effet : –2(2; 3) + 3(–1; 3) = (–7; 3) est une combinaison liné- aire de uetv. Par conséquent, w Géométriquement, cela signifie qu’il est possible de construire un parallélogramme dont la diagonale est le vecteur et dont les côtés sont sur les droites supports des vecteurs uetv. w

4 (a + 2b; –2a – b; 3a + 4b) = (4; –5; 10) Exemple a On veut savoir s’il existe des scalaires a et b tels que : S Par substitution, on peut écrire : Soituv= (1; –2; 3), = (2; –1; 4) et w= (4; –5; 10), trois vecteurs de R 3. a+ buv=w a (1; –2; 3) + b(2; –1; 4) = (4; –5; 10) En effectuant les opérations, on obtient : (a; –2a; 3a) + (2b; –b; 4b) = (4; –5; 10) Par l’égalité des vecteurs de R 3, on obtient le système d’équations qu’il faut résoudre pour savoir s’il existe des scalaires a et b satisfaisant à la condition, soit : a + 2b = 4 –2a – b = –5 3a 3a + 4b 4b = 10 S Par la méthode de Gauss-Jordan, on obtient : On trouve : a = 2 et b = 1 S ≈ L 1 L 2 + 2L 1 L 3 – 3L 1 2 –2 – – – ≈ L 1 L 2 /3 L 3 /(–2) ≈ L 1 – 2L 2 L 2 L 3 – L a+ buv=w Cela signifie qu’il existe des scalaires a et b tels que : est engendré par uetv. Par conséquent, w Géométriquement, cela signifie qu’il est possible de construire un parallélogramme dont la diagonale est le vecteur et dont les côtés sont sur les droites supports des vecteurs uetv. w est engendré parPeut-on dire quewuetv? Si on peut faire cette construction, c’est que les trois vecteurs sont coplanaires.

5 (a + 2b–2a – b; 3a + 4b) = (5; 4; –2) Exemple b On veut savoir s’il existe des scalaires a et b tels que : S Par substitution, on peut écrire : Soituv= (1; –2; 3), = (2; –1; 4) et z = (5; 4; –2), trois vecteurs de R 3. a+ buv=z a (1; –2; 3) + b(2; –1; 4) = (5; 4; –2) En effectuant les opérations, on obtient : (a; –2a; 3a) + (2b; –b; 4b) = (5; 4; –2) Par l’égalité des vecteurs de R 3, on obtient le système d’équations qu’il faut résoudre pour savoir s’il existe des scalaires a et b satisfaisant à la condition, soit : a + 2b = 5 –2a – b = 4 3a 3a + 4b 4b = –2 S Par la méthode de Gauss, on obtient : Le système est in- compatible. S ≈ L 1 L 2 + 2L 1 L 3 – 3L 1 2 –2 – –2 1 ≈ L 1 L 2 3L 3 + 2L 2 est engendré parPeut-on dire quezuetv? – – – a+ buv=z Cela signifie qu’il n’existe pas de scalaires a et b tels que : n’est pas engendré par uetv.z Géométriquement, cela signifie qu’il n’est pas possible de construire un parallé- logramme dont la diagonale est le vecteur et dont les côtés sont sur les droites supports des vecteurs uetv. z On ne peut faire cette construction parce que les trois vecteurs ne sont pas copla-naires.

6 (3a + 2b; –5a – 4b; 4a + 3b) = (2; 0; 1) Exercice On veut savoir s’il existe des scalaires a et b tels que : S Par substitution, on peut écrire : a+ buv = w a(3; –5; 4) + b(2; –4; 3) = (2; 0; 1) En effectuant les opérations, on obtient : (3a; –5a; 4a) + (2b; –4b; 3b) = (2; 0; 1) Par l’égalité des vecteurs de R 3, on obtient le système d’équations qu’il faut résoudre pour savoir s’il existe des scalaires a et b satisfaisant à la condition, soit : S Par la méthode de Gauss-Jordan, on obtient : S ≈ L 1 3L 2 + 5L 1 3L 3 – 4L 1 2 –5– ≈ L 1 + L 2 L 2 2L 3 + L –2 ≈ L 1 /3 L 2 /(–2) L – Soituv= (3; –5; 4),= (2; –4; 3) etw= (2; 0; 1), trois vecteurs de R 3. est engendré parPeut-on dire quewuetv? –5 3 –2 On a donc 4(3; –5; 4) – 5(2; –4; 3) = (2; 0; 1). 3a + 2b = 2 –5a – 4b 4b = 0 4a 4a + 3b 3b = 1 est engendré parPar conséquent,wuetv.

