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RGE - 1er juin 2006 Ladaptativité pour un solveur de léquation de Vlasov Hoenen Olivier LSIIT – ICPS – Projet INRIA CalVi.

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1 RGE - 1er juin 2006 Ladaptativité pour un solveur de léquation de Vlasov Hoenen Olivier LSIIT – ICPS – Projet INRIA CalVi

2 RGE - 1er juin 2006 Plan Équation de Vlasov Contexte scientifique Schéma de résolution Algorithme adaptatif Transformations Optimisations Étude de la parallélisation Distribution Équilibrage de charge

3 RGE - 1er juin 2006 Contexte scientifique Physique des plasmas et faisceaux de particules Fusion thermonucléaire contrôlée (projet ITER) Espace des phases (6D + t) Équation de Vlasov Équation aux dérivées partielles (EDP) Pas de solution analytique méthode de résolution numérique

4 RGE - 1er juin 2006 Schéma de résolution Méthode semi-Lagrangienne Propriété : « les valeurs de la fonction de distribution sont constantes le long des caractéristiques » Basée sur un maillage de lespace des phases Couplée avec un solveur de champ électrique Interpolation par éléments finis bi-quadratiques A -1

5 RGE - 1er juin 2006 Algorithme adaptatif Basé sur un maillage dyadique Décomposition en base 2 de lespace des phases Prédiction du maillage À partir du maillage au pas de temps précédent La fonction de distribution est calculée aux nœuds du maillage, la prédiction vise à mailler finement dans les zones à fort gradient, et grossièrement pour celles à faible gradient Compression du maillage Pour éliminer les cellules trop finement prédites

6 RGE - 1er juin 2006 Prédiction du maillage A -1 cellule cible plus fine que cellule source on raffinecellule cible de même taille que cellule source on raffinecellule source plus fine que cellule cible STOP

7 RGE - 1er juin 2006 Compression du maillage

8 RGE - 1er juin 2006 Transformations algorithmiques Prédiction et compression sont récursives Consistance du maillage gérée implicitement Parcours hiérarchique et local des éléments Mais performances réduites Dé-récursivation Objectif : conserver les bonnes propriétés du parcours récursif mais avec des performances dalgorithme itératif Utilisation classique dun pile pour retrouver le contexte de la récursivité, ou plus simplement dun tableau : de 4 éléments par niveau pour la prédiction dun compteur de cellule et dun booléen par niveau pour la compression

9 RGE - 1er juin 2006 Structure de données Tableaux à 2 niveaux Coût réduit pour des accès aléatoire à des éléments Modularité du niveau grossier pour sadapter à la simulation Le creux des niveaux fins est virtuel adaptivité perfectible en terme dallocation mémoire (dépend du niveau grossier choisi) Optimisation de la fonction de recherche Stockage du niveau de la cellule couvrante présente dans le maillage pour chaque cellule fine Recherche de la cellule du maillage contenant un point donné avec une complexité minimum

10 RGE - 1er juin 2006 Étude de la parallélisation Caractéristiques du solveur adaptatif Parallélisme de données, communications très nombreuses, non prédictibles et de petite taille La charge du calcul dépend linéairement du nombre dinterpolations, donc du nombre de nœuds ( cellules) Objectif : obtenir un solveur scalable Partionnement dynamique du maillage Équilibrage de charge Minimisation des communications Problème NP-complet

11 RGE - 1er juin 2006 Distribution des données Subdivision en régions Union de cellules Partition du domaine Bijection région processeur Un processeur possède localement sa propre vision du maillage Chaque cellule est estampillée par un numéro de processeur Redéfinition dynamique des régions pour maintenir leurs bonnes propriétés

12 RGE - 1er juin 2006 Propriétés des régions Équilibrage : même charge de calcul sur chaque processeur Minimisation des temps de synchronisation Utilisation équitable de la mémoire Forme : connexe et compacte Réduction du volume des communications Amélioration de la localité des données

13 RGE - 1er juin 2006 Courbe de Hilbert Courbe de remplissage de surface (SFC) Ramène le problème nD à un problème simple 1D Propriétés de la courbe de Hilbert : Calculée en base 2 correspond bien au maillage dyadique Construction récursive sur un maillage creux Extensible en dimension Conserve la localité

14 RGE - 1er juin 2006 Équilibrage de charge Calcul de la charge idéale Charge totale / nombre de processeurs Calcul du nombre déléments à « migrer » Somme des différences entre charge idéale et charge locale des processeurs suivants (resp. précédents) Mise à jour des régions par chaque processeur Échange de cellules avec les voisins dans la courbe Choix implicite des éléments à migrer (extrémités de courbe)

15 RGE - 1er juin 2006 Mise à jour des régions

16 RGE - 1er juin 2006 Poursuite des travaux Validation expérimentale 2D/4D Efficacité de ladaptatif par rapport à luniforme Architectures à mémoire partagée Étude de la parallélisation de la méthode sur des machines de type cc-NUMA Modèle de programmation OpenMP Parallélisation hybride…


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