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GESTION DU PROBLEME DE TRANSPORT Réalisé par : Salma ADNAN & Ghita ACHOUAK 2008-2009.

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1 GESTION DU PROBLEME DE TRANSPORT Réalisé par : Salma ADNAN & Ghita ACHOUAK

2 Recherche OpérationnelleManagement Logistique2 SOMMAIRE INTRODUCTION RAPPEL SUR LA THEORIE DES GRAPHES PRESENTATION DU PROBLEME DE TRANSPORT PROBLEME DAFFECTATION PROBLEME DE FLOTS CONCLUSION

3 Recherche OpérationnelleManagement Logistique3 INTRODUCTION La gestion du problème de transport est parmi les préoccupations majeures des entreprises. La RO permet une modélisation de ces problèmes en utilisant plusieurs méthodes.

4 Recherche OpérationnelleManagement Logistique4 La théorie des graphes Un graphe est une représentation symbolique dun réseau. Il sagit dune abstraction de la réalité de sorte à permettre sa modélisation. Un réseau de transport, comme tout réseau, peut être représenté sous forme de graphe. Un graphe G consiste en un ensemble de noeuds v et darcs e. Par suite, G=(v,e). Un sommet v (nœud )est un point dextrémité ou un point dintersection dun graphe. Un arc e est un lien entre deux sommets. Un arc possède une direction souvent symbolisée par une flèche.

5 Recherche OpérationnelleManagement Logistique5 On appelle un sous-graphe d'un graphe un graphe dont on a enlevé des sommets. Dans le graphe G précédant, le sous graphe p=1. Ce graphe se définit de façon suivante: G = (v,e) v = (1,2,3,4,5) e = (1,2), (1,3), (2,2), (2,5), (4,2), (4,3), (4,5) La théorie des graphes

6 Recherche OpérationnelleManagement Logistique6 la théorie des graphes Une arête est un groupe de deux sommets tels que chaque sommet fait partie de lensemble des correspondants de lautre sommet. Ce graphe comporte 5 arcs [(1,2), (2,1),(2,3), (4,3), (4,4)] et 3 arêtes [(1-2), (2-3), (3-4)].

7 Recherche OpérationnelleManagement Logistique7 la théorie des graphes Létablissement de chemins est une étape fondamentale dans la mesure daccessibilité et de flux de trafic au sein dun réseau. Un chemin eulérien est un chemin simple qui passe une fois et une seule par chaque arc. Un chemin hamiltonien est un chemin qui passe une fois et une seule par chaque sommet. Une chaîne est une suite darcs telle que chaque arc de la suite a une extrémité en commun avec larc précedent. La direction na pas dimportance.

8 Recherche OpérationnelleManagement Logistique8 la théorie des graphes Un circuit est un chemin fini et fermé dont lextrémité terminale du dernier arc coïncide avec lextrémité initiale du premier. Un cycle est une chaîne dont le sommet initial et terminal coïncide et qui nemprunte pas le même arc constitue un cycle. Il convient de distinguer deux grands types de graphes : les graphes orientés et ceux qui ne le sont pas (les graphes non orientées).

9 Recherche OpérationnelleManagement Logistique9 LE problème de transport PRESENTATION Le P.T est un problème classique de la R.O La solution du P.T est celle qui permet de transporter les flux du point de départ au point darrivée. La solution doit également être la plus économique.

10 Recherche OpérationnelleManagement Logistique10 LE problème de transport FOMRMULATION Données : un ensemble K d'usines, un ensemble L de clients, les offres des usines, les demandes des clients, les coûts de transports unitaires c(k,l)

11 Recherche OpérationnelleManagement Logistique11 LE problème de transport FOMRMULATION q 1 p 1 c 11 x 11 c 12 x 12 c pq x pq a1a2apa1a2ap b1b2bqb1b2bq c p2 x p2 2 2

12 Recherche OpérationnelleManagement Logistique12 LE problème de transport FOMRMULATION On suppose que: Hypothèse 1: où a k >0 et b l > 0.

