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Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Sous-espaces.

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1 Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Sous-espaces vectoriels engendrés

2 Nous verrons dabord que lon peut obtenir un espace vectoriel en construisant toutes les combinaisons linéaires dun ensemble de vecteurs donnés. Introduction Puis, nous rappellerons un certain nombre de faits sur lespace vectoriel engendré selon que lensemble des générateurs comporte un, deux ou trois vecteurs. Les applications porteront sur la description de lespace vectoriel engendré à partir dun ensemble de générateurs et nous déter- minerons, dans chaque cas, une base et la dimension de lespace vectoriel engendré.

3 Idée de la preuve 1.Le sous-ensemble L(U) est non vide, puisque U L(U). THÉORÈME Sous-espace engendré 2.La somme de deux combinaisons linéaires des vecteurs de U est une combinaison linéaire des vecteurs de U, donc laddition est fermée sur L(U). 3.La multiplication par un scalaire dune combinaison linéaire des vecteurs de U est une combinaison linéaire des vecteurs de U, donc la multiplication par un scalaire est fermée sur L(U). On peut ainsi conclure que L(U) est un sous-espace vectoriel de V. }, un ensemble non vide de vecteurs dun espace vectoriel V sur un corps K. Alors, lensemble des combi- naisons linéaires des vecteurs de U, noté L(U), forme un sous- espace vectoriel de V. Soit U = {v1v1 v2v2 v3v3 vnvn,,, …, Sous-espace engendré

4 Dans G2 G2 ou dans G3G3 Sous-espace engendré par un vecteur S }, un ensemble contenant un seul vecteur géométrique. Les combinaisons linéaires de ce vecteur sont toutes les expressions de la forme a u Soit U = {, où a est un nombre réel. Par définition de la multiplication par un scalaire, tous ces vecteurs, ramenés à une origine commune, ont la même droite support. u Cette droite est la représentation géométrique du sous-espace engendré et u est un vecteur directeur de cette droite. Puisque le sous-espace vectoriel est une droite, on dit que sa dimension est 1 et lensemble B = { u } est une base du sous-espace., est appelé repère de la droite. Tous les points de la droite peuvent être considérés comme lextrémité dun vecteur de la forme a }, formé de lorigine et du vecteur,Lensemble {O, uu u. Il est donc suffisant de donner le scalaire a pour situer le point dans ce repère.

5 Les vecteurs engendrés sont de la forme : a(2; 1) = (2a ; a) Sous-espace engendré par un vecteur S Les vecteurs engendrés sont de la forme : a(3; –2; 4) = (3a; –2a ; 4a) = (3; –2; 4)Dans R 3, considérons u = (2; 1).uDans R 2, considérons Ils forment un sous-espace vectoriel de dimension 1 dans R 2. Ce sous-espace contient tous les vecteurs algébriques de la droite de repère {O, (2; 1)}. Ils forment un sous-espace vectoriel de dimension 1 dans R 3. Ce sous-espace contient tous les vecteurs algébriques de la droite de repère {O, (3; –2; 4)}.

6 Vecteurs colinéaires Vecteurs non-colinéaires Le sous-espace vectoriel engendré est donc de dimension 2. Sous-espace engendré par deux vecteurs représentent des vecteurs de ce plan. De plus, tout vecteur du plan peut sexprimer sous la forme a u + b v u v. Deux vecteurs non colinéaires sont linéairement indépendants. Ramenés à une origine commune, ils définissent un plan. Toutes les combinaisons linéaires de la forme a Si les deux vecteurs sont colinéaires, ils sont linéairement dépendants. Ramenés à une origine commune, ils ont la même droite support et le lieu L(U) engendré par les combinaisons linéaires de ces deux vecteurs est la droite support.

7 Dans R 2, considérons {(2; 1), (–1; 3)} Dans R 3, considérons {(2; –2; 4), (–2; 1; 2)} Sous-espace engendré par deux vecteurs Ces vecteurs sont linéairement indépendants, ils engendrent tous les vecteurs de la forme : Ces vecteurs sont linéairement indépendants, ils engendrent donc tous les vecteurs de R 2. Len- semble {(2; 1), (–1; 3)} est une base de ce sous- espace vectoriel et lensemble {O, (2; 1), (–1; 3)} est un repère du plan. Lensemble {(2; –2; 4), (–2; 1; 2)} est une base de ce sous-espace vectoriel et lensemble {O, (2; –2; 4), (–2; 1; 2)} est un repère de ce plan dans lespace. a(2; –2; 4) + b(–2; 1; 2) S

