La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

APPROXIMATION. MOINDRES CARRES.

Présentations similaires


Présentation au sujet: "APPROXIMATION. MOINDRES CARRES."— Transcription de la présentation:

1 APPROXIMATION. MOINDRES CARRES

2 Approcher le graphe de la fonction sur [0,1] par une droite.
0.2 0.4 0.6 0.8 1 -1.5 -1 -0.5 0.5 1.5 cos t

3 problème d’approximation avec contrainte.
Approcher » sur [0,1] le graphe de la fonction par une parabole dont la tangente en 0 est égal à problème d’approximation avec contrainte. 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

4 Ajuster un ensemble de points à l’aide d’une droite.
xk yk

5 I-Approximation dans un espace préhilbertien
I-1 Théorème de la projection Soit H espace vectoriel muni d’une norme et V une partie de H. Pour u donné dans H, on considère le problème (Q) Si u* existe et est unique, il est dit meilleure approximation de u dans V ou projection de u sur V.

6 Dans la suite on se place dans le cas particulier où
H est un espace préhilbertien est la norme associée au produit scalaire V est le translaté d’un espace vectoriel de dimension finie On verra que la résolution du problème (Q) peut se ramener alors à celle d’un système linéaire.

7 Soit H un espace préhilbertien sur muni du produit scalaire et de la norme associée
Théorème 1 Soit V une partie de H ,translatée d’un sous-espace vectoriel V0 de dimension finie de H. 1°) , il existe un unique élément de V noté u* tel que 2°) L’élément est caractérisé par

8 V translaté de V0 signifie:
Remarque: V translaté de V0 signifie: V n’est pas un espace vectoriel sauf si v=0 soit V=V0 Illustration du théorème: V u u* w o V0

9 I-2 Applications On note {vi}, i=1 à n une famille finie d’éléments de H. a) Problème sans contrainte Soit u un élément de H. On s’intéresse au problème de minimisation dans : En posant V=espace engendré par la famille {vi}, i=1 à n, le problème (P) se met sous la forme du problème (Q) avec

10 Théorème 2 1°) 2°) est solution si et seulement s ’il vérifie le système linéaire où G est la matrice (n,n) et b le vecteur de définis respectivement par: 3°)

11 Démonstration: u* projection de u sur V

12 Remarques: a) La matrice G est dite matrice de GRAM. b) G est symétrique par propriété du produit scalaire c) G est semi-définie positive. d) G est symétrique définie positive si la famille est libre.

13 b) Problème avec contraintes
Soit M une matrice (p,n) « surjective » (donc de rang p) Pour , on note Xc la partie non vide de définie par Soit u un élément de H. On s’intéresse au problème de minimisation dans Xc: Le problème (Pc) se met sous la forme du problème (Q) en posant

14 V est un translaté d’espace vectoriel:
V0 est un espace vectoriel de dimension finie. De façon similaire au théorème 2, on peut donner une CNS d’unicité de la solution et montrer que s’obtient en résolvant un système linéaire de dimension (n+p,n+p).

15 Théorème 3 1°) 2°) est solution si et seulement s’il vérifie le système où , G est la matrice (n,n) et b le vecteur de définis dans le théorème 2 3°)

16 Remarque: Si la famille {vi} est libre alors Ker(G)={0}
Remarque: Si la famille {vi} est libre alors Ker(G)={0}. Il y a a donc unicité de la solution. Exemple: n=2 p=1 M=[1 2] de rang 1 Le problème (Pc) admet au moins une solution qui vérifie le système:

17 II-Application aux moindres carrés II-1 Moindres carrés continus
a) sans contrainte On se pose le problème « d’approcher » le graphe de la fonction sur [0,1] par une droite. Une méthode naturelle consiste à l ’approcher au sens des des moindres carrés dit « continus ». 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -1.5 -1 -0.5 0.5 1.5 cos t

