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Logique du premier ordre (Logique de prédicats)

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1 Logique du premier ordre (Logique de prédicats)
Chap. 8

2 Plan Pourquoi utiliser la logique du premier ordre (LPO)?
Syntaxe et sémantique Utiliser la LPO Le monde de Wumpus en LPO Engenierie de connaissances dans LPO

3 Logique propositionnelle: pours et contres
Logique propositionnelle est déclarative  Logique propositionnelle permet d’exprimer des informations partielles/disjonctives/négatives (contraste avec la plupart des structures de données et les bases de données) Logique propositionnelle est compositionnelle: Le sens du tout est composé des sens des parties Sens de B1,1  P1,2 est dérivé du sens de B1,1 et de P1,2  Sens dans logique propositionnelle est hors-contexte (context-independent) (différent de la langue naturelle où le sens est dépendant du contexte)  Logique propositionnelle est limitée en capacité d’expression (pas comme en langue naturelle) E.g., ne peut pas exprimer ”les fosses causent la brise dans les carrés adjacents” À moins d’écrire une phrase par carré

4 Logique du premier ordre
Logique propositionnelle suppose que le monde contient des faits, Logique du premier ordre suppose que le monde contient: Objets (D): personnes, maisons, nombres, couleurs, match de baseball, guerre, … Relations (Dn{vrai, faux}): rouge, rond, nombre-premier, est frère de, est plus grand que, est partie de, … Fonctions (DnD): père de, meilleur ami de, un de plus que, …

5 Fonction vs. prédicat Jean Marie Philippe
Fonction: père_de(Philippe) = Jean Prédicat: est_père_de(Jean, Philippe) = vrai Les noms importent peu. C’est la définition qui est importante.

6 Syntaxe de LPO: éléments de base
Constantes KingJohn, 2, UdeM,... Prédicats Brother, >,... Fonctions Sqrt, LeftLegOf,... Variables x, y, a, b,... (minuscule) Connecteurs , , , ,  Égalité = Quantificateurs , 

7 Phrases atomiques Phrase atomique = prédicat (terme1,...,termen) | terme1 = terme2 Terme = fonction (terme1,...,termen) | constante | variable E.g., Brother(KingJohn,RichardTheLionheart) > (Length(LeftLegOf(Richard)), Length(LeftLegOf(KingJohn))) prédicat phrase fonction constante terme

8 Phrases complexes Les phrases complexes sont composées des phrases atomiques avec des connecteurs S, S1  S2, S1  S2, S1  S2, S1  S2, E.g. Sibling(KingJohn,Richard) Sibling(Richard,KingJohn) >(1,2)  ≤ (1,2) >(1,2)   >(1,2)

9 Valeur de vérité en LPO Les phrases sont vraies par rapport à un modèle et à une interprétation Un modèle contient des objets (éléments du domaine) et des relations entre eux Une interprétation spécifie les référés pour Symboles de constante → objets (la personne John) symboles de prédicat → relations (relation de père-fils) symboles de fonction → relation fonctionnelle (père-de) Une phrase atomique prédicat(terme1,...,termen) est vraie ssi les objets référés par terme1,...,termen sont en relation référée par prédicat

10 Modèle de LPO: Exemple Prédicat: brother(Richard, John)
Interprétation de symboles Évaluation de valeur de vérité: vraie parce que la relation brother se vérifie Fonction: left_leg(John) Interprétation Évaluation:

11 Quantificateur Universel
<variables> <phrase> Everyone at UdeM is smart (Tout le monde dans UdeM est intelligent): x At(x,UdeM)  Smart(x) x P est vraie dans un modèle m ssi P est vraie avec chaque objet qu’on peut assigner à x dans son domaine Grosso modo: équivalent à la conjonction des instantiations de P At(KingJohn,UdeM)  Smart(KingJohn)  At(Richard,UdeM)  Smart(Richard)  At(UdeM,UdeM)  Smart(UdeM)  ...

12 Une erreur commune à éviter
typiquement,  est le connecteur principal avec  Erreur commune: utiliser  comme connecteur principal avec : Correct Tout le monde dans UdeM est intelligent): x At(x,UdeM)  Smart(x) Incorrect x At(x,UdeM)  Smart(x) signifie “Everyone is at UdeM and everyone is smart”(tout le monde est à UdeM et tout le monde est intelligent)

13 Illustration Person smart UdeM x At(x,UdeM)  Smart(x)
(Sous-ensemble) x At(x,UdeM)  Smart(x)

14 Quantification existentielle
<variables> <phrase> Someone at UdeM is smart (Quelqu’un à UdeM est intelligent): x At(x,UdeM)  Smart(x) x P est vraie dans un modèle m ssi P est vraie avec x associée à un certain objet possible dans le modèle Grosso modo: équivalent à la disjonction d’instanciations de P At(KingJohn,UdeM)  Smart(KingJohn)  At(Richard,UdeM)  Smart(Richard)  At(UdeM,UdeM)  Smart(UdeM)  ...