7 (a 1 – 2a 2 ; 2a 1 – 4a 2 ) = (x; y) Exemple On doit déterminer à quelles conditions il existe des scalaires a 1 et a 2 tels que : S Par substitution, on peut écrire : = (x; y) de R 2 est engendré par les vecteurs Déterminer à quelles conditions un vecteur v1v1 v2v2 = (1; 2) et = (–2; –4). w a1a1 + a 2 v1v1 v2v2 =w a 1 (1; 2) + a 2 (–2; –4) = (x; y) En effectuant les opérations, on obtient : (a 1 ; 2a 1 ) + (–2a 2 ; –4a 2 ) = (x; y) Par l’égalité des vecteurs de R 2, on obtient le système d’équations qu’il faut résoudre pour répondre à la question, soit : a1 a1 – 2a2 2a2 = x 2a1 2a1 – 4a2 4a2 = y S L’ensemble engendré est : {(x; y)| y – 2x 2x = 0} ≈ L 1 L 2 – 2L 1 –2 2–4 x y 1–2 0 x y – 2x 1 0 Par la méthode de Gauss, on obtient : Lorsque y – 2x 2x ≠ 0, il n’y a aucune solution. Pour qu’un vecteur w = (x; y) soit engendré, il faut que y – 2x = 0. C’est donc dire que les vecteurs engendrés sont ceux dont l’origine est à (0; 0) et dont la droite support est y – 2x = 0.

8 (a 1 – a 2 + 2a 3 ; –3a 1 + 5a 2 – 4a 3 ) = (x; y) Exemple On doit déterminer à quelles conditions il existe des scalaires a 1, a 2 et a 3 tels que : S Par substitution, on peut écrire : a 1 (1; –3) + a 2 (–1; 5) + a 3 (2; –4) = (x; y) En effectuant les opérations, on obtient : Par l’égalité des vecteurs de R 2, on obtient le système d’équations qu’il faut résoudre pour répondre à la question, soit : a1 a1 – a2 a2 + 2a3 2a3 = x –3a 1 + 5a 2 – 4a3 4a3 = y S = (x; y) de R 2 est engendré par les vec- teurs Déterminer à quelles conditions un vecteur v1v1 v2v2 = (1; –3), = (–1; 5) et w v3v3 = (2; –4). a1a1 + a 2 v1v1 v2v2 + a 3 v3v3 =w S S (a 1 ; –3a 1 ) + (–a 2 ; 5a 2 ) + (2a 3 ; –4a 3 ) = (x; y) ≈ L 1 L 2 + 3L 1 Par la méthode de Gauss-Jordan, on a : –1 –35 x y 12 –4 –1 0 x y + 3x ≈ L 1 L 2 /2 ≈ L 1 + L 2 L (y + 5x)/2 (y + 3x)/ –1 0 x (y + 3x)/ On trouve que a 3 est une variable libre alors que a 1 et a 2 sont des variables liées. Leur valeur dépend de a 3 et des composantes x et y du vecteur w. En posant a 3 = s, et en substituant, on obtient : a 1 = y + 5x 2 – 3s, a 2 = y + 3x 2 – s et a 3 = s. Il y a donc une infinité de combinaisons linéaires possibles pour engendrer w. En posant s = 0, on obtient : a 1 = y + 5x 2, a 2 = y + 3x 2 et a 3 = 0. En effet, il suffit de deux vecteurs linéairement indépendants pour engen- drer tous les vecteurs de R 2. Cela signifie qu’il suffit de prendre les vecteurs pour engendrer de façon unique tous les vecteurs de R 2. v1v1 v2v2 et

9 Exemple a Déterminer si les vecteurs suivants sont linéairement dépendants ou linéairement indépendants. Puisqu’il y a seulement deux vecteurs, pour savoir s’ils sont linéairement dépendants ou linéairement indépendants, il suffit de déterminer s’il existe un scalaire k tel que : S = kv1v1 v2v2 Les vecteurs sont donc linéairement indépendants. Ce qui donne : (1; –2; 1) = k(3; 2; 4) = (3k; 2k; 4k) Pour avoir cette égalité, il faut que les premières composantes soient égales; cela donne k = 1/3. Il faut également que les deuxièmes com- posantes soient égales; cela donne k = –1. Il est donc impossible de trouver un scalaire k non nul pour lequel = kv1v1 v2v2. v1v1 v2v2 = (1; –2; 1) et = (3; 2; 4)

10 Exemple b Déterminer si les vecteurs suivants sont linéairement dépendants ou linéairement indépendants. On doit déterminer si l’équation vectorielle : S admet des solutions non nulles. Cela donne : a 1 (1; –3; 4) + a 2 (4; –2; 3) + a 3 (2; 5; 2) + a 4 (5; –1; 3) = (0; 0; 0) En effectuant les opérations, on obtient le système d’équations : S v1v1 v2v2 = (1; –3; 4),= (4; –2; 3),v3v3 = (2; 5; 2) etv4v4 = (5; –1; 3). a1 a1 + 4a 2 + 2a3 2a3 + 5a 4 = 0 –3a1 –3a1 – 2a 2 + 5a3 5a3 – a 4 = 0 4a1 4a1 + 3a 2 + 2a3 2a3 + 3a 4 = 0 Ce système comporte plus d’inconnues que d’équations. Il y a donc une infinité de solutions dont au moins une comporte des scalaires non nuls. Les vecteurs sont donc linéairement dépendants. a1a1 + a 2 v1v1 v2v2 + a 3 v3v3 = 0 + a 4 v4v4

