La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

1 METHODES ITERATIVES DE RESOLUTION DE SYSTEMES LINEAIRES: JACOBI, GAUSS-SEIDEL, S.O.R.

Présentations similaires


Présentation au sujet: "1 METHODES ITERATIVES DE RESOLUTION DE SYSTEMES LINEAIRES: JACOBI, GAUSS-SEIDEL, S.O.R."— Transcription de la présentation:

1 1 METHODES ITERATIVES DE RESOLUTION DE SYSTEMES LINEAIRES: JACOBI, GAUSS-SEIDEL, S.O.R.

2 2 Carl Gustav Jacob JACOBI Johann Carl Friedrich GAUSS Philipp Ludwig von SEIDEL

3 3 Pierre-Louis LIONS SMAI: Société de mathématiques appliquées et industrielles Médaille Fields en 1994

4 4 Les méthodes de Jacobi, Gauss-Seidel et S.O.R. (Successive Over Relaxation) sont des méthodes itératives de résolution de systèmes linéaires. Pour résoudre un système Ax=b où A est une matrice (n,n) et b, elles construisent des suites qui vérifient la relation: M matrice (n,n) et c étant définis à partir de A et b. Dans la suite, A est supposée réelle et régulière.

5 5 I Description des méthodes, programmation et écriture vectorielle. I-1 Méthode de Jacobi a) par points A partir d un vecteur x (0) quelconque pris dans, on construit la suite de vecteurs x (p) dans suivant les formules: Remarque: (1) (2)

6 6 Sur le système à résoudre, elles sécrivent: est tiré de léquation n° i, en laissant les autres composantes à leur valeur dans litération p. Remarque: La méthode ne peut être mise en œuvre que si

7 7 Exemple: Jacobi:

8 8 La programmation de méthode de Jacobi est simple: 2 tableaux unicolonnes X et Y suffisent pour simuler litération Dans le tableau Y, on stocke litéré (p+1) qui est calculé à partir du tableau X contenant litéré p. On écrase ensuite les valeurs du tableau X par celle de Y

9 9 Exemple: Problème (P 1, h ) avec ]a,b[=]0,1[ et numérotation des nœuds dans lordre naturel. Initialisation à partir des données du problème 1 itération de Jacobi Le tableau X est de dimension n+2 au lieu de n pour prendre en compte les conditions aux limites toutes les équations sont traitées dans une seule boucle Astuce de programmation!

10 10 Remarque: Sur ce problème la méthode de Jacobi est beaucoup plus coûteuse que la méthode de Gauss. Il nest donc pas conseillé de lutiliser. En effet le coût de Gauss est en O(n) car la matrice est tridiagonale. On verra dans le paragraphe II que celui de Jacobi est en O(n 3 ).

11 11 b) par blocs Le système Ax=b est écrit sous la forme par blocs suivante Pour i=1 à r,A ii sont des matrices carrées (m i,m i ) supposées inversibles. On a donc

12 12 La formule par points (1) sétend en une formule par blocs de la façon suivante Si m i =1, pour i=1 à r, les matrices A ii se réduisent à des scalaires et la méthode par blocs coïncide avec la méthode par points.

13 13 Exemple: Jacobi par blocs: Attention! Le calcul X=H -1 Y se programme comme une résolution du système HX=Y. On ne calcule pas H -1 (trop coûteux).On factorise H.

14 14 I-2 Méthode de Gauss-Seidel a) par points Au lieu dattendre une itération entière comme il est fait dans la méthode de Jacobi, on corrige au fur et à mesure. On tire de léquation n° i, les valeurs des autres composantes étant fixées à pour j i.

15 15 Comme pour Jacobi, la méthode ne peut être mise en œuvre que si Remarques: (4) (5) On obtient alors les formules:

16 16 Exemple: Gauss-Seidel:

17 17 Dans la méthode de Jacobi, le calcul des composantes de x (p+1) peut se faire dans un ordre quelconque. Ce nest pas possible pour Gauss-Seidel. Il faut avoir calculé pour calculer La programmation de méthode de Gauss-Seidel est cependant plus simple que celle de Jacobi

18 18 1 seul tableau unicolonne X suffit pour simuler litération Dés quelle calculée,la « nouvelle » valeur de la composante écrase « lancienne » valeur La programmation est ainsi simplifiée.