13 Recherche OpérationnelleManagement Logistique13 LE problème de transport FOMRMULATION Le P.T peut être modélisé de la méthode suivante: (T)

14 Recherche OpérationnelleManagement Logistique14 LE problème de transport FOMRMULATION Sous lhypothèse (1), (T) est dit : « Le problème Standard de Transport » (PST)

15 Recherche OpérationnelleManagement Logistique15 Si alors on crée un client fictif : LE problème de transport FOMRMULATION

16 Recherche OpérationnelleManagement Logistique16 Si alors on crée un entrepôt fictif : LE problème de transport FOMRMULATION

17 Recherche OpérationnelleManagement Logistique17 LE problème de transport La solution de base initiale: (a) La règle du coin Nord-Ouest (b) La règle des Coûts Minimums (c) Méthode des Approximations de Vogel

18 Recherche OpérationnelleManagement Logistique18 LE problème de transport A- La règle du coin Nord-ouest : Soit le problème suivant: Une E/se de vente représentant trois dépôts et 5 client. La Matrice des couts ainsi que la disponibilité et la demande du produit sont Client Dépôt 12345Dispo I II III DDE

19 Recherche OpérationnelleManagement Logistique19 LE problème de transport I80 II50 III A- La règle du coin Nord-ouest (The Northwest Corner Rule)

20 Recherche OpérationnelleManagement Logistique20 LE problème de transport I II50 III On répète cette étape Jusquà ce que la Solution initiale soit obtenue A- La règle du coin Nord-ouest :

21 Recherche OpérationnelleManagement Logistique21 LE problème de transport I II III La solution initiale est atteinte Matrice de S.I

22 Recherche OpérationnelleManagement Logistique22 LE problème de transport B- la méthode de Vogel Appelée également méthode des regrets ou de la différence maximale, ou de Balas-Hammer Cette méthode permet dobtenir la solution optimale en moins ditération

23 Recherche OpérationnelleManagement Logistique ai I II III bj LE problème de transport

24 Recherche OpérationnelleManagement Logistique24 LE problème de transport 12345ai I II III bj __2 6-4

25 Recherche OpérationnelleManagement Logistique ai I II III bj __2 2 LE problème de transport

26 Recherche OpérationnelleManagement Logistique26 LE problème de transport 12345ai I II III bj __ 2

27 Recherche OpérationnelleManagement Logistique ai I II III bj __ 2 LE problème de transport

28 Recherche OpérationnelleManagement Logistique28 LE problème de transport 12345ai I II III bj __ 2

29 Recherche OpérationnelleManagement Logistique29 LE problème de Transport Exemple du transport de M/SE La société GALAXY ELECTRONICS est spécialisée dans la vente darticles électroménager, cette dernière doit livrer ses 4 clients, qui lui achètent respectivement 10, 8, 5 et 7 de produit. Il lui reste exactement 30 articles mais ils sont répartis sur 3 entrepôts : 6, dans le 1 er, 9 dans le 2 e et 15 dans le 3 e. Les coûts de transport, en DH/A, entre chaque entrepôts R i et chaque point de livraison L j sont donnés dans le tableau suivant:

30 Recherche OpérationnelleManagement Logistique R1R2R3R1R2R3 L4L4 L3L3 L2L2 L1L1 Points de livraison Entrepôt LE problème de transport

31 Recherche OpérationnelleManagement Logistique31 Destinations Sources L1L1 L2L2 L3L3 L4L4 Disponibilités R1R1 4)3)7)2) R2R2 3)4)5)2) 9 R3R3 5) 6)9)7) 15 Demandes Z=? LE problème de transport

32 Recherche OpérationnelleManagement Logistique32 D estinations Sources L1L1 L2L2 L3L3 L4L4 Disponibilités R2R2 3)4)5)2) R3R3 5) 6)9)7) 15 Demandes Z=? LE problème de transport

33 Recherche OpérationnelleManagement Logistique33 Destinations Sources L1L1 L2L2 L3L3 Disponibilités R2R2 3) 8 4)5) 8 0 R3R3 5) 6)9) 15 Demandes Z=? LE problème de transport

34 Recherche OpérationnelleManagement Logistique34 Destinations Sources L1L1 L2L2 L3L3 Disponibilités R3R3 5) 2 6) 8 9) Demandes Z=? LE problème de transport

35 Recherche OpérationnelleManagement Logistique35 Destinations Sources L1L1 L2L2 L3L3 L4L4 Disponibilités R1R1 4)3)7)2) 6 6 R2R2 3) 8 4)5)2) 1 9 R3R3 5) 2 6) 8 9) 5 7) 15 Demandes10857 Z=131 LE problème de transport

36 Recherche OpérationnelleManagement Logistique36 Lalgorithme de stepping stone Application: Soit le tableau suivant traduisant les coûts pour chaque unitée transférée entre les sources et les puits :

37 Recherche OpérationnelleManagement Logistique37 Lalgorithme de stepping stone 1- Recherche dune solution de base

38 Recherche OpérationnelleManagement Logistique38 2- Amélioration de la solution de base a/ Calculer les coûts marginaux notés pour chaque liaison non-affectée b/ Si tous les sont positifs ou nuls Fin Sinon, prendre le cycle de substitution associé au le plus petit. c/ Retour en a Les quantités constituent les couts marginaux unitaires. Lalgorithme de stepping stone

39 Recherche OpérationnelleManagement Logistique39 Lalgorithme de stepping stone Il faut prendre toutes les lignes non utilisées avec la solution de base déterminée en 1, et pour chacune delle essayer de faire passer une unité sur celle-ci tout en préservant léquilibre original du graphe.