11 Exemple c Déterminer si les vecteurs suivants sont linéairement dépendants ou linéairement indépendants. On doit déterminer si l’équation vectorielle : S admet des solutions non nulles. Cela donne : a 1 (1; –3; 4) + a 2 (4; –2; 3) + a 3 (2; 5; –6) = (0; 0; 0) En effectuant les opérations, on obtient le système d’équations : S a1a1 + a 2 v1v1 v2v2 + a 3 v3v3 = 0 v1v1 v2v2 = (1; –3; 4),= (4; –2; 3) etv3v3 = (2; 5; –6). a1 a1 + 4a 2 + 2a3 2a3 = 0 –3a1 –3a1 – 2a 2 + 5a3 5a3 = 0 4a1 4a1 + 3a 2 – 6a3 6a3 = 0 Ce système comporte autant d’équa- tions que d’inconnues. Puisque c’est un système homogène, on peut déterminer s’il admet une solution unique ou une infinité de solutions en calculant son déterminant. S On trouve alors : = L 1 L 2 + 3L 1 L 3 – 4L 1 = 1 (– ) = 3 ≠ 0 S Puisque le déterminant est non nul, on peut conclure que le système admet une solution unique qui est : a 1 = a 2 = a 3 = 0 Par conséquent, les vecteurs sont linéaire- ment indépendants. 42 –3–25 43– –13–140

12 Exemple d Déterminer si les vecteurs suivants sont linéairement dépendants ou linéairement indépendants. On doit déterminer si l’équation vectorielle : S admet des solutions non nulles. Cela donne : a 1 (1; –3; 4) + a 2 (4; –2; 3) + a 3 (5; 5; –6) = (0; 0; 0) En effectuant les opérations, on obtient le système d’équations : S a1a1 + a 2 v1v1 v2v2 + a 3 v3v3 = 0 v1v1 v2v2 = (1; –3; 4),= (4; –2; 3) etv3v3 = (5; 5; –6). a1 a1 + 4a 2 + 5a3 5a3 = 0 –3a1 –3a1 – 2a 2 + 5a3 5a3 = 0 4a1 4a1 + 3a 2 – 6a3 6a3 = 0 Ce système comporte autant d’équa- tions que d’inconnues. Puisque c’est un système homogène, on peut déterminer s’il admet une solution unique ou une infinité de solutions en calculant son déterminant. S On trouve alors : = L 1 L 2 + 3L 1 L 3 – 4L 1 = 1 (– ) = 0 S Le déterminant de ce système homogène étant nul, on peut conclure que le système admet une infinité de solutions et qu’il y en a au moins une non nulle. Les vecteurs sont donc linéairement dépendants. 45 –3–25 43– –13–260

13 Déterminant et indépendance linéaire THÉORÈME Déterminant et indépendance linéaire dans R 3 Trois vecteurs de R 3,uv= (u 1 ; u 2 ; u 3 ),= (v 1 ; v 2 ; v 3 ) etw= (w 1 ; w 2 ; w 3 ) sont linéairement indépendants si et seulement si : det (u,v,w)w)= ≠ 0 v1v1 v2v2 v3v3 w1w1 w2w2 w3w3 u2u2 u3u3 u1u1 est le déterminant dont les lignes sont constituées respectivement des composantes des vecteurs où det ( u,v,w)w) u,vw.et

14 Déterminant et indépendance linéaire Démonstration, trois vecteurs de R 3. Ces trois vecteurs sont linéairement indépendants si et seulement si l’équation vectorielle : Soituv= (u 1 ; u 2 ; u 3 ),= (v 1 ; v 2 ; v 3 ) etw= (w 1 ; w 2 ; w 3 ) a une solution unique a 1 = a 2 = a 3 = 0. En tenant compte des com- posantes des vecteurs, l’équation s’écrit : a1a1 + a 2 uv+ a 3 w = 0 a 1 (u 1 ; u 2 ; u 3 ) + a 2 (v 1 ; v 2 ; v 3 ) + a 3 (w 1 ; w 2 ; w 3 ) = (0; 0; 0) Par conséquent, les trois vecteurs sont linéairement indépendants si et seulement si le système d’équations linéaires homogène : a1u1 a1u1 + a 2 v 1 + a3w1 a3w1 = 0 a1u2 a1u2 + a 2 v 2 + a3w2 a3w2 = 0 a1u3 a1u3 + a 2 v 3 + a 3 w 3 = 0 a une solution unique, soit la solution triviale a 1 = a 2 = a 3 = 0. S Or, le système a une solution unique si et seulement si le déterminant de la matrice des coefficients est non nul, soit : det (A) = ≠ 0. u2u2 v2v2 w2w2 u3u3 v3v3 w3w3 v1v1 w1w1 u1u1 Cependant, det (A) = det (A t ). Le système a une solution unique si et seulement si det (A t ) ≠ 0 et : det (A t ) = v1v1 v2v2 v3v3 w1w1 w2w2 w3w3 u2u2 u3u3 u1u1 = det ( u,v,w)w) est le déterminant dont les lignes sont constituées respectivement des composantes des vecteurs où det ( u,v,w)w) u,vw. et

