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C. GALLE, IEN, chargée de mission départementale mathématiques.

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1 C. GALLE, IEN, chargée de mission départementale mathématiques

2 La construction du nombre entier Rôle de lécole maternelle

3 LE NOMBRE est un concept mathématique, donc il n'existe pas. C'est un modèle mental générique qui peut se décliner en une infinité de représentations:

4 Des représentations en cycle 1

5 Des représentations au cycle 2

6 La théorie piagétienne sur la construction du nombre En 1941: Piaget associé à Szeminska « La genèse du nombre du nombre chez l'enfant ». Il considère que le nombre ne devient une notion opératoire grâce à trois capacités logiques : sériation, classification et conservation. L'opération de sériation :ordonner une série d'objets en fonction de leurs différences (la taille, le poids,...) La sériation apparaît dans l'acquisition de la suite ordonnée des naturels : 5 est plus grand que 4, qui lui-même est plus grand que 3... La classification: ranger les objets en un ensemble commun malgré leurs différences, attention à leurs points communs en faisant abstraction des différences, construire des classes logiques. La question de la conservation se pose devant deux collections composées du même nombre d'objets mais disposées différemment. L'enfant non conservant répondra qu'il y a plus de jetons là où c'est le plus long, alors que l'enfant conservant dira qu'il y en a le même nombre. (6à 7ans)

7 Le comptage chez l'enfant. Pour Piaget, le comptage ne relevait pas de la logique, mais reflétait des séquences "apprises par cœur" ne nécessitant aucun raisonnement particulier. Des auteurs ont toutefois montré que la pratique du dénombrement précède l'accès à la conservation et ont comparé l'effet de l'apprentissage du comptage, du dénombrement et de la logique. Apprendre à dénombrer peut donc aider l'enfant à développer les capacités opératoires qui sous tendent le concept de nombre. Ainsi, la construction du nombre semble reposer à la fois sur les notions logiques développées par Piaget (sériation, classification et conservation), mais également sur des procédures de dénombrement et de comptage qui seraient des pré requis à la conservation. Les apports post-piagétiens

8 Michel FAYOL dégage 2 groupes d'activités : La construction logique du nombre en s'appuyant sur les travaux de PIAGET : les opérations logiques de classement et de sériation; la correspondance terme à terme. Une approche empirique du problème : comptage, dénombrement.

9 Sciences cognitives et mathématiques S. Dehaene Le nombre : lenfant arrive avec des intuitions math, notamment sur le nombre. Les mathématiques ne sont pas des constructions arbitraires mais issus de la réalité de lespace, de lanalyse di monde, du temps, Sens des nombres doit être entrainé : affiner les précisions des systèmes. La mesure de ce système prédictif joue un rôle sur les apprentissages maths Utiliser les approximations : fondation pour les maths Acquérir un sens exact des nombres : comptage et décomptage pour la notion de linéarité (même distance entre 1 et 2 que 9 et 10) Mots et symboles pour les nombres : représentation mentale et algorithmes De lapproximatif à lalgorithmique : révolution mentale Plaisir et attention : vecteur dapprentissage

10 S. Dehaene Lécole doit se servir des intuitions ; pas dapproche formelle Tous les enfants nont pas la même discrimination du nombre mais lapprentissage est possible pour chacun. Intuition précise qui se développe avec la ligne numérique : jeu de plateau qui améliore les compétences mathématiques Bandes numériques : important pour le développement numérique de lenfant Tout enfant a vocation à amer les maths : intuitions mathématiques à développe, piquer la curiosité des enfants : matériels pour fournir un environnement de classe afin de permettre à lenfant daller jouer et augmenter les difficultés On sous estime la compétence des maths des enfants Challenge à proposer soit à la hauteur de leur envie, de leur besoin ; être ambitieux : challenge pour motiver lattention et lintérêt Faire réfléchir les enfants : eux qui récréent à partir de intuitions Curiosité : orientation de lorganisme vers ce que je veux apprendre : je sais, cest trop compliqué, je peux apprendre (endroit excitant)

11 Le nombre entier, deux mouvements de pensée La valeur ordinale : ordre dapparition, statut de numéro, le quantième, la successivité La valeur cardinale : la quantité, correspondance terme à terme, équivalence entre les quantités La quantité est considéré comme un tout

12 L'ordinalité représente le nombre dans un cadre spatial (bande numérique) dans un cadre temporel (comptine numérique) La cardinalité utilise le nombre pour mémoriser des quantités pour communiquer des quantités Ordinalité et cardinalité sont indissociables.

