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CHAPITRE 8 Géométrie analytique. Objectifs: - Lire les coordonnées dun vecteur sur un graphique. - Représenter un vecteur dont on connaît les coordonnées.

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1 CHAPITRE 8 Géométrie analytique

2 Objectifs: - Lire les coordonnées dun vecteur sur un graphique. - Représenter un vecteur dont on connaît les coordonnées. - Calculer les coordonnées dun vecteur. - Savoir calculer les coordonnées du milieu dun segment. - Savoir calculer la longueur dun segment dans un repère orthonormé.

3 Introduction sur les repères du plan Il existe trois types de repère (O, I, J) I J O 1 1 Repère quelconque I J 1 1 Repère orthogonal I J O 1 1 O Repère orthonormé Dans ce chapitre, nous travaillerons dans un repère orthonormé (O, I, J).

4 I. Coordonnées dun vecteur 1) Formule de calcul Dans le plan muni dun repère orthonormé (O, I, J), Remarque: on note A B xAxA xBxB yAyA yByB J I O si deux points A et B ont pour coordonnées respectives ( x A ; y A ) et ( x B ; y B ), alors le vecteur AB a pour coordonnées: ( x B - x A ; y B – y A ). AB ( x B - x A ; y B – y A )

5 Exemple : Dans un repère orthonormé (O, I, J) du plan, on donne A(-3 ; 2) et B(6 ; 7). Calculer les coordonnées de AB. Cliquez sur licône pour voir lanimation On a AB ( 6-(-3) ; 7-2 ) donc AB ( 9 ; 5 )

6 2) Lecture graphique Exemple : Dans lexemple précédent le déplacement horizontal de A vers B est de 9 unités vers la droite :donc labscisse du vecteur AB est +9 le déplacement vertical de A vers B est de 5 unités vers le haut : donc lordonnée du vecteur AB est +5 AB ( déplacement horizontal de A à B ; déplacement vertical de A à B ) +9 +5

7 3) Propriété Si deux vecteurs sont égaux, alors leurs coordonnées sont égales. Remarque: La réciproque est vraie. Exemple : Dans un repère orthonormé (O, I, J) du plan, on donne u (3 ; 2) et A(4 ; 7). Calculer les coordonnées de B tel que u = AB. On a AB( x B - 4 ; y B – 7 ) Or u ( 3 ; 2 ) et u = AB Doncsoit encore Donc B( 7 ; 9 ) On peut le vérifier graphiquement!

8 II. Coordonnées du milieu dun segment Dans le plan muni dun repère orthonormé (O, I, J), Remarque: on note A B xAxA xBxB yAyA yByB J I O si deux points A et B ont pour coordonnées respectives ( x A ; y A ) et ( x B ; y B ), alors le milieu M de [AB] a pour coordonnées : x A + x B y A + y B 2 M x A + x B y A + y B 2 ; () M x A + x B 2 y A + y B 2 () ; 22

9 Exemple: Dans un repère orthonormé (O, I, J) du plan, on donne A(3 ; 5) et B(-1 ; -1). Calculer les coordonnées du milieu M de [AB]. Les coordonnées du milieu M du segment [AB] sont : doù M(1 ; 2) On peut vérifier ce résultat graphiquement.

10 III. Distance entre deux points Dans le plan muni dun repère orthonormé (O, I, J), Remarque: on peut facilement démontrer cette formule avec le théorème de Pythagore dans le triangle dessiné ci-contre. A B xAxA xBxB yAyA yByB J I O si deux points A et B ont pour coordonnées respectives ( x A ; y A ) et ( x B ; y B ), alors la longueur AB se calcule avec la formule suivante: AB AB = ( x B - x A )²+ ( y B – y A )²

11 Exemple : Dans un repère orthonormé (O, I, J) du plan, on donne A(-3 ; 2) et B(5 ; -2). Calculer la distance AB. Cliquez sur licône pour voir lanimation


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