15 Déterminant et dépendance linéaire THÉORÈME Déterminant et dépendance linéaire dans R 3 Trois vecteurs de R 3,uv= (u 1 ; u 2 ; u 3 ),= (v 1 ; v 2 ; v 3 ) etw= (w 1 ; w 2 ; w 3 ) sont linéairement dépendants si et seulement si : det (u,v,w)w)= = 0 u2u2 u3u3 v1v1 v2v2 v3v3 w1w1 w2w2 w3w3 u1u1 En contraposant l’énoncé du théorème, on obtient l’énoncé suivant. Remarque Grâce à ces deux théorèmes, on peut déterminer si trois vecteurs de R 3 sont linéairement dépendants ou linéairement indépendants en calculant simplement le déterminant dont les éléments sont les composantes des trois vecteurs. Lorsque le déterminant est nul, les vecteurs sont linéairement indépendants et lorsqu’il est non nul, ils sont linéairement dépendants.

16 Exemple a Déterminer si les vecteurs suivants sont linéairement dépendants ou linéairement indépendants : Calculons le déterminant formé de ces trois vecteurs : S uv= (1; 2; –3),= (2; –2; 4) etw= (2; –5; 9) = L 1 L 2 – 2L 1 L 3 – 2L 1 = 0 2–24 2–59 S Le déterminant formé avec les vecteurs est égal à un déterminant ayant deux lignes proportionnelles; il est donc nul. 2– –6100 –9150 det (u,v,w)w)= Par conséquent, les vecteurs sont linéairement dépendants.

17 Exemple b Déterminer si les vecteurs suivants sont linéairement dépendants ou linéairement indépendants : Calculons le déterminant formé de ces trois vecteurs : S uv= (3; –2; 5),= (1; –3; 2) etw= (4; –1; 9) = C1C1 C 2 + 3C 1 C3 C3 – 2C 1 = –1(7 + 11) = –18 ≠ 0 1–32 4–19 S Le déterminant formé avec les vecteurs est différent de zéro. –253 7– det (u,v,w)w) = Par conséquent, les vecteurs sont linéairement indépendants.

18 Exercice Déterminer si les vecteurs suivants sont linéairement dépendants ou linéairement indépendants : Calculons le déterminant formé de ces trois vecteurs : S uv= (2; 4; –3),= (5; 3; 1) etw= (4; –6; 11) = C1 C1 – 5C 3 C 2 – 3C 3 C3C3 = –1(– ) = –611 S Le déterminant formé avec les vecteurs est égal à zéro. 4–3213– –3911–51 det (u,v,w)w) = Par conséquent, les vecteurs sont linéairement dépendants.

19 Conclusion Pour déterminer si un vecteur donné est une combinaison linéaire d’un ensemble de vecteurs, il faut établir et résoudre un système d’équations linéaires. Si le système n’a aucune solution, le vecteur n’est pas engendré. Si le système admet une ou des solutions, le vecteur est engendré. Si la solution est unique, les vecteurs de l’ensemble générateur sont linéairement indépendants et si le système a une infinité de solution, ils sont linéairement dépendants. Pour déterminer si les vecteurs d’un ensemble sont linéairement dépendants ou linéairement indépendants, il faut établir un système d’équations linéaires homogène. Si le système a une solution unique, la solution triviale, les vecteurs sont linéairement indépendants. Lorsqu’il y a une infinité de solutions, les vecteurs sont linéairement dépendants. Dans R 3, lorsque trois vecteurs sont donnés, on peut déterminer le type de solutions en calculant le déterminant formé des composantes de ces vecteurs.

20 Exercices Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences de la nature, Section 6.4, p. 174 et 175. Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences humaines, Section 6.4, p. 168 et 169. Lecture Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences de la nature, Section 6.3, p. 167 à 173. Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences humaines, Section 6.3, p. 161 à 167


Télécharger ppt "Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Combinaisons."

Présentations similaires


Annonces Google