8 Vecteurs colinéaires ou vecteurs coplanaires Vecteurs non-coplanaires Dans G3G3 R3R3 Sous-espace engendré par trois vecteurs Si les vecteurs sont colinéaires ou coplanaires, cela revient à une des situations précédentes. Trois vecteurs non coplanaires sont linéairement indépendants. Ramenés à une origine commune, ils sont dans des plans distincts. Ils engendrent donc tous les vecteurs de lespace, soit un sous-espace de dimension 3. Trois vecteurs qui sont non coplanaires sont linéairement indépendants; ils engendrent un espace de dimension 3, soit R 3, et forment une base de R3.R3.

9 (a + 2b; 2a + 5b; 3a + 4b) = (x; y; z) S Décrire le sous-espace vectoriel de R 3 en- gendré par les vecteurs : v1v1 v2v2 = (1; 2; 3) et = (2; 5; 4) a(1; 2; 3) + b(2; 5; 4) = (x; y; z) En effectuant les opérations, on obtient : (a; 2a; 3a) + (2b; 5b; 4b) = (x; y; z) Par légalité des vecteurs de R 2, on obtient le système déquations quil faut résoudre pour répondre à la question, soit : a + 2b = x 2a 2a + 5b 5b = y 3a 3a + 4b 4b = z S a+ bv1v1 v2v2 =w SS = (x; y; z) soit engen- dré par les vecteurs On doit déterminer à quelle condition (ou à quelles conditions) doivent satisfaire x, y et z pour que le vecteur w v1v1 v2.v2. et On a alors : Exemple L 1 L 2 – 2L 1 L 3 – 3L 1 Par la méthode de Gauss, on a : L 1 L 2 L 3 + 2L x y 34z 2 0 x y – 2x z – 3x –2 2 0 x y – 2x 1 1 0–7x + 2y + z0 Le système a une solution unique si et seulement si : Le sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs est alors : v1v1 v2v2 et {(x; y; z) R 3 | –7x + 2y + z = 0} En isolant z dans cette équation, on obtient : –7x + 2y + z = 0 S z = 7x – 2y Les vecteurs du sous-espace sont de la forme générale : (x; y; 7x – 2y) = x(1; 0; 7) + y(0; 1; –2) {(x; y; z) R 3 | –7x + 2y + z = 0} Le sous-espace vectoriel est engendré par les vecteurs linéairement indépendants (1; 0; 7) et (0; 1; –2). Par conséquent, B = {(1; 0; 7), (0; 1; –2)} est une base de ce sous-espace. Il est donc de dimension 2. Tous ces vecteurs sont coplanaires et forment un plan dont léquation est : –7x + 2y + z = 0

10 Décrire le sous-espace vectoriel de R 3 engendré par les vecteurs : S Exemple a v1v1 v2v2 = (1; 2; –1), = (3; 2; 1) et v3v3 = (–1; 2; –2) = L 1 L 2 – 3L 1 L 3 + L –12–2 2– –440 4–30 det (v1,v1,v2,v2,v3)v3)= = 1 On dispose de trois vecteurs à trois composantes. On peut déterminer si ces vecteurs sont linéairement indépendants en calculant le déterminant dont les lignes sont les composantes des vecteurs : Puisque le déterminant est non nul, les vecteurs sont linéairement indépendants et le sous-espace engendré est R 3. –44 4–3 = 1 (12 – 16) = –4 0