18 L2(]a,b[) espace des classes [f] de fonctions définies sur
]a,b[ de carré intégrable est un espace de Hilbert quand il est muni du produit salaire: Soit un sous-espace de dimension finie n. On cherche la meilleure approximation au sens de la norme d ’une fonction par une fonction

19 Le problème se met sous la forme du problème (P) avec
Théorème 2 La meilleure approximation s’obtient en résolvant le système

20 cas particulier de l’approximation par un polynôme
espace des polynômes de degré muni de la base des monômes Dans ce cas Attention! Cette matrice est très mal conditionnée. Pour n grand, on choisira plutôt une base de polynômes orthogonaux qui rend la matrice G diagonale.

21 Illustration numérique: retour à l’exemple

22 b) avec contraintes On se pose le problème « d’approcher » sur [0,1] le graphe de la fonction par une parabole dont la tangente en 0 est égal à C’est un problème d’approximation similaire au précédent auquel on a rajouté une contrainte. 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

23 est une partie d’un sous-espace de dimension finie n définie par .
Ce problème peut s ’écrire comme un problème d ’approximation dans L2(]a,b[) : est une partie d’un sous-espace de dimension finie n définie par . Dans l’exemple précédent est l ’espace des polynômes de degré Il y a une contrainte (donc p=1) qui s ’écrit l1 est bien une forme linéaire.

24 Si M est surjective , on peut alors appliquer le théorème 3.
Ce problème d’approximation peut se mettre sous la forme du problème (Pc) en introduisant une base Si M est surjective , on peut alors appliquer le théorème 3.

25 Illustration numérique: retour à l’exemple

26 II-2 Résolution d ’un système linéaire au sens des moindres carrés
Par mesure, on obtient pour les angles d’un triangle.On voudrait en déduire 3 valeurs vérifiant exactement On peut écrire ce problème comme un système à 2 inconnues Ce système ne possède pas en général de solution.

27 Soit le système où une matrice rectangulaire A (N,n) et
Soit le système où une matrice rectangulaire A (N,n) et (N=3 et n=2 dans l ’exemple précédent). On dit que l’on « résout » le système au sens des moindres carrés si on résout le problème Trouver qui minimise sur wk , k=1 à N sont des réels >0 (poids). Si le système admet une solution au sens habituel, alors Le minimum est donc atteint pour cette valeur.

28 Le problème de minimisation s’écrit encore

29 le problème aux moindres carrés admet au moins une solution
Proposition 1 est solution si et seulement s’il vérifie le système où DW est la matrice diagonale (N,N) définie par

30 Remarques: a) Ker(A)={0} les colonnes Aj sont linéairement indépendantes est une condition nécessaire d’unicité de la solution (plus d’équations que d’inconnues). b) Pour retenir le résultat: c) On pourrait traiter un problème avec contraintes en utilisant le théorème 3.

31 Illustration numérique: retour à l’exemple
Ker(A)={0} unicité

32 II-3 Moindres carrés discrets
On se pose le problème  d ’ajuster un ensemble de points à l ’aide d ’une droite. xk yk N=8

33 Résoudre ce problème au sens des moindres carrés discrets consiste à déterminer une fonction espace de fonctions de dimension finie telle que soient «  petits ». xk yk

34 Une base étant donnée, cela revient à résoudre le problème
wk>0 k=1 à N sont des poids. Il peut s’écrire sous la forme du problème (voir TD 6) De la proposition 1, on tire alors le corollaire suivant:

35 Corollaire 1°) Le problème aux moindres carrés discrets admet au moins une solution 2°) est solution si et seulement s ’il vérifie le système linéaire où G est la matrice (n,n) et b le vecteur de définis respectivement par : est unique si et seulement si l’espace vérifie la propriété:

36 Application : droite aux moindres carrés
n=2 base des monômes:


Télécharger ppt "APPROXIMATION. MOINDRES CARRES."

Présentations similaires


Annonces Google