15 Une autre erreur commune à éviter
Typiquement,  est généralement utilisé avec  Erreur commune: utiliser  comme le connecteur principal avec : Correct x At(x,UdeM)  Smart(x) Incorrect x At(x,UdeM)  Smart(x) est vraie s’il existe quelqu’un qui n’est pas à UdeM !

16 Illustration Person smart UdeM x At(x,UdeM)  Smart(x)
(intersection non vide) x At(x,UdeM)  Smart(x) x x

17 Quelques exemples Toute personne est mortel. Socrate est une personne.
x Personne(x)  Mortel(x) Personne(Socrate) Socrate est mortel. Mortel(Socrate) IFT3335 est un cours à UdeM. Cours(IFT3335)  Donné_à(IFT3335, UdeM) ou Cours(IFT3335,UdeM) Tous ceux qui suivent le cours IFT3335 sont des étudiants à UdeM. Ceux qui suivent le cours IFT3335: x Suivre(x,IFT3335)  Cours(IFT3335) Étudiants à UdeM: Étudiant(x,UdeM) Toute la phrase: x Suivre(x,IFT3335)  Cours(IFT3335)  Étudiant(x,UdeM) Certains dans le cours IFT3335 sont des étudiants à UdeM. x Suivre(x,IFT3335)  Cours(IFT3335)  Étudiant(x,UdeM) Propriété: Jean est un étudiant. Étudiant(Jean) Ou x Étudiant(Jean, x) Négation: Aucun est irremplaçable. x Personne(x)  Remplaçable(x) x Personne(x)  Remplaçable(x) ?

18 Propriétés des quantificateurs
x y est équivalent à y x x y est équivalent à y x x y n’est pas équivalent às y x x y Loves(x,y) “There is a person who loves everyone in the world” y x Loves(x,y) “Everyone in the world is loved by at least one person” Dualité de quantificateurs:chacun peut être exprimé en utilisant l’autre: x P = x P, x P = x P x Likes(x,IceCream) x Likes(x,IceCream) x Likes(x,Broccoli) x Likes(x,Broccoli)

19 Égalité terme1 = terme2 est vrai sous une interprétation donnée ssi terme1 et terme2 réfèrent au même objet (= est un prédicat spécial) E.g., définition de Sibling en terme de Parent: x,y Sibling(x,y)  [(x = y)  m,f  (m = f)  Parent(m,x)  Parent(f,x)  Parent(m,y)  Parent(f,y)]

20 Utiliser LPO Le domaine de parenté: Brothers are siblings
x,y Brother(x,y)  Sibling(x,y) One's mother is one's female parent m,c Mother(c) = m  (Female(m)  Parent(m,c)) “Sibling” is symmetric x,y Sibling(x,y)  Sibling(y,x)

21 Utiliser LPO Le domaine des ensembles:
s Set(s)  (s = {} )  (x,s2 Set(s2)  s = {x|s2}) x,s {x|s} = {} x,s x  s  s = {x|s} x,s x  s  [ y,s2 (s = {y|s2}  (x = y  x  s2))] s1,s2 s1  s2  (x x  s1  x  s2) s1,s2 (s1 = s2)  (s1  s2  s2  s1) x,s1,s2 x  (s1  s2)  (x  s1  x  s2) x,s1,s2 x  (s1  s2)  (x  s1  x  s2)

22 Interagir avec une base de connaissances en LPO
Supposons que l’agent dans le monde de wumpus utilise une base de connaissances (KB) en LPO. Il perçoit une odeur et une brise (mais pas de scintillement) à t=5: Tell(KB,Percept([Smell,Breeze,None],5)) Ask(KB,a BestAction(a,5)) I.e., Est-ce que la KB entraîne une certaine meilleure action à t=5? Réponse: Yes, {a/Shoot} ← substitution (binding list) Étant donné une phrase S et une substitution σ, Sσ dénote le résultat de l’application de σ sur S; e.g., S = Smarter(x,y) σ = {x/Hillary,y/Bill} Sσ = Smarter(Hillary,Bill) Ask(KB,S) retourne une/toute σ telle que KB╞ σ

23 Substitution Remplacer une variable par un terme (constante, variable, ou fonction) x/Terme {x/Hillary, y/Bill} {x/y, z/Bill} {x/Mère_de(z), y/Père_de(z)} Contraintes x ne doit pas apparaître dans Terme {x/Mère_de(x)} X Une variable ne peut pas être substituée 2 fois {x/Jean, x/Philippe} X Sert à instancier une expression générale (contenant des variables) et à unifier deux expressions (voir plus tard)

24 Application d’une substitution
x/Terme: Remplacer toutes occurrences de la variable par le Terme e.g. Smarter(x,z) {x/y, z/Bill} : Smarter(y,Bill) Smarter(x,y) {x/y, z/Bill} : Smarter(y,y) (Smarter(x,z)  President(z,c)  Country(c) ) {x/y, z/Bill}: Smarter(y,Bill)  President(Bill,c)  Country(c) Composition des substitutions σ1 ● σ2: appliquer σ1 ensuite σ2 = appliquer σ2 sur σ1 et faire l’union avec σ2 e.g. {y/z, x/Bill} ● {z/Hillary, v/Chelsea} = {y/Hillary, x/Bill}  {z/Hillary, v/Chelsea} = {y/Hillary, x/Bill, z/Hillary, v/Chelsea}