11 Décrire le sous-espace vectoriel de R 3 engendré par les vecteurs : SS S Exemple b v1v1 v2v2 = (1; 3; 2), = (2; –1; –3) et v3v3 = (4; 5; 1) = L 1 L 2 – 2L 1 L 3 – 4L 1 2–1– –7 0 0 det (v1,v1,v2,v2,v3)v3)= = 0 Calculons dabord le déterminant : Puisque le déterminant est nul, les vecteurs sont linéairement dépendants et ne peuvent former une base de R 3. Déterminons le sous-espace engendré par les vecteurs. Ce sous- espace est formé des vecteurs = (x; y; z) tels quil existe des scalaires a 1, a 2 et a 3 pour lesquels : w w a1a1 v1v1 v2v2 v3v3 + a2+ a2 + a3+ a3 = Doù : a 1 (1; 3; 2) + a 2 (2; –1; –3) + a 3 (4; 5; 1) = (x; y; z) On a donc : a1 a1 + 2a2 2a2 + 4a 3 = x 3a1 3a1 – a2 a2 + 5a 3 = y 2a1 2a1 – 3a2 3a2 + a 3 = z L 1 L 2 – 3L 1 L 3 – 2L –15 2–31 1x y z 24 0–7 0 1x y – 3x z – 2x –7 Appliquons la méthode de Gauss : L 1 L 2 L 3 – L – x y – 3x x – y + z –7 Le système a une solution si et seulement si : x – y + z = 0 Par conséquent, B = {(1; 0; –1), (0; 1; 1)} est une base de ce sous- espace qui est donc de dimension 2. Tous ces vecteurs sont coplanaires et forment un plan dont léquation est : {(x; y; z) R3 R3 | x – y + z = 0} En isolant z dans cette équation, on obtient : Le sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs v1v1 v2v2, est :v3v3 et Le sous-espace vectoriel est engendré par les vecteurs linéairement indépendants (1; 0; –1) et (0; 1; 1). z = –x + y Les vecteurs du sous-espace sont de la forme générale : (x; y; –x + y) = x(1; 0; –1) + y(0; 1; 1) x – y + z = 0

12 Décrire le sous-espace vectoriel de R 3 engendré par les vecteurs : SS S Exercice v1v1 v2v2 = (3; –2; 1), = (4; 1; 3) etv3v3 = (5; 4; 5) = L 1 + 2L 2 L 2 L 3 – 4L – –7–11 det (v1,v1,v2,v2,v3)v3)= = 0 Calculons dabord le déterminant : Puisque le déterminant est nul, les vecteurs sont linéairement dépendants et ne peuvent former une base de R 3. Déterminons le sous-espace engendré par les vecteurs. Ce sous- espace est formé des vecteurs = (x; y; z) tels quil existe des scalaires a 1, a 2 et a 3 pour lesquels : w w a1a1 v1v1 v2v2 v3v3 + a2+ a2 + a3+ a3 = Doù : a 1 (3; –2; 1) + a 2 (4; 1; 3) + a 3 (5; 4; 5) = (x; y; z) On a donc : 3a1 3a1 + 4a2 4a2 + 5a 3 = x –2a 1 + a2 a2 + 4a 3 = y a1 a1 + 3a2 3a2 + 5a 3 = z L 1 L 2 + 2L 1 L 3 – 3L 1 35 – z y x –5–10 1z y + 2z x – 3z 7 Appliquons la méthode de Gauss en plaçant la troisième équation sur la première ligne de la matrice augmentée : L 1 L 2 7L 3 + 5L z y + 2x 7x + 5y – 11z 7 Le système a une solution si et seulement si : 7x + 5y – 11z = 0 Par conséquent, B = {(1; 0; 7/11), (0; 1; 5/11)} est une base de ce sous- espace qui est donc de dimension 2. Tous ces vecteurs sont coplanaires et forment un plan dont léquation est : {(x; y; z) R3 R3 | 7x + 5y – 11z = 0} En isolant z dans cette équation, on obtient : Le sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs v1v1 v2v2, est :v3v3 et Le sous-espace vectoriel est engendré par les vecteurs linéairement indépendants (1; 0; 7/11) et (0; 1; 5/11). z = (7x + 5y)/11 Les vecteurs du sous-espace sont de la forme générale : (x; y; (7x + 5y)/11) = x(1; 0; 7/11) + y(0; 1; 5/11) 7x + 5y – 11z = 0

13 Description vectorielle de lieux géométriques Les sous-espaces vectoriels ne sont pas les seuls sous-ensembles intéressants dun espace vectoriel. On peut décrire des sous- ensembles dun espace vectoriel comme combinaison linéaire de vecteurs en imposant des contraintes au domaine de variation des scalaires. Nous présentons ici quelques exemples de sous-ensembles définis par combinaison linéaire avec contraintes sur la variation des scalaires. Ce sont le parallélogramme, le parallélépipède, le triangle et la pyramide à base triangulaire.

14 Exemple s 1 et 0 t 1 Les points du parallélogramme sont décrits vectoriellement par : (x; y) = s(2; 1) + t(1; 3) Donner la description vectorielle et la description paramétrique du parallélogramme construit sur les vecteurs : v1v1 v2v2 = (2; 1) et = (1; 3) La description paramétrique des points du parallélogramme est : où 0 s 1 et 0 t 1 x = 2s + t y = s + 3t3t où 0 s 1 et 0 t 1 On procède de façon analogue pour un parallélogramme dans R 3.