13 Stratégies de dénombrement du nombre Le subitizing (perception globale) est une connaissance innée des petites quantités. Il s'agit de la perception globale d'une quantité sans avoir recours au comptage. 4 ou 6 Le comptage numérotage : récitation de la comptine numérique puis association du dernier-mot nombre prononcé à la quantité totale observée

14 - Le comptage numérotage : Récitation de la comptine numérique puis association du dernier mot-nombre prononcé à la quantité totale observée. (énumération) - Le dénombrement : récitation de la comptine numérique puis association dune quantité à chaque nombre prononcé Le surcomptage = augmenter à partir dune quantité Le décomptage = diminuer à partir dune quantité Quelques mots à connaître dans leur définition

15 Apprendre à dénombrer Il faut Savoir réciter la comptine numérique Synchroniser la récitation de la comptine et le pointage de chaque objet à dénombrer Ne pointer chaque objet quune fois Noublier aucun objet Cardinaliser le dernier terme de la comptine

16 Repérage des compétences numériques (INRP équipe ERMEL) La comptine numérique La maîtrise du dénombrement La constitution dune collection de cardinal donné Le recours spontané au dénombrement Le successeur dun nombre La lecture des nombres Problèmes arithmétiques

17 Quatre objectifs importants pour la maternelle A quoi servent les nombres ? Exprimer les quantités pour les mémoriser Repérer et exprimer des positions dans une liste Traiter des problèmes "arithmétiques" Suite orale des nombres : stabilisation Dénombrement : différentes méthodes Correspondance suite orale - suite écrite, par le biais de la bande numérique

18 Les quatre grandes étapes dans lapprentissage du nombre Une approche globale dabord orale Une perception de laspect algorithmique de lécriture de la suite des nombres La découverte du groupement par dix. Les échanges

19 Lécole maternelle constitue une période décisive dans lacquisition de la suite des nombres (chaîne numérique) et de son utilisation dans les procédures de quantification. lécole maternelle a un rôle capital dans la construction de la numération cardinale comme ordinale. Les enfants y découvrent et comprennent les fonctions du nombre, en particulier comme représentation de la quantité et moyen de repérer des positions dans une liste ordonnée dobjets. Le nombre doit être perçu avant tout comme une représentation dune quantité ou dun rang: ce nest pas lobjet premier du travail à mener avec les élèves. Les situations proposées aux plus jeunes enfants (distributions, comparaisons, appariements...) les conduisent à dépasser une approche perceptive globale des collections. La manipulation dobjets doit toujours être première. Il faut mettre fin à lutilisation exclusive des photocopies aux exercices formels dénués de sens.

20 Laccompagnement quassure lenseignant en questionnant (comment, pourquoi, etc.) et en commentant ce qui est réalisé avec des mots justes, dont les mots-nombres, aide à la prise de conscience. La démarche dinvestigation est suggérée: 1. Question concrète 2. Questionnement des élèves. 3. Élaboration dexpérimentations 4. Expérimentation 5. Bilan de lexpérimentation 6. Synthèse

21 Dès le début, les nombres sont utilisés dans des situations où ils ont un sens et constituent le moyen le plus efficace pour parvenir au but : jeux, activités de la classe, problèmes posés par lenseignant de comparaison, daugmentation, de réunion, de distribution, de partage. Il faut construire des attitudes: amener les élèves à mobiliser les capacités et les connaissances qui leur permettront de résoudre de vrais problèmes.

22 La taille des collections, le fait de pouvoir agir ou non sur les objets sont des variables importantes que lenseignant utilise pour adapter les situations aux capacités de chacun. Le support papier doit permettre aux élèves de représenter, de schématiser, voire de coder. Il faut abandonner les photocopies standardisées qui conditionnent, qui formatent les élèves à être de simples exécutants de tâches répétitives, dont le sens samenuise dailleurs à mesure quelles sont à nouveau présentées aux élèves.

23 À la fin de lécole maternelle, les problèmes constituent une première entrée dans lunivers du calcul mais cest le cours préparatoire qui installera le symbolisme (signes des opérations, signe égal) et les techniques. La GS nest pas un pré-Cours Préparatoire. Il ne sagit pas de coder les situations avec un langage mathématiques expert, mais avec une codification personnelle sappuyant sur des représentations, des symboles, mais aussi de chiffres

24 La suite écrite des nombres est introduite dans des situations concrètes (avec le calendrier par exemple) ou des jeux (déplacements sur une piste portant des indications chiffrées). Les enfants établissent une première correspondance entre la désignation orale et lécriture chiffrée ; leurs performances restent variables mais il importe que chacun ait commencé cet apprentissage. Lapprentissage du tracé des chiffres se fait avec la même rigueur que celui des lettres. Des constats doivent être effectués sur la construction logique de certains intervalles et … sur les changements de logiques successifs. Onze à seize Dix-sept à dix-neuf Extension du constat de vingt à trente et extension sur léchantillon trente à soixante-neuf

25 Manipulation intuitive des nombres : jeux, comptines … Correspondance terme à terme ConstellationsComptine numérique Premiers jeux déchanges, de troc… dénombrement comparaison comptage échanges classementrangement Aspect cardinal du nombre Aspect ordinal du nombre Connaissance des premiers nombres Aspect algorithmique de la suite des nombres Distinction valeur-quantité Groupements par 10Ecritures additives des nombres Ecriture canonique Ecriture des nombres sous diverses formes et lecture La construction du nombre

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