40 Recherche OpérationnelleManagement Logistique40 Lalgorithme de stepping stone Détermination des coûts marginaux :

41 Recherche OpérationnelleManagement Logistique41 Lalgorithme de stepping stone On détermine maintenant le cycle de substitution de :

42 Recherche OpérationnelleManagement Logistique42 On retourne maintenant à létape 1 de lalgorithme On détermine donc les modifications à effectuer au final : Lalgorithme de stepping stone

43 Recherche OpérationnelleManagement Logistique43 Problème daffectation Les problèmes daffectation sont des cas spéciaux du problème de transport où la demande associée à chaque destination est égale à 1. Il existe une méthode, la méthode hongroise qui simplifie la résolution du problème daffectation.

44 Recherche OpérationnelleManagement Logistique44 Problème daffectation Formulation

45 Recherche OpérationnelleManagement Logistique45 Problème daffectation La méthode hongroise ( algorithme de KHUN) Lalgorithme de résolution du problème daffectation fut crée par Harold KUHN en Il est utilisé pour minimiser un cout ou maximiser une satisfaction suite à différentes affectations. Il s'agit d'affecter : - des famille de produits à des zones de stock, - des commerciaux à des secteurs, - des ouvriers sur des machines, -...

46 Recherche OpérationnelleManagement Logistique46 Problème daffectation La méthode hongroise Application : Les coûts de fabrication des ouvriers sur les diverses machines sont donnés par le tableau ci-dessous. Chercher la meilleure affectation de manière à rendre le coût de fabrication minimal

47 Recherche OpérationnelleManagement Logistique47 Problème daffectation La méthode hongroise Etape 1: Obtention des zéros Créer une nouvelle matrice des coûts en choisissant le coût minimal dans chaque colonne et en le soustrayant de chaque coût dans la colonne ( Idem pour les lignes ).

48 Recherche OpérationnelleManagement Logistique48 Problème daffectation La méthode hongroise Etape 2:Recherche dune solution optimale - On cherche la ligne ou des lignes comptant le moins de zéro. - On encadre un des zéros de cette ligne, puis on barre les zéros qui se trouvent sur la même ligne et dans la même colonne que les zéros encadrés. - On répète le processus pour les lignes restantes. Un zéro encadré par ligne Solution optimale

49 Recherche OpérationnelleManagement Logistique49 Problème daffectation La méthode hongroise La ligne 4 ne contient pas un zéro encadré donc on va appliquer létape 3 et 4 de lalgorithme.

50 Recherche OpérationnelleManagement Logistique50 Problème daffectation La méthode hongroise Etape 3:Recherche des rangées en nombre minimal contenant tous les zéros: a. On marque dune croix toute ligne ne contenant aucun zéro encadré. b. On marque toute colonne qui a un zéro barré sur une ou plusieurs lignes marquées. c. On marque toute ligne qui a un zéro encadré sur une ou plusieurs colonnes marquées. d. On répète b) et c) jusquà ce quil ny ait plus de colonne ou de ligne à marquer. On trace un trait sur toute colonne marquée. On trace un trait sur toute ligne non marquée.

51 Recherche OpérationnelleManagement Logistique51 Problème daffectation La méthode hongroise

52 Recherche OpérationnelleManagement Logistique52 Problème daffectation La méthode hongroise Etape 4: Déplacement de certains zéros: -Tableau partiel : éléments traversés par aucun trait. - Le plus petit élément du tableau partiel est ajouté aux éléments rayés deux fois et retranché des éléments du tableau. - Retour à la phase 2.