15 Exercice Les points du parallélogramme sont décrits vectoriellement par : (x; y; z) = s(2; –3; 4) + t(–1; 3; 4) Donner la description vectorielle et la description paramétrique du parallélogramme construit sur les vecteurs : v1v1 v2v2 = (2; –3; 4) et = (–1; 3; 4) La description paramétrique des points du parallélogramme est : où 0 s 1 et 0 t 1 x = 2s – t y = –3s + 3t z = 4s + 4t où 0 s 1 et 0 t 1 S 0 s 1, 0 t 1

16 Exemple Les points du parallélépipède sont décrits vectoriellement par : 0 r 1, 0 s 1 et 0 t 1 (x; y; z) = r(2; 0; 4) + s(1; 4; 0) + t(–2; 1; 2) Donner la description vectorielle et la description paramétrique du parallélépipède construit sur les vecteurs : v1v1 v2v2 = (2; 0; 4), = (1; 4; 0) et v3v3 = (–2; 1; 2) La description paramétrique des points du parallélépipède est : où 0 r 1, 0 s 1 et 0 t 1 x = 2r 2r + s – 2t2t y = 4s 4s + t z = 4r 4r + 2s2s

17 Exemple s 1, 0 t 1 et s + t 1 Les points du triangle sont décrits vectoriellement par : (x; y) = s(2; 1) + t(–1; 3) Donner la description vectorielle et la description paramétrique du triangle construit sur les vecteurs : v1v1 v2v2 = (2; 1) et = (–1; 3) La description paramétrique des points du triangle est : où 0 s 1 et 0 t 1 et s + t 1 x = 2s – t y = s + 3t3t où 0 s 1 et 0 t 1 et s + t 1 On procède de façon analogue pour un triangle dans R 3.

18 Exercice 0 s 1, 0 t 1 et s + t 1 Les points du parallélogramme sont décrits vectoriellement par : (x; y; z) = s(2; –3; 4) + t(–1; 3; 4) Donner la description vectorielle et la description paramétrique du triangle construit sur les vecteurs : v1v1 v2v2 = (2; –3; 4) et = (–1; 3; 4) La description paramétrique des points du parallélogramme est : où 0 s 1, 0 t 1 et s + t 1 x = 2s – t y = –3s + 3t3t z = 4s 4s + 4t4t où 0 s 1, 0 t 1 et s + t 1 S

19 Exemple r 1, 0 s 0 t 1 et r + s + t 1 Les points de la pyramide sont décrits vectoriellement par : (x; y; z) = r(2; 0; 4) + s(1; 4; 0) + t(–2; 1; 2) Donner la description vectorielle et la description paramétrique de la pyramide à base triangulaire construite sur les vecteurs : v1v1 v2v2 = (2; 0; 4), = (1; 4; 0) et v3v3 = (–2; 1; 2) La description paramétrique des points de la pyramide est : où 0 r 1, 0 s 1, 0 t 1 et r + s + t 1 x = 2r 2r + s – 2t2t y = 4s 4s + t z = 4r 4r + 2s2s où 0 r 1, 0 s 1, 0 t 1 et r + s + t 1

20 Conclusion Si U est un sous-ensemble dun espace vectoriel V, lensemble des combinaisons linéaires des vecteurs de U, noté L(U), forme un sous- espace vectoriel de V. Dans R 3, les combinaisons linéaires de trois vecteurs engendrent R 3 si et seulement si les trois vecteurs sont linéairement indépendants. On peut savoir si les vecteurs sont linéairement indépendants en calculant le déterminant dont les éléments sont les composantes des vecteurs. Le nombre maximal de vecteurs linéairement indépendants de lensemble U détermine la dimension du sous-espace vectoriel L(U). Lorsque les vecteurs donnés sont linéairement dépendants, il faut déterminer à quelle condition un vecteur (x; y; z) est engendré par les vecteurs donnés. On peut décrire différents lieux géométriques en imposant des contraintes sur le domaine de variation des scalaires.

21 Exercices Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences de la nature, Section 7.2, p. 192 et 194. Lecture Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences de la nature, Section 7.1, p. 185 à 192.


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