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JP. GUICHARD - IREM DE POITIERS 1 Enseigner les angles en 6° Arpentage et navigation « Lart de prendre la valeur des Angles est une opération dun grand.

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1 JP. GUICHARD - IREM DE POITIERS 1 Enseigner les angles en 6° Arpentage et navigation « Lart de prendre la valeur des Angles est une opération dun grand usage & dune grande étendue dans lArpentage, la Navigation, la Géographie, lAstronomie, &c. » LEncyclopédie, art. Angle 1751 Jean-Paul Guichard

2 JP. GUICHARD - IREM DE POITIERS 2 Problématique Les programmes : des savoir faire et capacités sans liens Comment les agencer pour en faire un enseignement porteur de sens ?

3 JP. GUICHARD - IREM DE POITIERS - 3 Enseigner les angles … I. Sources de réflexion II. Mise en œuvre

4 JP. GUICHARD - IREM DE POITIERS 4 I. Sources de réflexion I.1. Quest-ce quun angle ? I.2. Pourquoi des angles ? I.3. Comment construire le chapitre ?

5 JP. GUICHARD - IREM DE POITIERS 5 I.1. Quest-ce quun angle ? « ANGLE, s. m. (Géom.) cest louverture que forment deux lignes ou deux plans, ou trois plans qui se rencontrent : tel est l'angle BAC, tab. de Géom. fig. 91, formé par les lignes AB, AC, qui se rencontrent au point A. Les lignes AB, AC, sont appellées les jambes ou les côtés de langle ; & le point dintersection A en est le sommet. Les angles se marquent quelquefois par une seule lettre, comme A, que lon met au sommet ou point angulaire, & quelquefois par trois lettres, dont celle du milieu marque la pointe ou sommet de langle, comme BAC. La mesure dun angle, par laquelle on exprime sa quantité, est un arc tel que DE, décrit du sommet A entre les côtés AC, AB, avec un rayon pris à volonté. Voyez ARC & MESURE. Doù il sensuit que les angles se distinguent par le rapport de leurs arcs à la circonférence du cercle entier. Voyez CERCLE & CIRCONFERENCE. Ainsi lon dit quun angle est dautant de degrés quen contient larc DE, qui le mesure. Voyez DEGRE. /… /» Encyclopédie, 1751, p T TOTOTOTO

6 JP. GUICHARD - IREM DE POITIERS 6 I.2. Pourquoi des angles ? A. A. Arpentage Les Elemens de Geometrie de CLAIRAUT (1753) XXVII Si on ne pouvoit mesurer que deux des trois côtés du triangle ABC (FIG. 3.), les deux côtés AB, BC, par exemple ; il est clair quavec cela seul, on ne pourroit pas déterminer un second triangle égal & semblable à ABC. Car quoiquon eût pris DE, égal à BC, & DF égal à BA on ne sçauroit quelle position donner à celle-ci, relativement à lautre. Pour lever cette difficulté, la ressource qui se présente est simple : on fait pancher DF, de la même maniere sur DE, que AB panche sur BC ; ou, pour sexprimer comme les Géomètres, on donne à langle FDE la même ouverture quà langle ABC. (FIG. 3. & 4) (Lorthographe de lépoque a été conservée) T Pl.III Pl.V

7 JP. GUICHARD - IREM DE POITIERS 7 I.2. Pourquoi des angles ? B. B. Navigation Rose des vents et navigation Carte marine de 1559

8 JP. GUICHARD - IREM DE POITIERS 8 Comment construire le chapitre Regard sur des manuels anciens Nathan, (Plessier & Morlet, 1965) Chapitre 3. Angles, cercles et arcs de cercles. I. Plan. Demi-plan. Angles. Égalité et addition des angles. Multiples et sous multiples. III. Cercles et arcs de cercles. Chapitre 4. Mesure des angles et des arcs. Longueur du cercle. I. Mesure des angles et des arcs. Longueur du cercle. II. Calculs sur le nombre mesurant angles et arcs de cercle. Longueur dun arc de cercle. Longueur du cercle. Hachette, (Cahen, 1958) Chapitre 2. Angles. I. Notion dangle. II. Opérations sur les angles. III. Mesure des angles. IV. Opérations sur les mesures dangles en degrés.

9 JP. GUICHARD - IREM DE POITIERS 9 II. Mise en œuvre Le chapitre sur les angles : un parcours en 3 moments

10 JP. GUICHARD - IREM DE POITIERS 10 Un parcours en 3 moments 1) Comparer des angles1) Comparer des angles 2) Partager des angles2) Partager des angles 3) Mesurer des angles3) Mesurer des angles

11 JP. GUICHARD - IREM DE POITIERS 11 Introduction : les 3 questions 1) Quand parle-t-on d'angle ?1) Quand parle-t-on d'angle ? 2) Quand utilise-t-on des angles ?2) Quand utilise-t-on des angles ? 3) Qu'a-t-on besoin de savoir faire avec les angles ?3) Qu'a-t-on besoin de savoir faire avec les angles ?