53 Recherche OpérationnelleManagement Logistique53 Problème daffectation La méthode hongroise Le plus petit élément est 2, ainsi on aura le tableau ci- dessous:

54 Recherche OpérationnelleManagement Logistique54 Problème daffectation La méthode hongroise

55 Recherche OpérationnelleManagement Logistique55 Problème daffectation La méthode hongroise

56 Recherche OpérationnelleManagement Logistique56 Le Problème de flots DEFINITION DU FLOT Un flot dans un graphe est une valuation des arcs respectant la loi de conservation des flux (loi de Kirchhoff)

57 Recherche OpérationnelleManagement Logistique57 Le Problème de flots Soit un graphe G=(X,U),(, c, s, t) est réseau SSI : est un graphe orienté connexe sans boucle; Ce graphe est valué : chaque arc (u, v) du graphe a une capacité c(u, v); la source s de degré entrant nul : le puits t de degré sortant nul.

58 Recherche OpérationnelleManagement Logistique58 Le Problème de flots Un flot est complet si pour tout chemin allant de la source au puits, il y a au moins un arc Saturé. P.S o Un flot complet nest pas forcément Maximum. o Un flot maximum est forcément complet

59 Recherche OpérationnelleManagement Logistique59 On veut acheminer un produit à partir de 3 entrepôts (1,2,3) vers 4 clients (a,b,c,d) Quantités en stock : 45, 25, 25 Demande des clients : 30,10, 20, 30 Limitations en matière de transport dun entrepôt à un client abcd E a b d c S [0,10] [0,15] [0,20] [0,5] [0,10] [0,45] [0,25] [0,30] [0,10] [0,20] [0,30] Le Problème de flots Exemple de flot complet

60 Recherche OpérationnelleManagement Logistique60 Le Problème de flots Exemple de flot complet E a b d c S [0,10], 10 [0,15], 5 [0,20], 20 [0,20], 15 [0,5], 5 [0,10], 10 [0,45], 35 [0,25], 25 [0,25], 20 [0,30], 25 [0,10], 10 [0,20], 15 [0,30], 30 Valeur du flot = 80 Ce flot est un flot complet, c-à-d, tout chemin de E à S comporte au moins un arc saturé

61 Recherche OpérationnelleManagement Logistique61 Le Problème de flots Algorithme de Ford- Fulkerson Cas dutilisation :Problèmes de charge maximale admissible par des réseaux (électriques, informatiques, routiers) Principe fondamental :A tout moment, la loi de Kirchhoff doit être vérifiée sur chaque sommet x de G But : Augmenter le flot jusquà son maximum tout en respectant cette règle

62 Recherche OpérationnelleManagement Logistique62 Le Problème de flots Algorithme de Ford- Fulkerson Principe général : On part dun flot compatible (généralement 0) On utilise deux fonctions alternativement Procédure de marquage Procédure daugmentation du flot

63 Recherche OpérationnelleManagement Logistique63 Le Problème de flots Algorithme de Ford- Fulkerson Procédure de marquage But : trouver une chaîne améliorante Principe : Marquage des sommets selon deux critères : Delta (flot max que lon peut faire parvenir au sommet) Sommet de provenance

64 Recherche OpérationnelleManagement Logistique64 Le Problème de flots Algorithme de Ford- Fulkerson Procédure daugmentation du flot But : augmenter le flot dans le graphe selon la valeur et le marquage obtenu par la procédure de marquage Principe : Parcours du graphe du puit vers la source suivant les indications de provenance de la procédure de marquage

65 Recherche OpérationnelleManagement Logistique65 Le Problème de flots Algorithme de Ford- Fulkerson Chercher le flot complet du réseau.

66 Recherche OpérationnelleManagement Logistique66 Le Problème de flots Algorithme de Ford- Fulkerson 1 er marquage

67 Recherche OpérationnelleManagement Logistique67 Le Problème de flots Algorithme de Ford- Fulkerson On remarque que le flot est complet dans, cet arc est saturé. Le flot sur cette chaîne est maintenant F1=4

68 Recherche OpérationnelleManagement Logistique68 Le Problème de flots Algorithme de Ford- Fulkerson Le flot sur cette chaîne est maintenant F2=3 :cet arc est saturé.

69 Recherche OpérationnelleManagement Logistique69 Le Problème de flots Algorithme de Ford- Fulkerson F3=3 Est saturé

70 Recherche OpérationnelleManagement Logistique70 Le Problème de flots Algorithme de Ford- Fulkerson F4=3 Est saturé

71 Recherche OpérationnelleManagement Logistique71 F5=1 Est saturé Le Problème de flots Algorithme de Ford- Fulkerson

72 Recherche OpérationnelleManagement Logistique72 Le Problème de flots Algorithme de Ford- Fulkerson F6= 1 Est saturé

73 Recherche OpérationnelleManagement Logistique73 CONCLUSION


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