25 Pourquoi substitution?
Tout homme est mortel. Socrate est un homme. Donc, Socrate est mortel. x Homme(x)  Mortel(x) Homme(Socrate) Mortel(Socrate) Homme(Socrate)  Mortel(Socrate) σ={x/Socrate}

26 Base de conaissances pour le monde de wumpus
Perception t,s,b Percept([s,b,Glitter],t)  Glitter(t) Réflex t Glitter(t)  BestAction(Grab,t) Note: variables  exprimer une connaissance générale sur un ensemble d’objets (carrés, temps, etc.)

27 Déduire les propriétés cachées
x,y,a,b Adjacent([x,y],[a,b])  [a,b]  {[x+1,y], [x-1,y],[x,y+1],[x,y-1]} Propriétés des carrés (avec temps t): s,t At(Agent,s,t)  Breeze(t)  Breezy(s) Les carrés à coté d’une fosse sont odorantes (smelly): Règle de diagnostic ---effet  cause s Breezy(s)  r Adjacent(r,s)  Pit(r) Règle causale --- cause  effet r Pit(r)  [s Adjacent(r,s)  Breezy(s) ]

28 Remarque: Que signifie “premier ordre”?
On peut utiliser une variable pour représenter des objets seulement Pas de variable pour des prédicats ou des fonctions xy Personne(x)  y(x, USA) Il y a une personne (x) qui a une certaine relation (y) avec USA Logique du second ordre Certaines de ces expressions du second ordre peuvent être réécrites en expressio du premier ordre E.g. Relation(x, USA, y)

29 Ingénierie de connaissances dans LPO
Identifier la tâche Assembler les connaissances pertinentes Décider sur le vocabulaire de prédicats, de fonctions et de constantes Encoder les connaissances générales dans le domaine Encoder une description de l’instance spécifique du problème Poser des questions à la procédure d’inférence et obtenir des réponses Debugger la base de connaissances

30 Le domaine de circuits électroniques
Additionneur d’un bit

31 Le domaine de circuits électroniques
Identifier la tâche Est-ce que le circuit additionne correctement? (vérification de circuit ) Assembler les connaissances pertinentes Des circuits composés de fils et de portes; Types de portes (AND, OR, XOR, NOT) Non pertinents: taille, forme, couleur, coût de portes Décider sur le vocabulaire Alternatives: Type(X1) = XOR Type(X1, XOR) XOR(X1)

32 Le domaine de circuits électroniques
Encoder les connaissances générales du domaine t1,t2 Connected(t1, t2)  Signal(t1) = Signal(t2) t Signal(t) = 1  Signal(t) = 0 1 ≠ 0 t1,t2 Connected(t1, t2)  Connected(t2, t1) g Type(g) = OR  Signal(Out(1,g)) = 1  n Signal(In(n,g)) = 1 g Type(g) = AND  Signal(Out(1,g)) = 0  n Signal(In(n,g)) = 0 g Type(g) = XOR  Signal(Out(1,g)) = 1  Signal(In(1,g)) ≠ Signal(In(2,g)) g Type(g) = NOT  Signal(Out(1,g)) ≠ Signal(In(1,g))

33 Le domaine de circuits électroniques
Encoder l’instance spécifique du problème Type(X1) = XOR Type(X2) = XOR Type(A1) = AND Type(A2) = AND Type(O1) = OR Connected(Out(1,X1),In(1,X2)) Connected(In(1,C1),In(1,X1)) Connected(Out(1,X1),In(2,A2)) Connected(In(1,C1),In(1,A1)) Connected(Out(1,A2),In(1,O1)) Connected(In(2,C1),In(2,X1)) Connected(Out(1,A1),In(2,O1)) Connected(In(2,C1),In(2,A1)) Connected(Out(1,X2),Out(1,C1)) Connected(In(3,C1),In(2,X2)) Connected(Out(1,O1),Out(2,C1)) Connected(In(3,C1),In(1,A2))

34 Le domaine de circuits électroniques
Poser des questions à la procédure d’inférence Quels sont les ensembles de valeurs possibles de tous les terminaux pour le circuit additionneur? i1,i2,i3,o1,o2 Signal(In(1,C1)) = i1  Signal(In(2,C1)) = i2  Signal(In(3,C1)) = i3  Signal(Out(1,C1)) = o1  Signal(Out(2,C1)) = o2 Debugger la base de connaissances Peut oublier des affirmations (assertions) comme 1 ≠ 0

35 Sommaire Logique du premier ordre:
Objets et relations sont des primitives sémantiques syntaxe: constantes, fonctions, prédicats, égalité, quantificateurs Capacité d’expression plus grande: suffisant pour définir le monde de wumpus


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