19 19 b) par blocs On reprend la décomposition par blocs introduite pour la méthode de Jacobi. La formule par points (4) sétend en une formule par blocs de la façon suivante

20 20 Exemple: Gauss-Seidel par blocs

21 21 I-3 méthode S.O.R. par points En vue daccélérer la convergence de la méthode de Gauss- Seidel, on introduit un paramètre réel (8) sécrit apparaît comme une pondération

22 22 Remarques: a) la méthode ne peut être mise en œuvre que si b) On peut aussi définir une méthode S.O.R. par blocs. c) En pratique, doit être pris dans. Cest une condition nécessaire de convergence (ce sera vu dans la suite).

23 23 I-4 Test d arrêt La méthode de Gauss est une méthode directe au sens où elle fournit la solution du système en un nombre fini dopérations élémentaires. Par contre, Jacobi,Gauss-Seidel et S.O.R. sont des méthodes itératives. Pour déterminer quand on arrête litération, il faut introduire un test darrêt basé sur un critère permettant destimer si on est « proche » de la solution. Par exemple, le plus simple est un test sur le résidu. est une norme sur et un réel positif « petit » à choisir en fonction du problème

24 24 Pour en prendre en compte les cas où la méthode itérative ne converge pas ou trop lentement, on introduit un nombre ditérations maximum à ne pas dépasser. algorithme général initialisation

25 25 b) la précision attendue doit tenir compte du problème qui est à lorigine du système. Remarque: comment choisir ? a) On montre que est un réel strictement positif qui dépend de A et qui peut être grand! Exemple: matrice et norme du max, c A = O(h -2 ) Exemple : problème ( P 1 ) discrétisation On a vu que lerreur de discrétisation est bornée par un O(h 2 ). Pour h "petit" est donc adaptée.

26 26 On suppose donc D inversible. I-5 Ecriture sous forme vectorielle Nous allons montrer que les 3 méthodes sécrivent sous la forme a) Méthodes par points A=D-E-F diagonale triangulaire inférieure stricte triangulaire supérieure stricte

27 27

28 28 Jacobi J : matrice d itération de Jacobi

29 29 Gauss-Seidel L 1 : matrice d itération de Gauss-Seidel D-E est triangulaire inférieure inversible car D est inversible

30 30 S.O.R. D - E est triangulaire inférieure inversible car D est inversible : matrice d itération de S.O.R.

31 31 b) Méthodes par blocs On pose A = D - E - F On suppose les matrices A ii inversibles donc D inversible. Les méthodes par blocs conduisent alors à des écritures formellement identiques. Exemple: La matrice ditération de Jacobi par blocs est donné par I-D -1 A.

32 32 I-6 Splitting de matrices Nous allons voir que les méthodes de Jacobi,Gauss-Seidel et S.O.R. si peuvent se mettre sous la forme Les méthodes définies par (15) pour résoudre Ax=b sont appelées « méthodes de splitting ».

33 33

34 34 Supposons que la suite {x (p) }définies par (15) converge vers une limite notée x*. Il vient: A 1 x*=A 2 x*+b (A 1 -A 2 )x*=b Ax*=b Quand il y a convergence, cest donc vers la solution du système. Conditions de convergence ?

35 35 II-Etude de la convergence II-1 Etude de la convergence d une itération linéaire a)Rappels et compléments sur les matrices et normes de matrices Soit A une matrice carrée (n,n) à valeurs complexes ou réelles. La matrice adjointe A* de A est définie par Si A=A* A est dite hermitienne (ou autoadjointe) On notera Sp(A) le spectre de A qui est lensemble de ses valeurs propres.

36 36 Norme de matrice: A partir dune norme de vecteurs sur notée une norme notée peut être définie sur lespace des matrices carrées (n,n) à valeurs complexes ou réelles: est dite norme de matrice induite par la norme de vecteurs

37 37 Une norme de matrice nest pas forcément une norme de matrice induite. mais N(I d )= (16) I d =matrice identité

38 38 (16) Si A et B sont 2 matrices (n,n) (16)+(17) Une norme de matrice qui vérifie (18) est dite norme matricielle 2 inégalités qui seront utilisées dans la suite:

39 39 Définition1 On appelle rayon spectral de A le nombre réel noté défini par Remarque:

40 40 Ces normes sur induisent des normes de matrice qui vérifient respectivement les égalités Proposition 1 Pour, on note admise

41 41 Conséquences de la proposition 1: Exemple:

42 42 Théorème 1 (Householder) Soit A une matrice carrée à valeurs réelles ou complexes. Alors Conséquences: pour une norme induite quelconque En particulier sont des majorants facilement calculables en pratique. En particulier

43 43 b) conditions nécessaires et suffisantes de convergence Soit M une matrice carrée (n,n) réelle et c un vecteur de Définition 2 Litération linéaire définie par est dite convergente si quel que soit le vecteur de départ, la suite converge vers la même limite. Remarque: Si M est la matrice identité et c le vecteur nul, litération linéaire (19) construit une suite stationnaire donc convergente mais dont la limite dépend du point de départ. Elle ne vérifie donc pas la définition 2.

44 44 Théorème 2 Litération linéaire définie par (19) est convergente si et seulement si Lemme Les propositions suivantes sont équivalentes De plus, si elles sont vérifiées I-M est régulière

45 45 Démonstration du théorème: Supposons la convergence de l itération linéaire. Soit x la limite de la suite x (0) est quelconque dans et x ne dépend pas de x (0) par hypothèse

46 46 Supposons lemme I-M est régulière Soit x la solution du système (I-M)x = c donc la suite converge vers x qui ne dépend pas de x (0)

47 47 Le rayon spectral de la matrice ditération mesure donc la vitesse asymptotique de convergence Si litération est convergente, le taux de décroissance moyen pour les p premiers pas peut être estimé par On montre que De 2 itérations linéaires, on choisira celle qui a le plus petit

48 48 c)Estimation du nombre ditérations à partir du rayon spectral de la matrice d itération On veut estimer le nombre ditérations p, suffisant pour que Attention cette estimation a surtout un intérêt théorique. On ne doit pas lutiliser pour un test darrêt dans un code car elle est trop coûteuse à calculer!

49 49 Exemple dapplication N

50 50 Coût dune itération ? estimation asymptotique: O(N 3 ) Rappel :coût de Gauss sur matrice tridiagonale (N,N) : O(N) Estimations du nombre ditérations et du coût: 3 opérations par composante coût en O(N) Coût total de Jacobi: Conclusion: Il ne faut pas résoudre ce système par la méthode de Jacobi !

51 51 II-2 Application aux méthodes de Jacobi, Gauss-Seidel et S.O.R. Définition 3 Soit A une matrice(n,n) à valeurs réelles ou complexes. On dit que A est à diagonale strictement dominante si Lemme de Hadamard: A à diagonale strictement dominante A régulière

52 52 Théorème 4 (Kahan) La matrice ditération de S.O.R. par points ou par blocs vérifie La méthode S.O.R. n est donc pas convergente si. Théorème 3 Les méthodes de Jacobi et Gauss-Seidel par points pour résoudre un système de matrice à diagonale strictement dominante sont des itérations linéaires convergentes. Démonstration en TD

53 53 Démonstration (par points) sont triangulaires respectivement de diagonales D et

54 54 Corollaire La méthode S.O.R. par points ou par blocs pour résoudre un système de matrice réelle symétrique définie positive est une une itération linéaire convergente si et seulement si.En particulier la méthode de Gauss-Seidel est convergente. Théorème 5 (Ostrowski) Soit A et A 1 2 matrices réelles (n,n). Si les matrices A et sont symétriques définies positives, litération linéaire définie à partir du splitting A=A 1 -(A-A 1 ) est convergente. Admis

55 55 Le splitting de S.O.R. est donné par A s.d.p. D s.d.p. Démonstration Théorème 4 daprès Théorème 5S.O.R. converge

56 56 Théorème 6 Sur un système de matrice tridiagonale par blocs, les itérations de Jacobi et Gauss-Seidel par blocs convergent ou divergent simultanément avec. Admis Application: Corollaire du th 5 la méthode de Gauss-Seidel par blocs converge. théorème 6 Jacobi par blocs converge mais moins vite que Gauss-Seidel par blocs


Télécharger ppt "1 METHODES ITERATIVES DE RESOLUTION DE SYSTEMES LINEAIRES: JACOBI, GAUSS-SEIDEL, S.O.R."

Présentations similaires


Annonces Google