12 JP. GUICHARD - IREM DE POITIERS 12 Étude 1 : comparer des angles 1) Rugby : angle de tir (définition, comparaison)1) Rugby : angle de tir (définition, comparaison) Cours : 1. Définitions, méthode de comparaison Définitions 2) Cerf volant et charpente (angles égaux, figures symétriques, codage)2) Cerf volant et charpente (angles égaux, figures symétriques, codage) Construction de figures symétriques (programmes de construction). Cours : 1. Angles égaux et symétrie 3) Éventail et spirale3) Éventail et spiralespirale Cours : 1. Addition des angles, multiple dun angle Cours : 1. Addition des angles, multiple dun angle

13 JP. GUICHARD - IREM DE POITIERS 13 Étude 2 : partager des angles 1) Rose des vents (boussole, compas de navigation)1) Rose des vents (boussole, compas de navigation)Rose des vents Rose des vents Partager en 2,4,8,12... Rapporteur "binaire". Équerres et menuiserie : demi-triangle équilatéral, demi-carré Cours : 2. Bissectrice, axes de symétrie, angles des triangles rectangle isocèle et équilatéral. 2) Le rapporteur2) Le rapporteurLe rapporteurLe rapporteur Trisection de langle. Partager un cercle en 360. Trisection de langle. Partager un cercle en 360. Cours : 2. Rapporteur 3) Polygones réguliers3) Polygones réguliers A partir du partage du cercle et de 360° (division, diviseur, quotient exact, approché) Cours : 2. partager un angle en n parties

14 JP. GUICHARD - IREM DE POITIERS 14 Étude 3 : mesurer des angles 1) L'aviateur : prendre le cap pour faire le tour de France (s'orienter)1) L'aviateur : prendre le cap pour faire le tour de France (s'orienter)L'aviateur Cours : 3. mesurer un angle 2) Largeur d'une baie (mesurer l'inaccessible)2) Largeur d'une baie (mesurer l'inaccessible)Largeur d'une baie Largeur d'une baie Cours : 3. reproduire un angle de mesure donnée 3) Reproduire une figure (à l'échelle)3) Reproduire une figure (à l'échelle) Constructions de figures, dictées géométriques 4) Les robots : construire un trajet4) Les robots : construire un trajetLes robots Les robots Rose des vents et navigation Rose des vents et navigation5) Rose des vents et navigationRose des vents et navigation

15 JP. GUICHARD - IREM DE POITIERS 15 Sources bibliographiques ENCYCLOPÉDIE OU DICTIONNAIRE RAISONNÉ DES SCIENCES, DES ARTS ET DES METIERS par une société de gens de lettres ; mis en ordre et publié par M. Diderot,... et quant à la partie mathématique, par M. dAlembert,… Paris : Briasson, David, Le Breton. Tome 1, gallica. 4 CD-Rom : LEncyclopédie de Diderot et dAlembert. Redon éditeur, MARSANNE. ENCYCLOPÉDIE MÉTHODIQUE – MATHÉMATIQUES. Par MM. dAlembert, lAbbé Bossut, de la Lande, Le Marquis de Condorcet, &c. Tome premier, Paris : Panckoucke et Leyde : Plomteux Réédition du Bicentenaire, Paris : ACL-éditions gallica CLAIRAUT Alexis. Les Éléments de Géométrie de Clairaut Paris : Lambert et Durand, Rééd. Paris : J. Gabay, Fac simile de lédition de 1753, Laval : éd. Siloë, GAMBIN Marie-Thérèse. « Des cartes portulans à la formule dEdward Wright : lhistoire des cartes à « rhumbs ». M : A.T.H., MNEMOSYNE n° 11. IREM de Paris VII 1996, pp. p Repris en partie dans Lhistoire des cartes à « rhumbs ». In ASSP Rouen 2005, Sciences et Techniques aux 15 e et 16 e siècles, disponible en document pdf, 10 p., sur le site : « La cartographie dieppoise ». In É. Hébert (dir.), Instruments scientifiques à travers lHistoire, Paris Ellipses 2004, p et 1996, p STOLL André. « Les spirales ». In LOuvert n° 96 et 97, resp. p 1-13 p 1-15, IREM de Strasbourg 1999 et Repères IREM, n° 39, Metz 2000, Topiques éditions p En document pdf, 27 p., sur le site Le Portail des Irem :

16 JP. GUICHARD - IREM DE POITIERS 16 Enseigner les angles en 6° Arpentage et navigation « Lart de prendre la valeur des Angles est une opération dun grand usage & dune grande étendue dans lArpentage, la Navigation, la Géographie, lAstronomie, &c. » LEncyclopédie, art. Angle 1751 FIN

