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1 APPROXIMATION. MOINDRES CARRES. 2 Approcher le graphe de la fonction sur [0,1] par une droite. 00.20.40.60.81 -1.5 -0.5 0 0.5 1 1.5 cos t.

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1 1 APPROXIMATION. MOINDRES CARRES

2 2 Approcher le graphe de la fonction sur [0,1] par une droite cos t

3 3 problème dapproximation avec contrainte. Approcher » sur [0,1] le graphe de la fonction par une parabole dont la tangente en 0 est égal à

4 4 Ajuster un ensemble de points à laide dune droite. xkxk ykyk

5 5 I-Approximation dans un espace préhilbertien I-1 Théorème de la projection Soit H espace vectoriel muni dune norme et V une partie de H. Pour u donné dans H, on considère le problème (Q) Si u* existe et est unique, il est dit meilleure approximation de u dans V ou projection de u sur V.

6 6 Dans la suite on se place dans le cas particulier où H est un espace préhilbertien V est le translaté dun espace vectoriel de dimension finie est la norme associée au produit scalaire On verra que la résolution du problème (Q) peut se ramener alors à celle dun système linéaire.

7 7 Théorème 1 Soit V une partie de H,translatée dun sous-espace vectoriel V 0 de dimension finie de H. 1°), il existe un unique élément de V noté u* tel que 2°) Lélément est caractérisé par Soit H un espace préhilbertien sur muni du produit scalaire et de la norme associée

8 8 Remarque: V translaté de V 0 signifie: V nest pas un espace vectoriel sauf si v=0 soit V=V 0 u Illustration du théorème: V V0V0 w o u*

9 9 I-2 Applications On note {v i }, i=1 à n une famille finie déléments de H. On sintéresse au problème de minimisation dans : a) Problème sans contrainte En posant V=espace engendré par la famille {v i }, i=1 à n, le problème (P) se met sous la forme du problème (Q) avec Soit u un élément de H.

10 10 Théorème 2 1°) 2°) est solution si et seulement s il vérifie le système linéaire où G est la matrice (n,n) et b le vecteur de définis respectivement par: 3°)

11 11 Démonstration: u* projection de u sur V

12 12 Remarques: a) La matrice G est dite matrice de GRAM. b) G est symétrique par propriété du produit scalaire c) G est semi-définie positive. d) G est symétrique définie positive si la famille est libre.

13 13 b) Problème avec contraintes Soit M une matrice (p,n) « surjective » (donc de rang p) Pour, on note X c la partie non vide de définie par On sintéresse au problème de minimisation dans X c : Le problème (P c ) se met sous la forme du problème (Q) en posant Soit u un élément de H.

14 14 V 0 est un espace vectoriel de dimension finie. De façon similaire au théorème 2, on peut donner une CNS dunicité de la solution et montrer que sobtient en résolvant un système linéaire de dimension (n+p,n+p). V est un translaté despace vectoriel:

15 15 Théorème 3 1°) 2°) est solution si et seulement sil vérifie le système où, G est la matrice (n,n) et b le vecteur de définis dans le théorème 2 3°)

16 16 Remarque: Si la famille {v i } est libre alors Ker(G)={0}. Il y a a donc unicité de la solution. Exemple: n=2 p=1 M=[1 2] de rang 1 Le problème (P c ) admet au moins une solution qui vérifie le système:

17 17 On se pose le problème « dapprocher » le graphe de la fonction sur [0,1] par une droite. II-Application aux moindres carrés II-1 Moindres carrés continus a) sans contrainte Une méthode naturelle consiste à l approcher au sens des des moindres carrés dit « continus » cos t

18 18 On cherche la meilleure approximation au sens de la norme d une fonction par une fonction Soit un sous-espace de dimension finie n. L 2 (]a,b[) espace des classes [f] de fonctions définies sur ]a,b[ de carré intégrable est un espace de Hilbert quand il est muni du produit salaire:

19 19 Le problème se met sous la forme du problème (P) avec Théorème 2 La meilleure approximation sobtient en résolvant le système

20 20 Dans ce cas cas particulier de lapproximation par un polynôme espace des polynômes de degré muni de la base des monômes Attention! Cette matrice est très mal conditionnée. Pour n grand, on choisira plutôt une base de polynômes orthogonaux qui rend la matrice G diagonale.

21 21 Illustration numérique: retour à lexemple

22 22 b) avec contraintes Cest un problème dapproximation similaire au précédent auquel on a rajouté une contrainte. On se pose le problème « dapprocher » sur [0,1] le graphe de la fonction par une parabole dont la tangente en 0 est égal à

23 23 Ce problème peut s écrire comme un problème d approximation dans L 2 (]a,b[) : est une partie dun sous-espace de dimension finie n définie par. Dans lexemple précédent est l espace des polynômes de degré Il y a une contrainte (donc p=1) qui s écrit l 1 est bien une forme linéaire.

24 24 Ce problème dapproximation peut se mettre sous la forme du problème (P c ) en introduisant une base Si M est surjective, on peut alors appliquer le théorème 3.

25 25 Illustration numérique: retour à lexemple

26 26 II-2 Résolution d un système linéaire au sens des moindres carrés Par mesure, on obtient pour les angles dun triangle.On voudrait en déduire 3 valeurs vérifiant exactement On peut écrire ce problème comme un système à 2 inconnues Ce système ne possède pas en général de solution.

27 27 On dit que lon « résout » le système au sens des moindres carrés si on résout le problème Trouver qui minimise sur w k, k=1 à N sont des réels >0 (poids). Si le système admet une solution au sens habituel, alors. Le minimum est donc atteint pour cette valeur. Soit le système où une matrice rectangulaire A (N,n) et. (N=3 et n=2 dans l exemple précédent).

28 28 Le problème de minimisation sécrit encore

29 29 est solution si et seulement sil vérifie le système où D W est la matrice diagonale (N,N) définie par le problème aux moindres carrés admet au moins une solution Proposition 1

30 30 Remarques: a ) Ker(A)={0} les colonnes A j sont linéairement indépendantes est une condition nécessaire dunicité de la solution (plus déquations que dinconnues). b) Pour retenir le résultat : c) On pourrait traiter un problème avec contraintes en utilisant le théorème 3.

31 31 Illustration numérique: retour à lexemple Ker(A)={0} unicité

32 32 II-3 Moindres carrés discrets On se pose le problème d ajuster un ensemble de points à l aide d une droite. xkxk ykyk N=8

33 33 Résoudre ce problème au sens des moindres carrés discrets consiste à déterminer une fonction espace de fonctions de dimension finie telle que soient « petits ». xkxk ykyk

34 34 Une base étant donnée, cela revient à résoudre le problème w k >0 k=1 à N sont des poids. Il peut sécrire sous la forme du problème (voir TD 6) De la proposition 1, on tire alors le corollaire suivant:

35 35 Corollaire 1°) Le problème aux moindres carrés discrets admet au moins une solution 2°) est solution si et seulement s il vérifie le système linéaire où G est la matrice (n,n) et b le vecteur de définis respectivement par : est unique si et seulement si lespace vérifie la propriété:

36 36 Application : droite aux moindres carrés n=2 base des monômes:


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