17 JP. GUICHARD - IREM DE POITIERS 17 Cours. Chapitre 1 ANGLES 1. Comparer des angles 1) Définition : on appelle angle louverture formée par deux demi droites de même origine. Cette origine sappelle le sommet de langle et les demi droites les côtés de langle. Illustrer To

18 JP. GUICHARD - IREM DE POITIERS 18 Spirales - construction 1.Spirale de Théodore donnée à construire aux élèves 2.Spirale dArchimède 1) A quoi te fait penser cette figure ? 2) Comment construire cette figure ? Voici la méthode donnée par Archimède : On fait tourner une demi-droite autour dun point O en décrivant des angles égaux Sur le deuxième côté du premier angle on place un point A1 (près de O). Quand la demi-droite tourne, le point séloigne de O avec pour règle : sa distance à O est égale à celle de OA1 multipliée par le nombre dangles dont on a tourné. Choisis un angle et construis une spirale dArchimède avec au moins 10 angles égaux.

19 JP. GUICHARD - IREM DE POITIERS 19 La Rose des Vents Plusieurs instruments de mesure sont basés sur les mesures des angles, la rose des vents est lun dentre eux. La rose des vents nest pas une fleur, cest une étoile à plusieurs branches indiquant les points cardinaux. Les marins lutilisaient pour sorienter en mer. La marche dun bateau dépendant de sa position face au vent, ils identifiaient le vent dominant qui soufflait puis fixaient leur route en conséquence. Pour indiquer la direction des vents, on a dessiné sur un cadran une sorte de rosace dont les flèches rayonnent autour du centre comme les pétales dune rose. Mais ce dessin ne ressemble guère à une rose ) Observe bien. Combien de directions sont indiquées sur la rose des vents n°1 ? sur la n°2 ? sur la n°3 ? sur la boussole n°4 ? 2) Comment construire les flèches de la rosace ? 3) Sur papier uni, construis une rose des vents à partir dun cercle de 3,5 cm de rayon.

20 JP. GUICHARD - IREM DE POITIERS 20 Mesurer la largeur d'une baie 1. On veut connaître la distance entre la porte A et la porte C, distance inaccessible directement Les mesures du géomètre sur le terrain 1. Où se place le géomètre ? Pourquoi ? Que mesure-t-il ? (observe la gravure) 2. Comment fonctionne l'instrument qu'il est en train d'utiliser ? (Observe les gravures du graphomètre) 3. En H est représenté son mémento (ou bloc note) : c'est une feuille de papier qu'on roule (appelée à l'époque mémorial). Que note-t-il sur sa feuille ? La construction du triangle en réduction À l'aide de son schéma et de ses mesures, le géomètre va construire avec soin sur un bout de terrain plat ou sur une feuille de papier un modèle réduit du triangle ABC : c'est le triangle EFG que l'on voit à droite sur la gravure. Tu vas faire son travail sur ton cahier. 4. Il dessine une échelle bien divisée en graduations égales (elle est représentée en D, en bas et au centre de la gravure). Combien de graduations faut-il prévoir ? 5. Il construit le triangle EFG. Écris les étapes de sa construction. Justifie. 6. Pour tracer l'angle FEG, comment fait-il ? (observe l'instrument placé en E sur la gravure) La réponse au problème TOTOTOTO

21 JP. GUICHARD - IREM DE POITIERS 21 Mesurer la largeur d'une baie 2. La réponse au problème 7. Comment, avec son triangle EFG, le géomètre va-t-il trouver la distance entre la porte A et la porte C ? Combien trouve-t-il ? TOTOTOTO L'instrument du géomètre : le graphomètre En situation Son limbe est gradué de la même façon que celui du rapporteur, en 180 parties appelées degrés. La ligne 0°-180° est appelée la ligne de foi. L'instrument pour reporter l'angle sur le papier : le rapporteur

22 JP. GUICHARD - IREM DE POITIERS 22 Les robots Devoir sur feuille pour le jeudi 24 mai 2007 Le robot Sexto est programmé pour avancer de 30 cm puis tourner à gauche de 60°, et continuer ainsi sans jamais s'arrêter. Il part d'un point A. Dessine avec précision son trajet (à l'échelle 1/10). Que peux-tu dire de son trajet ? Explique. Le robot Quinto, lui, avance de 40 cm et tourne à droite de 72°. Dessine et explique de la même façon son trajet. Le robot Spirou avance de 50 cm et tourne à gauche de 100°. Dessine et explique de la même façon son trajet. Peux-tu prévoir les trajets de tous les robots que l'on pourrait inventer sur le même modèle ? Pour quels angles peut-on programmer le robot pour qu'il s'arrête en A? T.él

23 JP. GUICHARD - IREM DE POITIERS 23 Les robots (2)

24 JP. GUICHARD - IREM DE POITIERS 24 Clairaut Pl.III

25 JP. GUICHARD - IREM DE POITIERS 25 Clairaut Pl.V


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